【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题05《三角函数与解三角形》讲义（新高考专用）

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专题05 三角函数与解三角形
知识回顾
三角函数基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(4)象限角的集合表示方法：
第一象限角的集合为，Z
第二象限角的集合为，Z
第三象限角的集合为，Z
第四象限角的集合为，Z
【温馨提示】若与的终边关于轴对称，则；
若与的终边关于轴对称，则；
若与的终边关于原点对称，则.
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
(1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号


＋
＋
－
－


＋
－
－
＋


＋
－
＋
－
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.利用三角函数线可以判断角的三角函数值的符号或比较角的大小.
三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线
知识点二：同角三角函数基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
知识点三：三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角






正弦






余弦






正切






口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【方法技巧与总结】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．


用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数



图象



定义域



值域



周期性



奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间



递减区间


无
对称中心



对称轴方程


无
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
知识点三：与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为
[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
① 对于，

【温馨提示】1.用五点法画出正弦型函数的图象，先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
2.对于来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
② 对于，

【温馨提示】用五点法画出正弦型函数的图象，先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
对于来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.



方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.



注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
1.正弦函数的图象与性质：
性质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当时，．
周期性

奇偶性
,奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
余弦函数的图象与性质：
性质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当时，．
周期性

奇偶性
偶函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。
正切函数：
性质

图象

定义域

值域

最值
既无最大值，也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数．
对称性
对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；
令，得；对称中心的求取方法；
令，得，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
＝＝＝2R
常见变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

5.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
6.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
7.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

【温馨提示】常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
常考题型
1.三角函数及相关概念：
【例题1-1】已知角的终边上有一点，则的值是（       ）
A． B． C．或 D．不确定
【答案】B
【详解】
角的终边上点，则，
于是得，
所以.
故选：B
【自我提升1】下面四个命题中正确的是（ ）
A．第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限角
C．终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限的角
【答案】B
【解析】本题考查的是角的概念，象限角与锐角等概念，由题意可知第一象限角的集合为
，Z，锐角集合为，显然，所以锐角必是第一象限角.
【自我提升2】列说法中正确的是(　　)
A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角[来源:学.科.网Z.X.X.K]
C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等
【答案】C.
【解析】本题考查的是象限角，由象限角的范围可以直接判断，本题可用特殊角来判断选项的正确与错误.比如：－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．
【例题1-2】已知θ为第二象限角，那么是（ ）
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
【答案】D.
【解析】本题是通过给定角的象限情况，来判断此角的整数倍可整分后的角的位置问题.
法一： 已知θ为第二象限角，所以有，
得到，
讨论：，此时位于第一象限；
，此时位于第二象限；
，此时位于第四象限；
四
三
法二：可以用单位圆来画分角位于的象限：
二
二
一
一

四
三
三


四

一
二


由图可知位于一、二、四象限.
【自我提升】设角属于第二象限，且，则角属于（ ）
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
【答案】C.
【解析】
当时，在第一象限；当时，在第三象限；
而，在第三象限；答案：C .
【例题1-3】在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数线的知识.由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.

对于A选项：当点在上时，，，故A选项错误；
对于B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；
对于C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；
对于D选项：当点在上且在第三象限时，，故D选项错误.
综上，故选C.
【自我提升】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【答案】A
【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2 2.同角三角函数的基本关系：
【例题2-1】已知是三角形的一个内角，且则这个三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解法1：主要是判断是钝角、锐角还是直角，又可以等价转化为判断的某一三角函数值的符号.由，将两边平方得，而故为钝角.
解法2：由，若则，从而而，故为钝角.
【自我提升】已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，，，，，
，所以.
故选：C
【例题2-2】在 ABC中，若，则（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为在 ABC中，，
两边平方得；，即，
所以，，
即，
解得，
所以，
故选：D
【自我提升】若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，且为第四象限角，则，
则，故选D．
【例题2-3】已知，则的值是________．
【答案】
【解析】由已知可得，
＝．
【自我提升1】若，则= ．
【答案】
【解析】法一：得，

