2021-2022学年福建省龙岩市连城一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市连城一中高二（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）将直线绕着原点逆时针旋转60°，得到的新直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在数列{an}中，a1＝2，，则a4＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）在等差数列{an}中，a2+a6＝8，a5＝6，则数列{an}的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝8，则S12＝（ ）
A．14B．18C．26D．32
5．（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列{an}，记an为该数列的第n项，则a63＝（ ）
A．2016B．4032C．2020D．4040
6．（5分）设直线ax+y+2＝0与圆C：x2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，且△ABC的面积为2，则a＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知双曲线C：的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|＝7，则|PF2|＝（ ）
A．25B．13C．1或13D．11或25
8．（5分）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2，椭圆C的离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为（ ）
A．3b2B．2b2C．D．6b2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为8B．焦距为
C．顶点坐标为（±4，0）D．离心率为
（多选）10．（5分）已知A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，0），则（ ）
A．直线x﹣y＝0与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y＝2
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x﹣4y+7＝0
（多选）11．（5分）如图，已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与椭圆交于B，C两点，AC的中点为M，若，则（ ）
A．λ＝2B．λ
C．椭圆的离心率eD．椭圆的离心率e
（多选）12．（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），动点C满足，直线l：mx﹣y+m+1＝0，则（ ）
A．动点C的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4
B．直线l与动点C的轨迹一定相交
C．动点C到直线l距离的最大值为
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则m＝﹣1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知椭圆C：的焦距为，则椭圆C的长轴长为 ．
14．（5分）在等比数列{an}中，若a1＝1，，则数列{anan+1}的公比为 ．
15．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，直线x﹣c＝0与双曲线C的一个交点为点P，与双曲线C的一条渐近线交于点Q，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ．
16．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+（y+2）2≤2，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）a＝4，c＝6，且焦点在x轴上；
（2）焦点为F1（0，﹣5）和F2（0，5），且经过点．
18．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，AB的中点坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△AF2B的面积．
19．（12分）已知直线l：2x﹣y+m﹣1＝0（m＞0）被圆C：x2+y2+my﹣21＝0截得的弦长为4．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P为圆D：（x﹣8）2+y2＝1上一动点，点Q为圆C上一动点，点M在直线y＝4上运动．求|MP|+|MQ|的最小值，并求此时M的坐标．
20．（12分）已知等差数列{an}中，a1+a5＝16，a6＝17．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）{bn}为正项数列，若{bn}的前n项和为Sn，且S1＝2，bn+1＝Sn+2，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
21．（12分）已知A，B是圆C：x2+y2＝4与y轴的两个交点，且A在B上方．
（1）若直线l过点，且与圆C相切，求l的方程；
