2023湖南省多所学校高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册占70%。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.倾斜角为135°，在轴上的截距为1的直线方程是

A.   B.

C.   D.

2.

A.   B.   C.   D.

3.下列关于空间向量的说法中错误的是

A.零向量与任意向量平行

B.任意两个空间向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量

4.若方程表示椭圆，则的取值范围为

A.   B.   C.   D.

5.空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为

A.   B.   C.3   D.

6.某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下：97，90，，95，92，85，87，90，94.去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则

A.84   B.86   C.89   D.98

7.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且位于第一象限，，则的纵坐标为

A.1   B.2   C.   D.

8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则

A.的图象关于轴对称    B.的最小正周期是

C.的图象关于点对称   D.在上单调递减

10.如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面外一点，则

A.    B.

C.  D.

11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，的中点为M，A，M，B在直线上的投影分别为P，N，Q，则

A.   B.   C.   D.

12.已知曲线：，则

A.曲线围成的面积为

B.曲线截直线所得弦的弦长为

C.曲线上的点到点的距离的最大值为

D.曲线上的点到直线的距离的最大值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量，，，若，，共面，则__________.

14.已知圆和圆的半径都为1，圆心分别为，，写出一个与圆和圆都相切的圆的方程：__________.

15.古希腊伟大的数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.2米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格为__________元.（结果精确到整数）

16.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若三棱锥的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）

为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台，开设书法兴趣班.为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到数据如下.

（1）从这100名学生中随机抽取1人，求该学生是女学生且喜欢书法兴趣班的概率；

（2）从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人喜欢书法兴趣班的概率.

18.（12分）

已知圆经过点，，.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点向圆作切线，求切线方程.

19.（12分）

如图，在四棱锥中，底面，，，，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

20.（12分）

在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

21.（12分）

已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.

（1）求双曲线的方程；

（2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

22.（12分）

如图，菱形的边长为2，，E为AB的中点.将沿DE折起，使A到达，连接，，得到四棱锥.

（1）证明：.

（2）当二面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

高二数学试卷参考答案

1.B因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在轴上的截距为1，所以所求直线方程为，即.

2.D 

3.C在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，C错误.

4.D因为方程表示椭圆，所以，，且，解得.

5.A因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，所以点到直线的距离为.

6.C当时，，则不符合题意；

当时，，则不符合题意；

当时，，解得.

7.C因为，所以.由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为.设的纵坐标为，的面积为，解得.

8.B设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.易得，，因为平面，平面，，，所以平面平面.因为平面，所以H为线段FG上的点.

易得平面，因为，所以平面，，.

因为，所以，.

.

因为，所以.

9.BCD将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则.则A错误，B正确.令，，解得，，当时，.则C正确.令，，解得，，则D正确.

10.ABD在平面内选取两个互相垂直的单位向量，，且，

则，，，

则，.

所以，.

，

.

11.ACD抛物线的焦点为，准线方程为.

设直线的方程为，，，则，.联立方程组得，则，.

因为，所以，，所以，所以，故A正确；

因为，所以，故C正确，B错误；

因为，所以，故D正确.

12.ABD当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：.画出曲线，如图所示.曲线围成的面积为，A正确.

曲线截直线所得弦的弦长为，B正确.

以为圆心作圆与曲线相切，设其中一个切点为，则曲线上的点到点的距离的最大值为，C错误.

数形结合可得，曲线上到直线距离最大的点在第一象限，到直线的距离，曲线上的点到直线的距离的最大值为，D正确.

13.1因为，，共面，所以，即，则，解得，，.

14.（或或）与圆和圆都相切的圆如图所示，分别为，，.

15.151设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为米，米，则故小张要买的镜子的价格为元.

16.如图所示，取的中点，过作，且，

因为平面，所以平面.

因为，所以，所以，

所以是三棱锥外接球的球心，为球的半径.

因为，所以.

因为，所以球的半径，

当且仅当时，等号成立，此时，所以，故所求表面积的最小值为.

17.解：（1）从这100名学生中随机抽取1人，该学生是女学生且喜欢书法兴趣班的概率为.

（2）由题意可知该校男学生喜欢书法兴趣班的频率为.

由题意可知该校女学生喜欢书法兴趣班的频率为.

故所求概率.

18.解：（1）设圆的方程为，

则

解得，，，

所以圆的方程为，

故圆的标准方程为.

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.

当切线斜率存在时，设切线方程为，即.

由，解得，

所以切线方程为，即.

综上所述，所求切线方程为或.

19.解：（1）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，

所以，

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2），设平面的法向量为，

则，即

令，得.

易知是平面的一个法向量，

由，

得平面与平面夹角的余弦值为.

20.解：（1）由正弦定理可得，

即.

因为，

所以，

即.

因为，所以，.

因为，所以.

（2）.

因为为锐角三角形，所以，则.

所以，.

故的取值范围为.

21.（1）解：设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，

所以焦点到渐近线的距离为.

因为，所以，，

所以双曲线的方程为.

（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时，.

当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，

联立方程组得，

由，得，

联立方程组得.

不妨设直线与的交点为，则.

同理可求，所以.

因为原点到直线的距离，

所以，又因为，所以，

故的面积为定值，且定值为.

22.（1）证明：在菱形中，因为为的中点，，所以，

在翻折过程中，恒有，，

又，所以平面，

而平面，所以.

（2）解：由（1）知为二面角的平面角，记其为，则，

以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

设平面的法向量，则，得

令，得，

，则.

令，，得.

，

当且仅当时，等号成立.

故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.