，故答案为.
法二：

【自我提升2】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是（ ）
A.1 B. C. D.－
【答案】D
【解析】由已知可得大正方形的边长为，小正方形的面积是，这里，所以可得到，由方程组可得：
，，故选D.
【自我提升4】,那么( )
A. B. - C. D. -
【易错分析】(1)k值的正负；（2）表达式符号易错.
【解析】,
,而，
所以，所以选B.
【答案】B.
3.诱导公式：
【例题3-1】tan255°=（ ）
A．−2− B．−2+ C．2− D．2+
【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．=故选D.
【自我提升】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
【例题3-2】若，则（       ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】C
【详解】
，
分子分母同除以，
，
解得：
故选：C
【自我提升】是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
是 的充分不必要条件.
【例题3-3】若点在角α的终边上，则sin α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】C　
【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得sin ＝sin＝sin ＝，
cos ＝cos ＝－cos ＝ －，所以点在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离
r＝＝1，所以sin α＝－.
【自我提升】已知，且，则_____，_____．
【答案】
【解析】 .
又 ，由则 ，且，可得
4.三角恒等变换：
【例题4-1】已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.所以选A.
【自我提升】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值..故选B.
【例题4-2】已知角的终边经过点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，由三角函数的定义可知，

.
故选：D.
【自我提升】已知，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以
又，所以，所以
所以
故选：D
【例题4-3】已知，则的值是 .
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【自我提升】已知，则__________．
【答案】
【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.，解方程得.故答案为.
【例题4-4】已知，，则__________．
【答案】
【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为，，
所以所以，
因此
【自我提升】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是.
【例题4-5】已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质.
（1），
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知.因为，所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.所以的最小值为.
【答案】（1）；（2）.
【自我提升】已知角均为锐角，且cos=，tan（−）=−，tan=（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】∵角，均为锐角，且cos=，∴sin = =，
tan=，又tan（−）===−，
∴tan=3，故选D．
5.三角函数的图象和性质：
（1）三角函数的定义域：
【例题5-1】数y＝的定义域为________．
【答案】
【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．所以定义域为.
【例题5-2】函数的定义域是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，
所以的定义域是.
故选：D
【自我提升】函数定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由函数式知：，
∴，即.
故选：B.
（2）三角函数的值域
【例题5-3】函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则，函数的最大值为.所以选A.
【自我提升】函数最小正周期和最大值分别是（  ）
A．和 B．和5
C．和 D．和5
【答案】C
且，
所以最小正周期和最大值为.
故选：C
【例题5-4】已知的最大值为5，则可以为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
当时，，其中，函数最大值为，故A错误；
当时，，函数最大值为5，B正确；
当时，，其中，函数最大值为，故C错误；
当时，，函数最大值为1，故D错误.
故选：B
【自我提升】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.
（3）三角函数的周期性：
【例题5-5】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以其最小正周期，故选C.
【自我提升1】函数的最小正周期是____
【答案】1
函数的最小正周期.
故答案为：1
【自我提升2】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】函数，周期为.
【自我提升3】函数的最小正周期为___________.
【答案】2
【解析】的周期为，
故答案为：2
（4）三角函数的单调性：
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z).
【例题5-6】下列区间中，函数单调递减的区间是（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的单调递减区间即函数的单调递增区间，令,解不等式得到，令得，，
所以是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，
故选：B
【自我提升1】在下列区间中，函数单调递增的区间是（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为，当时可得函数的一个单调递增区间为，因为Ü，所以函数在上单调递增；
故选：D
【自我提升2】函数的单调递增区间为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
【例题5-7】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】
(1)在区间上递增，所以.
(2)在区间上递增，所以.
(3)，，
在区间上递增，所以.
(4)在区间上递减，所以.
【自我提升】下列不等式中，正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
，A错误；
，B正确；
，故，C错误；
，D错误；
故选：B.
【例题5-8】已知函数 f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A.　　　　　B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：由题意得则
又ω>0，所以k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤，故选B.
法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
【自我提升】若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)
A. B． C. D.
【答案】B