（2）已知斜率为k的直线m过点（0，1），且与圆C交于M，N两点，直线AM，BN相交于点T，证明点T在定直线上．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的面积为abπ，上顶点为A，右顶点为B，直线AB与圆O：x2+y2相切，且椭圆C的面积是圆O面积的倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）P为圆O上任意一点，过P作圆O的切线与椭圆C交于M，N两点，试问|PM|•|PN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
2021-2022学年福建省龙岩市连城一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）将直线绕着原点逆时针旋转60°，得到的新直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用已知条件判断直线的倾斜角，然后求解新直线的倾斜角，得到斜率即可．
【解答】解：∵直线y0经过原点，倾斜角为60°，
将直线绕着原点逆时针旋转60°，倾斜角为120°，
得到的新直线的斜率为：．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的基本量与基本形式的知识，属于基础题．
2．（5分）在数列{an}中，a1＝2，，则a4＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得a4的值．
【解答】解：由已知可得a2，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了学生的计算能力，是基础题．
3．（5分）在等差数列{an}中，a2+a6＝8，a5＝6，则数列{an}的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a2+a6＝8，a5＝6，
则a4（a2+a6）＝4，
∴公差d＝a5﹣a4＝6﹣4＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
4．（5分）记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝8，则S12＝（ ）
A．14B．18C．26D．32
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】解：因为等比数列{an}中，S4＝2，S8＝8，
则q≠1，
所以，
解得q4＝3，1，
则S1226．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
5．（5分）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列{an}，记an为该数列的第n项，则a63＝（ ）
A．2016B．4032C．2020D．4040
【分析】设第n个数为an，观察图中的数据可得a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3…an﹣an﹣1＝n，利用叠加法可求an，从而可求a63的值．
【解答】解：设第n个数为an，
则a1＝1，
a2﹣a1＝2，
a3﹣a2＝3，
a4﹣a3＝4，
…
an﹣an﹣1＝n，
叠加可得，an﹣a1＝2+3+4+…+n，
∴an＝1+2+3+…+n，
∴a63＝2016，
故选：A．
【点评】本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，属于基础题．
6．（5分）设直线ax+y+2＝0与圆C：x2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，且△ABC的面积为2，则a＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角形的面积公式可求得，可得出圆心C到直线ax+y+2＝0的距离d，再利用点到直线的距离公式可求得a的值．
【解答】解：由三角形的面积公式可得，可得sin∠ACB＝1，
∵0＜∠ACB＜π，故，则△ABC为等腰直角三角形，
所以，圆心C到直线ax+y+2＝0的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形面积公式，点到直线距离公式及其应用，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
7．（5分）已知双曲线C：的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|＝7，则|PF2|＝（ ）
A．25B．13C．1或13D．11或25
【分析】求出a的值，根据双曲线的定义求出|PF2|的值即可．
【解答】解：由题意得a＝3，
根据双曲线的定义得：
||PF1|﹣|PF2||＝6，
又|PF1|＝7，则|PF2|＝1（舍）或13，
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的定义，考查对应思想，是基础题．
8．（5分）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2，椭圆C的离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为（ ）
A．3b2B．2b2C．D．6b2
【分析】由题意画出图形，求得|PQ|，设|MP|＝m，|MQ|＝n，由勾股定理结合基本不等式即可求得△MPQ面积的最大值．
【解答】解：由“蒙日圆”的定义可知，MP⊥MQ，则PQ为蒙日圆的直径，
