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2020-2021学年福建省龙岩市高二（上）期中考试数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年福建省龙岩市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设命题p:∀x∈R，x2+1>0，则¬p为( )
A.∀x0∈R， x02+1>0B.∃x0∈R， x02+1≤0
C.∃x0∈R， x02+1<0D.∀x0∈R，x02+1≤0
2. x2≤1的一个充分不必要条件是( )
A.x≤1B.x≥1C.0
3. 抛物线y=4x2的准线方程是（ ）
A.x=1B.x=−1C.y=−116D.y=116
4. 欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径3cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )
A.14πB.12πC.49πD.2π
5. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为23π，且离心率为12，则C的标准方程为( )
A.x24+y23=1B.x212+y2=1C.x23+y24=1D.x216+y23=1
6. 已知点 F 是抛物线 y2=4x的焦点，M，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则 MN中点的横坐标为( )
A.32B.2C.52D.3
7. 已知直线 l1:4x−3y+6=0 和直线 l2:x=−1 ，抛物线 y2=4x 上一动点P到直线 l1和直线 l2 的距离之和的最小值是( )
A.2B.3C.115D.3716
8. 已知双曲线C：y2a2−x2b2=1a>0,b>0，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P2,4，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±22x
二、多选题
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点Mx0,y0在抛物线C上，若|MF|=4，则( )
A.x0=3B.y0=23
C.|OM|=21D.F的坐标为0,1
若方程x23−t+y2t−1=1所表示的曲线为椭圆，则下列命题正确的是( )
A.该椭圆焦距为22
B.1C.离心率为32时，t的取值为75或135
D.焦距为2|2t−4|
某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）
A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分
B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散
C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数
D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为52，抛物线y2=45x的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1,k2，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.双曲线C的方程为x24−y2=1
C.k1k2为定值14D.存在点P，使得k1+k2=2
三、填空题
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F2PF1=120∘，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则3e12+1e22=________.
四、解答题
已知p：关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根；q：方程y23+x2m=1表示焦点在y轴上的椭圆．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
已知双曲线C： x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为2x−y=0，点3,0是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为45∘的直线l，且与双曲线交于A，B两点，求|AB|的长．
华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名，某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这100人的手机价格按照[500,1500)，[1500,2500)，⋅⋅⋅，[6500,7500)分成7组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若a是b的2倍，求a，b的值;
(2)求这100名顾客手机价格的平均数(同一组数中的数据用该组区间的中间值作代表，精确到个位)；
(3)利用分层抽样的方式从手机价格在[1500,2500)和[5500,6500)的顾客中选取6人，并从这6人中随机抽取2人进行回访，求抽取的2人手机价格在不同区间的概率.
动点M与点F1,0的距离比它到直线l：x+2=0的距离小1.
(1)点M的轨迹方程;
(2)过点F的直线L交曲线C于A，B两点，若|AB|=8 ，求直线L方程.
小张准备在某县城开一家文具店．为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示：
(1)根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)请由(1)所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价−日销售量×单支进价）最大，在(1)的前提下应该如何定价？
（其中：回归直线方程y=bx+a，b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2，i=15xiyi=67，i=15xi2=16.6）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省龙岩市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用全称命题否定为特称命题，得出答案.
【解答】
解：由全称命题的否定为特称命题：
命题p:∀x∈R，x2+1>0，
则¬p:∃x0∈R，x02+1≤0.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
首先确定“x2≤1”的范围的集合，再选取该集合的真子集即可.
【解答】
解：∵ x2≤1，∴ −1≤x≤1，
由题意可知：所选的选项是范围是集合−1,1的真子集，
故0故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，进而可得其准线方程，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=y4，
其焦点在y轴正半轴上，且p=18，
则其准线方程为y=−116.