【解析】　法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.
法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.故选B.
(5)三角函数的对称性：
正弦函数y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称轴为x＝kπ，k∈Z.正弦函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z；余弦函数y＝cos x的对称中心为，k∈Z；正切函数y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
【例题5-9】已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称　 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
【答案】B
【解析】因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)．令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．
【自我提升1】已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　)
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
【答案】　A
【解析】因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心 到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥，又∵T＝，∴≤，∴ω≥2，∴ω有最小值2，故选A.
【温馨提示】1.三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．
【自我提升2】函数图像的一条对称轴方程为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由，令,
解得，即函数的对称轴为：，
当时，，
故选：B
【自我提升3】函数图象的一个对称中心为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由，可得
当时，，当时，
当时，，所以为的一个对称中心
故选：D
（6）三角函数的奇偶性：
【例题5-10】函数的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【答案】偶函数
由已知条件得，
则，
故函数为偶函数；
故答案为：偶函数.
【例题5-11】函数是奇函数，那么常数的最大值为______
【答案】
为奇函数，，
解得：，又，当时，.
故答案为：.
【自我提升1】下列函数中，偶函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A，为奇函数，故A不正确；
对于B，为奇函数，故B不正确；
对于C，为奇函数，故C不正确；
对于D，为偶函数，故D正确.
故选：D
【自我提升2】下列函数中是奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，，，，故为非奇非偶函数，
对于B，，定义域为，，为偶函数，
对于C，，为偶函数，
对于D，易知定义域为R,，，为奇函数．
故选：D
（7）三角函数图象与性质的综合量求解
【例题5-12】若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】根据已知函数其中，的图象过点，，可得，，解得：．
再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选B．
【自我提升】已知函数f(x)＝cos，把y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.g＝ B.g(x)的图象关于直线x＝对称
C.g(x)的一个零点为 D.g(x)的一个单调减区间为
【答案】　D
【解析】　∵f(x)＝cos＝cos，
∴g(x)＝cos＝cos，所以g＝cos ＝－，故A错，
令2x＋＝kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝－，k∈Z，故B错，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得对称中心的横坐标为x＝＋，k∈Z，故C错，
因为x∈，故μ＝2x＋∈[0，π]，
因为y＝cos μ在[0，π]上是减函数，故g(x)＝cos在上是减函数，故D正确.
【例题5-13】已知函数的最大值是2，函数的图象的一条对称轴是，且与该对称轴相邻的一个对称中心是.
①求的解析式；
②已知是锐角三角形，向量，且，求.
【解析】①设的最小正周期为，
依题意得，∴，∴.
∵图象的一条对称轴是，∴，
∴.∵，∴.
又∵的最大值是2，∴，从而.
②∵，
∴
∴，∴，
又∵是锐角，∴.
∵，∴，
∴.即.
【自我提升1】若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【自我提升2】已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函
数为.若，则（ ）
A．−2 B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；∵的最小正周期为π，∴，∴又，
∴，
∴，故选C.
【自我提升3】设函数，其中．若且的最小正周期大于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，由得，故选A．
【自我提升4】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
6.正余弦定理及其应用：
（1）三角形解的情况：
【例题6-1】下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（  ）．
① ，，，有两解；
②，，，有一解；
③，，，无解；
④，，，有一解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
对于①，由正弦定理 ，
则由 ,可得 有一解，故三角形的解有一个,错误；
对于②，由正弦定理，
因为 ，故 ,则三角形的解有两解，错误；
对于③，由正弦定理 ，
则由且   ,可得 有一解，故三角形的解有一个，错误；
对于④，由正弦定理 ，
则由且,可得 有一解，故三角形的解有一个,正确,
故选：A
【自我提升】在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，
对于选项A，，，，有，∴，∴，故△ABC有唯一解．
对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解．
对于选项C，，，，有，∴，又，故△ABC有两个解．
对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解．
故选：C．
（2）利用正、余弦定理解三角形问题：
【例题6-2】在中，，，，则为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
在中，因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以为锐角，所以.
故选：A.
【例题6-3】设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可得 ，
故由正弦定理得： ,则，
故选：C
【例题6-4】记的内角，，的对边分别为，，，且，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
解：由题意得，
由正弦定理可得．
所以，又，所以．
故选：C
【例题6-5】在中，角，，的对边分别为，，，且，是的角平分线，在边上，，，则的值为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，
故，
由于A∈（0，π），
可得：A＝，
因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝，
所以由余弦定理可得，
因为b＝3c，
所以CD＝3BD，即，
整理可得，
所以由余弦定理可得．
故选：B．