连接OM，∴，则|PQ|＝2|OM|＝2，
设|MP|＝m，|MQ|＝n，∴m2+n2＝|PQ|2＝4（a2+b2），
又m2+n2≥2mn（当且仅当m＝n时取等号），
∴4（a2+b2）≥2mn，即mn≤2（a2+b2），
∴a2+b2．
∵，∴，即a2＝2c2＝2（a2﹣b2），
得a2＝2b2，∴a2+b2＝3b2，即△MPQ面积的最大值为3b2．
故选：A．
【点评】本题考查圆与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为8B．焦距为
C．顶点坐标为（±4，0）D．离心率为
【分析】根据双曲线的性质分别求出即可．
【解答】解：双曲线，则a2＝16，b2＝4，则a＝4，b＝2，
则c2＝a2+b2＝20，则c＝2，焦距2c＝4，
所以实轴长为2a＝8，顶点坐标为（0，±4），离心率e．
故选：AD．
【点评】本题考查了双曲线的方程和性质，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，0），则（ ）
A．直线x﹣y＝0与线段AB有公共点
B．直线AB的倾斜角大于135°
C．△ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y＝2
D．△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x﹣4y+7＝0
【分析】根据斜率公式，点斜式方程，直线与直线的垂直即可求出．
【解答】解：由于点A（1，2），B（﹣3，4）均在直线x﹣y＝0的同侧，则直线x﹣y＝0与线段AB没有公共点，故A错误；
由于直线的斜率k1，故直线AB的倾斜角大于135°，故B正确；
由于直线BC的斜率为4，则边BC上的中垂线的斜率为，BC的中点为（，2），故中垂线所在直线的方程y﹣2（x），故C错误；
由于边BC上的高线的斜率为，则其方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣4y+7＝0，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了直线的斜率，直线方程，直线与直线的垂直，属于基础题．
（多选）11．（5分）如图，已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与椭圆交于B，C两点，AC的中点为M，若，则（ ）
A．λ＝2B．λ
C．椭圆的离心率eD．椭圆的离心率e
【分析】连接OM，可得OM为△ABC的中位线，利用，即可求解．
【解答】解，如图，连接OM，可得OM为△ABC的中位线，
∴，
又∵，则λ＝2，
又∵，∴a＝3c，e，
故选：AC．
【点评】本题考查了椭圆的性质、三角形中位线的性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），动点C满足，直线l：mx﹣y+m+1＝0，则（ ）
A．动点C的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4
B．直线l与动点C的轨迹一定相交
C．动点C到直线l距离的最大值为
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则m＝﹣1
【分析】设C（x，y），由题意求出点C的轨迹以及轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，依次判断四个选项即可．
【解答】解：设C（x，y），
因为动点C满足，
所以，
整理可得x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，
对于A，动点C的轨迹是以N（﹣2，0）为圆心，r＝2为半径的圆，动点C的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4，故选项A正确；
对于B，因为直线l过定点M（﹣1，1），而点M（﹣1，1）在圆（x+2）2+y2＝4内，
所以直线l与动点C的轨迹一定相交，故选项B正确；
对于C，当直线l与MN垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r+|MN|＝2，故选项C错误；
对于D，记圆心N到直线l的距离为d，
则d，
因为|PQ|2＝4（r2﹣d2），
则4（r2﹣d2）＝8，
因为r＝2，
所以d，即，
解得m＝﹣1，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了直线与圆的综合应用，动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知椭圆C：的焦距为，则椭圆C的长轴长为 6 ．
【分析】根据a＞2可确定焦点在x轴上，结合b，c可求得a，进而得到长轴长．
【解答】解：因为a＞2，所以椭圆焦点在x轴上，
所以b2＝4，又2c＝2，所以c，
所以a3，
所以长轴长2a＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，a，b，c的关系，属于基础题．
14．（5分）在等比数列{an}中，若a1＝1，，则数列{anan+1}的公比为 ．
【分析】利用等比数列通项公式求出q，再由数列{anan+1}的公比为q2，能求出结果．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a1＝1，，
∴q3，解得q，
∴数列{anan+1}的公比为q2．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，直线x﹣c＝0与双曲线C的一个交点为点P，与双曲线C的一条渐近线交于点Q，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 y ．