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
【解答】
解：如图所示：
∵ S正=1，S圆=π(32)2=9π4，
∴ P=S正S圆=49π．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆的应用
【解析】
利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a，b，得到椭圆方程．
【解答】
解：由题意可得abπ=23π，ca=12，c2=a2−b2，
解得a=2 ，b=3，
因为椭圆C的焦点在x轴上，
所以C的标准方程为x24+y23=1.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出x1+x2＝4，即可求出MN中点的横坐标．
【解答】
解：∵ F是抛物线y2=4x的焦点，
∴ F(1, 0)，准线方程x=−1，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
∴ |MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴ 线段MN的中点横坐标为2.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
【解答】
解：直线l2:x=−1为抛物线y2=4x的准线，
由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1, 0)的距离，
故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1, 0)和直线l1的距离之和最小，
最小值为F(1, 0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离，
即d=|4−0+6|5=2，
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
直线与双曲线的位置关系
【解析】
利用点差法，可得k⋅kOP=b2a2=1×42，即可求出双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则y12a2−x12b2=1，y22a2−x22b2=1，
两式相减可得：
(y1+y2)(y1−y2)a2−(x1+x2)(x1−x2)b2=0，
化简得(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=a2b2，
∵ 斜率为k=1的直线与双曲线y2a2−x2b2=1(a>0, b>0)交于A，B两点，A，B的中点为P(2, 4)，
∴ a2b2=2，
∴ y=±abx=±2x．
故选C．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
两点间的距离公式
【解析】
由题可知F1,0，由MF|=x0+1，所以x0=3,y02=12，|OM|=x02+y02=9+12=21，故选AC．
【解答】
解：由题可知F1,0，|MF|=x0+1=4，
可得x0=3，y02=12，即y0=±23，
|OM|=x02+y02=9+12=21.
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
【解答】
解：由题意知 3−t>0,t−1>0,3−t≠t−1,
解得1若1此时a2=3−t，b2=t−1，
所以2a=23−t，2b=2t−1，2c=2|2t−4|，A错误；
若2此时b2=3−t，a2=t−1，
所以2b=23−t，2a=2t−1，2c=2|2t−4|，
当焦点在x轴上时e2=4−2t3−t=34 ，t=75；
当焦点在y轴上时e2=2t−4t−1=34 ，t=135，C正确；D正确．
故选BCD．
【答案】
A,C
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，
计算甲兴趣小组的平均分为x甲¯≈76.1，
计算乙兴趣小组的平均分为x乙¯≈68.1，
故甲兴趣小组的平均分高于乙兴趣小组的平均分，
故A正确；
观察茎叶图可知，乙兴趣小组的测试成绩更分散，
故B错误；
甲兴趣小组的测试成绩的中位数为77，
乙兴趣小组的测试成绩的中位数为64，
故甲兴趣小组的测试成绩的中位数大于乙兴趣小组的测试成绩的中位数，
故C正确；
甲兴趣小组的测试成绩的众数为79，
乙兴趣小组的测试成绩的众数为64，
故甲兴趣小组测试成绩的众数大于乙兴趣小组测试成绩的众数，
故D错误.
故选AC.
【答案】
B,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
直线与双曲线结合的最值问题
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意可知：ca=52，c2=a2+b2，
故ba=12，
即双曲线的渐近线方程为y=±12x，故A错误；
抛物线的准线为x=−5，
故c=5，
故a=2，b=1，
所以双曲线的方程为x24−y2=1，
故B正确；
点A(−2,0)，点B(2,0),
设P(x,y)，
则k1k2=y2x2−4,.
又x24−y2=1，
故k1k2=14，
故C正确；
k1+k2=2xyx2−4=x2y.
根据渐近线方程可知0故k1+k2>1，
即存在点P，使得k1+k2=2，
故D正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
4
【考点】
双曲线的离心率
椭圆的离心率
【解析】
先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且|F1F2|＝2c，∠F1PF2=2π3，在△F1PF2中根据余弦定理可得到3a12+a22＝4c2，结合离心率公式，计算可得所求值．
【解答】
解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，P在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|−|PF2|=2a2，
可得|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2，
设|F1F2|=2c，∠F1PF2=120∘=2π3，
在△PF1F2中由余弦定理得，
4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cs 2π3，
化简得3a12+a22=4c2，
该式可变成3a12c2+a22c2=4，
结合e1=ca1，e2=ca2，
∴ 3e12+1e22=4．
故答案为：4.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题可知4−m2>0，
所以实数m的取值范围为−2(2)命题q：方程y23+x2m=1m>0表示焦点在y轴上的椭圆，
所以0 < m <3 ，
当p为真，q为假时，
−2解得−2当p为假，q为真时，
m≤−2或m≥2，0解得2≤m<3.