【例题6-6】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则的面积为___________.
【答案】
【解析】∵，，
∴，又，
∴，即，
∴．
故答案为：.
【例题6-7】在中，角，，的对边分别为，，，且，是的角平分线，在边上，，，则的值为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，
故，
由于A∈（0，π），
可得：A＝，
因为AD是△ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝，
所以由余弦定理可得，
因为b＝3c，
所以CD＝3BD，即，
整理可得，
所以由余弦定理可得．
故选：B．


【例题6-8】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若D是边上一点且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】

在中，由正弦定理得，即，得，所以（由题意可知一定是锐角），
所以，
因为，
所以,
所以,
在中，由正弦定理得,即，
解得.
故选：C
【例题6-9】中，，，，则的周长是______．
【答案】
依题意， ，
由正弦定理得： ， ，
的周长= ；
故答案为： .
【例题6-10】已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为（       ）
A．9 B．10 C．20 D．24
【答案】C
由余弦定理得：，则，周长为.
故选：C.
【自我提升1】在中，，，，则（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】在中，，
而，由正弦定理得：，
所以.
故选：B
【自我提升2】已知的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则角＝（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由余弦定理得，
结合，得，
，，所以，∴，．
故选：A．
【自我提升3】在 中，已知，，若的最短边长为，则其最长边长为（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，因为，所以，
因为，所以，因为，所以，
所以
，
即为最大角，，故最短边为a，最长边为c，所以，
由正弦定理得，解得，所以最长边长为，
故选:A
【自我提升4】已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且，，则的周长的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理，又A＝60°，BC=4
所以

因为△ABC为锐角三角形，所以
所以，所以
所以周长的取值范围是.
故选：A.
（3）判断三角形的形状问题：
【例题6-11】在中，已知，那么一定是（   ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：B.
【例题6-12】若在，则三角形的形状一定是（   ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】由以及余弦定理得，
化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形.
故选：B
【自我提升】在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（       ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
（4）正、余弦定理的实际应用：
【例题6-13】如图，一轮船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛（       ）

A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
【答案】C
【解析】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
【例题6-14】如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，已知，，，，，则的长为________．

【答案】
【解析】在中，由正弦定理得：，
，，
在中，由余弦定理得：
，
.
故答案为：.
【例题6-15】2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点（如图2）距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为25.4米，并从点测得点的仰角为；在赛道与建筑物之间的地面上的点处测得点，点的仰角分别为和（其中，，三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点距离地面的高度约为（   ）（参考数据：，，）

A．58 B．60 C．66 D．68
【答案】B
【解析】如图所示：

由题意得：，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中， ，
故选：B
【例题6-16】两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔B在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（       ）
A．北偏东 B．北偏西
C．南偏东 D．南偏西
【答案】B
【解析】灯塔A，B的相对位置如图所示，