【分析】根据平面向量的基本定理可知P，Q，F2三点共线，且P在Q和F2的中间，不妨设P，Q均在第一象限，把x＝c分别代入双曲线的方程和渐近线方程，可得点P和Q的坐标，再结合平面向量的坐标运算，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程．
【解答】解：由，知P，Q，F2三点共线，且P在Q和F2的中间，
不妨设P，Q均在第一象限，把x＝c代入双曲线方程，
有，得y＝±，则P（c，），
把x＝c代入双曲线的渐近线y，有y，则Q（c，），
∵，
∴（c，）（c，0）（c，），即•，化简得bc，
∴ac，
∴离心率e；
由bc，得9b2＝4c2＝4（a2+b2），则4a2＝5b2，
即，可得双曲线的渐近线方程为y．
故答案为：；y．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，平面向量的基本定理与坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+（y+2）2≤2，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【分析】设点A关于直线x+y﹣1＝0的对称点为A'（a，b），设军营所在区域的圆心为C，半径为R，则C（0，﹣2），R，由题意可知，A'C﹣R＝A'C即为“将军饮马”的最短总路程，再结合对称直线的性质，求出对称点A'（a，b），再运用两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点A关于直线x+y﹣1＝0的对称点为A'（a，b），
设军营所在区域的圆心为C，半径为R，
则C（0，﹣2），R，
由题意可知，A'C﹣R＝A'C即为“将军饮马”的最短总路程，
∵直线AA'与直线x+y﹣1＝0垂直，
∴直线AA'与此直线的斜率乘积为﹣1，
∴kAA'＝1，
∵点A（﹣4，0），A'（a，b），
∴直线AA'的方程为y＝x+4，
∵点A（﹣4，0），A'（a，b），
∴AA'的中点为，
∴，解得a＝1，b＝5，
∵C（0，﹣2），
∴，
故最短距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）a＝4，c＝6，且焦点在x轴上；
（2）焦点为F1（0，﹣5）和F2（0，5），且经过点．
【分析】（1）先求出b2，即可得到双曲线方程；
（2）由题意设方程为1，可得以a2+b2＝c2＝25，①，1，②，联立①②解得即可．
【解答】解：（1）a＝4，c＝6，则b2＝c2﹣a2＝36﹣16＝20，
又焦点在x轴上，
所以方程为1；
（2）焦点为F1（0，﹣5）和F2（0，5），
设方程为1，且c＝5，
所以a2+b2＝c2＝25，①，
因为经过点，
所以1，②，
由①②解得a2＝16，b2＝9，
所以双曲线的方程为1．
【点评】本题考查了双曲线方程的求法，属于基础题．
18．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，AB的中点坐标为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△AF2B的面积．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点坐标可得，，再由椭圆的离心率及“点差法”可得直线AB的斜率，求得直线方程，进一步减去c，可得a与b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式可得△AF2B的面积．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵AB的中点坐标为，∴，，
又e，∴，即，可得．
由，得，
则，
∴直线AB的方程为y1×（x），即x﹣y+1＝0．
令y＝0，得x＝1，即c＝1，∴a2＝2，b2＝1．
可得椭圆方程为；
（2）联立，得3y2﹣2y﹣1＝0．
∴，，得，
∴．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了设而不求的解题思想，考查运算求解能力，是中档题．
19．（12分）已知直线l：2x﹣y+m﹣1＝0（m＞0）被圆C：x2+y2+my﹣21＝0截得的弦长为4．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点P为圆D：（x﹣8）2+y2＝1上一动点，点Q为圆C上一动点，点M在直线y＝4上运动．求|MP|+|MQ|的最小值，并求此时M的坐标．
【分析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理结合弦长为4，即可求出m的值，从而得到圆C的标准方程；
（2）设圆C的圆心为C，圆D的圆心为D，半径分别为r1，r2，所以|MP|+|MQ|最小值即|MC|+|MD|﹣r1﹣r2的最小值，设点D关于直线y＝4的对称点为点D'，则D'（8，8），则|MC|+|MD|的最小值为|D'C|，利用两点间距离公式即可求出|D'C|的长，从而求出|MP|+|MQ|最小值，联立直线CD'与y＝4可求出此时点M的坐标．
【解答】解：（1）由x2+y2+my﹣21＝0，得x2+（y）2＝21，
所以圆的圆心坐标是C（0，），
∵圆C：x2+y2+my﹣21＝0（m＞0）被直线l：2x﹣y+m﹣1＝0截得的弦长为4，
∴（）2+（2）2＝21，
解得m＝﹣1或4，
又∵m＞0，
∴m＝4，
∴圆C的标准方程为：x2+（y+2）2＝25．
（2）设圆C的圆心为C，圆D的圆心为D，半径分别为r1，r2，如图所示，
∴D（8，0），C（0，﹣2），r1＝5，r2＝1，