综上，实数m的取值范围为：(−2,0]∪[2,3) .
【考点】
命题的真假判断与应用
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知4−m2>0，
所以实数m的取值范围为−2(2)命题q：方程y23+x2m=1m>0表示焦点在y轴上的椭圆，
所以0 < m <3 ，
当p为真，q为假时，
−2解得−2当p为假，q为真时，
m≤−2或m≥2，0解得2≤m<3.
综上，实数m的取值范围为：(−2,0]∪[2,3) .
【答案】
解：(1)由题可知：a=3，渐近线为y=±2x，
且焦点在x轴上，
所以ba=2，
故b=6，
则双曲线的方程为x23−y26=1.
(2)由(1)知，双曲线x23−y26=1的右焦点为F23,0，
所以经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为45∘的直线l的方程为y=x−3，
联立直线与双曲线方程 x23−y26=1，y=x−3消y得x2+6x−15=0，
设Ax1y1， Bx2,y2，
则x1+x2=−6， x1x2=−15，
所以|AB|=1+1⋅−62−4×−15=83.
【考点】
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知：a=3，渐近线为y=±2x，
且焦点在x轴上，
所以ba=2，
故b=6，
则双曲线的方程为x23−y26=1.
(2)由(1)知，双曲线x23−y26=1的右焦点为F23,0，
所以经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为45∘的直线l的方程为y=x−3，
联立直线与双曲线方程 x23−y26=1，y=x−3消y得x2+6x−15=0，
设Ax1y1， Bx2,y2，
则x1+x2=−6， x1x2=−15，
所以|AB|=1+1⋅−62−4×−15=83.
【答案】
解：(1)由已知得：a=2b，a+b=0.00024，
故a=0.00016，b=0.00008；
(2)平均数x¯=1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12
+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+
7000×0.02=3860元.
(3)由已知得：从手机价格为[1500,2500)抽4人，设为a,b,c,d
在手机价格为[5500,6500)中抽2人，设为x,y，
从这6人中任意抽取2人共有xy,xa,xb,xc,xd,ya,yb,
yc,yd,ab,ac,ad,bc,bd,cd15种抽法，
其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种，
故概率为P=815.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得：a=2b，a+b=0.00024，
故a=0.00016，b=0.00008；
(2)平均数x¯=1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12
+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+
7000×0.02=3860元.
(3)由已知得：从手机价格为[1500,2500)抽4人，设为a,b,c,d
在手机价格为[5500,6500)中抽2人，设为x,y，
从这6人中任意抽取2人共有xy,xa,xb,xc,xd,ya,yb,
yc,yd,ab,ac,ad,bc,bd,cd15种抽法，
其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种，
故概率为P=815.
【答案】
解：(1)M点与F1,0 的距离比它到直线l：x=−2的距离小1，
∴ M点与F1,0的距离和到直线l：x=−1的距离相等，
∴ M点的轨迹是以F1,0 为焦点，以l：x=−1为准线的抛物线，
故点的轨迹方程为y2=4x.
(2)F1,0是抛物线的焦点．
当直线的斜率k不存在时， AB=2p=4不满足题意，
所以斜率k存在，设AB方程为y=kx−1，
由抛物线焦点弦性质得 AB=2psin2θ，其中θ为直线的倾斜角．
得sinθ=±22,
则θ=45∘或 135∘，
所以k=±1，
即直线L的方程为y=x−1或y=−x+1.
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
判断点M的轨迹是以F1,0为焦点，以直线l：x=−1为准线的抛物线，然后求解即可．
由题意判断直线斜率存在，由抛物线焦点弦性质得出直线的倾斜角，进而可得出直线方程.
【解答】
解：(1)M点与F1,0 的距离比它到直线l：x=−2的距离小1，
∴ M点与F1,0的距离和到直线l：x=−1的距离相等，
∴ M点的轨迹是以F1,0 为焦点，以l：x=−1为准线的抛物线，
故点的轨迹方程为y2=4x.