由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.
故选：B.
【例题6-17】位于灯塔处正西方向相距的处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔处北偏东相距的处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，过点作的延长线交于点，如图，

则，，，
在中，，
在中，，，
又
，
则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.
故选：B.
【例题6-18】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，，则(       )

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
在中，由余弦定理知，
，
，而，，
∴在中，由余弦定理知，．
故选：D．
【例题6-19】如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，， ，则，
因，则，
在中，由余弦定理得：，即，
在中，由正弦定理得：，
所以.
故选：D
【自我提升1】如图,设两点在河的两岸,在A所在河岸边选一定点C,测量的距离为50m,,,则可以计算两点间的距离是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在三角形中,
,,
所以,
由正弦定理: ,
所以.
故选:A
【自我提升2】（多选题）为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（       ）

A．与 B．与 C．，与 D．，与
【答案】ABC
【解析】因为A，C在河的同一侧，所以可以测量，与，
故选：ABC
【自我提升3】已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距____________.

【答案】40
【解析】依题意，，，
由正弦定理，即，解得；
故答案为：
【自我提升4】在四边形中，已知，，，，，则的长为______．
【答案】或

在中，由余弦定理得：，
即，解得：（舍）或；
，，，又，，，
在中，，.
故答案为：.
7.三角函数与解三角形的综合应用：
【例题7-1】在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由和余弦定理得，又，∴．
因为三角形为锐角三角形，则，即，解得．

，
∵，即，所以，
则，因此，的取值范围是．
故选：A
【自我提升】函数的最大值为（  ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【详解】
，
令，所以，则
，
所以，
所以原函数可化为，，
对称轴为，
所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，
即的最大值为，
故选：C
【例题7-2】锐角中，，角的角平分线交于点，,则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】由已知得， ,
在中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故,
而
，
因为锐角中， ,
故，则，，
故，
故答案为：
【自我提升】函数的最小值为______，此时______．
【答案】     49     或0.4
【解析】由题意得，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：49，
【例题7-3】已知中，角、、对应的边分别为、、，若，且满足．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，又因为，所以；
(2)解：








又因为，所以，所以
所以.
【自我提升】已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)及，
，化简得，
，又，.
(2)由（1）可得



为锐角三角形，
且，，
.
，，
故的取值范围为.
【自我提升】已知函数．

(1)用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
(2)写出函数在上的单调递减区间；
(3)将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．
【答案】(1)图象见解析，；
(2)
(3)，；
【解析】(1)因为，
列表如下：

0











0
2
0

0
函数图象如下：

函数的最小正周期．
(2)解：令，
解得，
所以函数的单调递减区间为
(3)解：将图像上所有的点向右平移个单位长度得到，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，
因为，所以，所以，所以，
当，即时，当，即时；

1. 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)
A. π B．－ π C. π D．－ π
【答案】B.
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是
－4π－×2π＝－π.故选B.
2. 已知点在角的终边上，且，则的值为 （ ）
A． B. C. D．
【答案】C
【解析】因为点在角的终边上，由三角函数的定义可知，且点在第四象限，所以.
3. 已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∵角的终边关于y轴对称，∴．
故选：D．

4. 设，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，
故=
注意到，所以.
5. 在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为满足条件的三角形有两个，所以,将，，，代入，解得.
故选：C
6.若，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意可知，
因此可得：，因为，所以，
因此得到.
由.
由，得到.又由于，
得到,,.
7. 若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】

，
故选：A
8. 设函数满足．当时，，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】由题意可得：

=.

9. 已知角的终边经过点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
依题意，由三角函数的定义可知，

.
故选：D.
10. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上的一点，将角终边逆时针旋转得到角的终边，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知，所以，
则
.
故选：A．
11. 已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，所以．
故选：B．
12. 已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为，，，
所以，，

.
故选：A
13. 已知sin α=，α∈（π，），则tan等于（　　）
A．－2 B． C．或2 D．－2或
【答案】A
【解析】∵sin α=，α∈（π，），∴cos α=，∴tan α=.∵α∈（π，），
∴∈（，），∴tan＜0. tan α= =，即2tan2+
3tan－2=0，解得tan=－2，或tan=（舍去），故选A．
14. 设，，且tan=，则下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦.