∴|MP|+|MQ|最小值即|MC|+|MD|﹣r1﹣r2的最小值，
设点D关于直线y＝4的对称点为点D'，则D'（8，8），
连接D'C交直线y＝4于点M，此时|MC|+|MD|的值最小，最小值为|D'C|2，
∵C（0，﹣2），D'（8，8），
∴直线CD'的方程为yx﹣2，
联立方程，解得，
∴此时点M的坐标为（，4），
∴|MC|+|MD|﹣r1﹣r2的最小值为25﹣1＝26，
即|MP|+|MQ|最小值为26，此时点M的坐标为（，4）．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了点关于直线的对称点，同时考查了圆外一点与圆上点的距离的最小值，是中档题．
20．（12分）已知等差数列{an}中，a1+a5＝16，a6＝17．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）{bn}为正项数列，若{bn}的前n项和为Sn，且S1＝2，bn+1＝Sn+2，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列的性质可得d＝3，从而写出通项公式；
（2）由bn+1＝Sn+2及S1＝2可推导出数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而利用错位相减法求数列{an•bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a5＝2a3＝16，∴a3＝8，
∴d3，
故an＝8+（n﹣3）•3＝3n﹣1；
（2）当n≥2时，
∵bn+1＝Sn+2，bn＝Sn﹣1+2，
∴bn+1﹣bn＝bn，即bn+1＝2bn，
当n＝1时，b2＝S1+2＝4，也满足bn+1＝2bn，
故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即bn＝2n，
故an•bn＝（3n﹣1）•2n，
Tn＝（3﹣1）•2+（6﹣1）•22+……+（3n﹣1）•2n，①
2Tn＝（3﹣1）•22+（6﹣1）•23+……+（3n﹣1）•2n+1，②
①﹣②得，
﹣Tn＝（3﹣1）•2+3•22+3•23+……+3•2n﹣（3n﹣1）•2n+1，
故Tn＝﹣4（3n﹣1）•2n+1
＝（3n﹣4）•2n+1+8．
【点评】本题考查了等差数列及等比数列，应用了分类讨论及错位相减法，属于中档题．
21．（12分）已知A，B是圆C：x2+y2＝4与y轴的两个交点，且A在B上方．
（1）若直线l过点，且与圆C相切，求l的方程；
（2）已知斜率为k的直线m过点（0，1），且与圆C交于M，N两点，直线AM，BN相交于点T，证明点T在定直线上．
【分析】（1）求出直线l的斜率，利用点斜式求解直线l的方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线m的方程为y＝kx+1，求出AB坐标，联立方程组，利用韦达定理结合斜率关系，推出结果即可．
【解答】（1）解：点的坐标满足x2+y2＝4，所以P为圆C上一点．
圆C：x2+y2＝4的圆心为C（0，0），则kCP＝1，所以直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程为，即，
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线m的方程为y＝kx+1，
由圆C：x2+y2＝4，可得A（0，2），B（0，﹣2）．
联立方程组，
消去y并化简得（k2+1）x2+2kx﹣3＝0，
所以，．
直线AM的方程为，①
直线BN的方程为，②
由①②知．
由，化简得y＝4．故点T在定直线y＝4上．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的面积为abπ，上顶点为A，右顶点为B，直线AB与圆O：x2+y2相切，且椭圆C的面积是圆O面积的倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）P为圆O上任意一点，过P作圆O的切线与椭圆C交于M，N两点，试问|PM|•|PN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）由题意求得直线AB的方程为bx+ay﹣ab＝0，再由直线AB与圆O相切，得，结合椭圆C的面积是圆O面积的倍，得ab＝2，联立求得a与b的值，则椭圆方程可求；
（2）当过P的直线的斜率不存在时，切线方程为x，可得|PM|•|PN|；
当过P的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得|PM|•|PN|，即可得到|PM|•|PN|为定值．
【解答】解：（1）由题意，A（0，b），B（a，0），则直线AB的方程为bx+ay﹣ab＝0．
∵直线AB与圆O：x2+y2相切，∴，即．
∵椭圆C的面积是圆O面积的倍，∴abπ，得ab＝2．
解得a＝2，b＝1．
∴椭圆C的标准方程为；
（2）当过P的直线的斜率不存在时，切线方程为x，
此时|PM|＝|PN|，|PM|•|PN|；
当过P的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
则，∴．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．
∴，．
∴，且，，
得．
代入根与系数的关系，整理可得．
把代入，得|PM|2•|PN|2
．
∴|PM|•|PN|．
综上可知，|PM|•|PN|为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
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