山东省滕州市一中2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

高二年级单元检测数学试题

一、单选题

1．已知、都是空间向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．已知，若共面，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

4．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（    ）

A． B． C． D．

5．已知大小为的二面角棱上有两点A、B，，，，，若，，，则的长为（    ）

A．22   B．40  C．  D．

6．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（    ）

A．0° B．1° C．2° D．3°

8．如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（    ）

A．   B．   C． D．

二、多选题

9．下列命题中不正确的是（    ）

A．是共线的充要条件     B．若共线，则

C．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面

D．若为空间四点，且有不共线，则是三点共线的充分不必要条件

10．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线在轴上的截距为      B．直线的倾斜角为

C．，，三点共线

D．过点且在轴上的截距相等的直线方程为

11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③ ．如图2，在长方体中，

则下列结论正确的是（    ）

A．                    B．

C．    D．

12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

三、填空题

13．在空间直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则__________．

14．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在的直线方程是______.

15．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________.

16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________.

四、解答题

17．已知空间三点.

（1）若点在直线上，且，求点的坐标；

（2）求以为邻边的平行四边形的面积.

18．证明：点到直线的距离

19．已知点和，P为直线上的动点.

(1)求关于直线的对称点，，

(2)求的最小值.

20．如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）已知点为线段上的点，，，求直线与平面的距离．

21．如图1，已知正方形的边长为，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上(包含端点)运动，连接.

（1）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面.

（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时平面与平面的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由

22．已知两条直线，

(1)若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程；

(2)若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值；

(3)设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围．

高二数学单元检测参考答案：

选择题

ACBA    CACD    ABD   BC   ACD   ABD

三、填空题

13．6  14．   15．   16．.

17.解：（1），点在直线上，设，

，

，

，

，，.

（2），

，

，，

，所以以为邻边得平行四边形的面积为.

18．【详解】当时，则直线与轴、轴都相交，

过点分别作轴、轴的平行线，交直线与点，则直线的方程为，，

直线的方程为，，

由，可得，，

，

设到直线的距离为，由三角形的面积公式，可得，

所以；当或时，经验证，上述公式也成立，

综上可得点到直线的距离.（其他方法亦可）

19．（1）关于直线的对称点设为，，

则，解得，，所以的坐标为.

（2）由（1）及已知得：，

当且仅当三点共线时，取等号，则的最小值．

20．证明：（I）∵E为圆弧AC中点且，△AEC为等腰直角三角形

为AC中点，∴，平面FBD，又平面FBD，；

（II），△FBD为等腰三角形，又C为BD中点，

，以C为原点，以平行于BE所在直线为轴，CD所在直线为轴，CF所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

B（0，-1，0），D（0，1，0），E（1，-1，0），R（0，），

FBBE，平面RQD，

平面RQD，B到面RQD的距离为BE到面RQD的距离，

=（0，，），，

设面RQD法向量

，令=5，得=(0，2，5），

所以距离为：

21．（1）因为直线MF⊂平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，

所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线(即直线AE)上，延长EA，FM交于点O，连接OD，如图所示．因为，M为AB的中点，所以△OAM≌△FBM，所以OM＝MF，AO＝BF＝2.故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2.   

连接DF，交EC于点N，因为四边形CDEF为矩形，

所以N是EC的中点．连接MN，则MN为△DOF的中位线，所以MN∥OD，

又MN⊂平面EMC，OD⊄平面EMC，所以直线OD∥平面EMC.

（2）如图，由已知可得EF⊥AE，EF⊥DE，又AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，

由于平面，所以平面ABFE⊥平面ADE.

易知△ADE为等边三角形，取AE的中点H，连接DH，则,根据面面垂直的性质定理可知：DH⊥平面ABFE.以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(－，0，0)，D(0，0，)，C(0，2，)，F(－，2，0)，

所以，设，则.

设平面EMC的法向量为，

则，即，

取，则为平面EMC的一个法向量．

要使直线DE与平面EMC所成的角为60°，

则，即，解得或.

所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°.

取ED的中点Q，连接QA，则为平面的一个法向量， Q，0，，A(，0，0)，所以.所以可设平面的一个法向量为

设平面MEC与平面ECF的夹角为θ，

当时，，，

当时，，，

综上，平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值为.

22．（1）由直线，令，

得，直线恒过定点，

则，

当且仅当时，最小值为9．此时直线；

（2）由直线，知恒过定点，

分别与轴交于两点，且，

故，

又函数在上单调递增，

因为，故当时，面积；

（3）由，可得，均恒过定点，

设直线，由；

，设直线交轴于点，而,

则

，又，所以，故.