.tan=
因为，，所以．故选C．
15. 函数的定义域为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】
令，解得：，，
定义域为，.
故选：C.
16. 函数是（   ）
A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1
C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1
【答案】D
【解析】由题意，，
，所以该函数为偶函数，
又，
所以当即时，取最大值1.
故选：D.
17. 函数（）的最大值是（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】
．
令，则．而在上单增，
所以当时，．
故选：A．
18. 函数的单调递减区间为（  ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数，
令，解得,
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
19. 若函数在内单调递增，则a的最大值是(   )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
．
，，
∴f(x)的增区间是，，
∵f(x)在上单调递增，而0，
∴f(x)的增区间k取0时为，满足0，
∴a的最大值为．
故选：D．
20. 函数图象的一个对称中心为（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；
故选：D
21. 已知函数，则该函数为（       ）
A．奇函数，最小值为 B．偶函数，最大值为
C．奇函数，最小值为 D．偶函数，最小值为
【答案】D
【详解】
由，定义域为，
，是偶函数，
又，
时，．
故选：D．
22. 已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
23. 在中，若，，则一定是（       ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】由 ，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以，
所以，因为，所以，即，所以，
因为，所以，
所以，从而.所以三角形为等边三角形，
故选:
24.比较大小：tan ________tan .
【答案】
【详解】
根据三角函数的诱导公式，可得，
，
因为，且函数在上为单调递增函数，
所以，所以.
故答案为：
25.已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
【答案】－
【解析】由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
26.已知，则__________．
【答案】-3
【解析】
27.已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.
【答案】±
【解析】∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，
cos2α＝，即cos α＝±.
28.已知，则 .
【答案】或1
【解析】由可得，
整理得：，而，两边同时除以得
，解得或1.
29.函数y＝cos xtan x的值域是________．
【答案】(－1,1)
【解析】y＝cos xtan x＝sin x，又x≠kπ＋，∴y＝sin x∈(－1,1)．
30.当时，函数的最大值为______．
【答案】-4
【解析】由题意得
所以，
当时，，
设
所以，
所以当时，函数取最大值.
所以的最大值为-4．
故答案为：
31.函数的最小正周期是_________.
【答案】
【解析】




所以函数的最小正周期
故答案为：．
32.已知分别为锐角的内角的对边，若，则面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得：，所以.
又为锐角三角形，所以.
由余弦定理得：（当且仅当a=b时等号成立）
即，
所以（当且仅当a=b，即为等边三角形时等号成立）.
所以面积的最大值为.
故答案为：.
33.在某个位置测得一旗杆的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进米后，测得旗杆的仰角为原来的4倍，则该旗杆的高度为______米．

【答案】
【解析】如图所示，在中，，
由余弦定理得，
可得，，
所以.
故答案为：.

34.角的终边上一个点的坐标为，求的值.
【解析】当时，，由三角函数的定义，，，从而；
当时，，由三角函数的定义，，，从而；综上可得，.
35.已知函数．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)设函数，求函数在上的最小值和最大值，并求出此时对应的x值．
【答案】(1)(2)(3)时，时
【解析】
(1)解：因为，
所以
(2)解：因为，所以
(3)解：因为，
所以，
因为，所以，所以，所以
所以当，即时；
当，即时
36. 已知锐角的内角的对边分别为且；

（1）求角；
（2）如图，边的垂直平分线交于，交边于，求长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
由正弦定理得，
则，即，
又是锐角三角形的内角，故
（2）是等腰三角形，
且是一个底角，故为的中点，则，
在中，，
由正弦定理得，
故，故在中，．