(2)F1,0是抛物线的焦点．
当直线的斜率k不存在时， AB=2p=4不满足题意，
所以斜率k存在，设AB方程为y=kx−1，
由抛物线焦点弦性质得 AB=2psin2θ，其中θ为直线的倾斜角．
得sinθ=±22,
则θ=45∘或 135∘，
所以k=±1，
即直线L的方程为y=x−1或y=−x+1.
【答案】
解：(1)因为x¯=151.4+1.6+1.8+2+2.2=1.8，
y¯=1513+11+7+6+3=8
所以b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=67−5×1.8×816.6−5×1.82=−12.5，
则a=y¯−bx¯=8−−12.5×1.8=30.5，
所以，回归直线方程为y=−12.5x+30.5．
(2)当y=18时，18=−12.5x+30.5，得x=1，
假设日利润为Lx，则：Lx=x−0.5630.5−12.5x，0.56当x=1.5元时，有Lmaxx．
答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为x¯=151.4+1.6+1.8+2+2.2=1.8，
y¯=1513+11+7+6+3=8
所以b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=67−5×1.8×816.6−5×1.82=−12.5，
则a=y¯−bx¯=8−−12.5×1.8=30.5，
所以，回归直线方程为y=−12.5x+30.5．
(2)当y=18时，18=−12.5x+30.5，得x=1，
假设日利润为Lx，则：Lx=x−0.5630.5−12.5x，0.56当x=1.5元时，有Lmaxx．
答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
【答案】
解：(1)由题意可知：2b=2，ca=32，a2=b2+c2，
得a=2，b=1，c=3，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，
消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
所以Δ=(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，即m2<4k2+1①，
由根与系数关系得x1+x2=−8km1+4k2，则y1+y2=2m1+4k2，
所以线段MN的中点P的坐标为(−4km1+4k2,m1+4k2)．
又线段MN的垂直平分线l′的方程为y=−1k(x−1)，
由点P在直线l′上，得m1+4k2=−1k(−4km1+4k2−1)，
即4k2+3km+1=0，
所以m=−13k(4k2+1)②，
由①②得(4k2+1)29k2<4k2+1，
因为4k2+1>0，
所以4k2+1<9k2，
所以k2>15，
即k<−55或k>55，
所以实数k的取值范围是(−∞,−55)∪(55,+∞)．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
(Ⅰ)由题意可知：2b=2ca=32a2=b2+c2 ，解出即可得椭圆C的标准方程．
(Ⅱ)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，将y＝kx+m代入椭圆方程，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4＝0，可得△>0，利用根与系数关系及其中点坐标公式可得线段MN的中点P的坐标，利用垂直平分线的性质可得线段MN的垂直平分线l′的方程，根据
点P在直线l′上，可得方程，进而得出实数k的取值范围．
【解答】
解：(1)由题意可知：2b=2，ca=32，a2=b2+c2，
得a=2，b=1，c=3，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，
消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
所以Δ=(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，即m2<4k2+1①，
由根与系数关系得x1+x2=−8km1+4k2，则y1+y2=2m1+4k2，
所以线段MN的中点P的坐标为(−4km1+4k2,m1+4k2)．
又线段MN的垂直平分线l′的方程为y=−1k(x−1)，
由点P在直线l′上，得m1+4k2=−1k(−4km1+4k2−1)，
即4k2+3km+1=0，
所以m=−13k(4k2+1)②，
由①②得(4k2+1)29k2<4k2+1，
因为4k2+1>0，
所以4k2+1<9k2，
所以k2>15，
即k<−55或k>55，
所以实数k的取值范围是(−∞,−55)∪(55,+∞)．星期
1
2
3
4
5
单支售价x（元）
1.4
1.6
1.8
2
2.2
销售量y（支）
13
11
7
6
3
1. 设命题p:∀x∈R，x2+1>0，则¬p为( )
A.∀x0∈R， x02+1>0B.∃x0∈R， x02+1≤0
C.∃x0∈R， x02+1<0D.∀x0∈R，x02+1≤0
2. x2≤1的一个充分不必要条件是( )
A.x≤1B.x≥1C.0
3. 抛物线y=4x2的准线方程是（ ）
A.x=1B.x=−1C.y=−116D.y=116
4. 欧阳修的《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超．若铜钱直径3cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )
A.14πB.12πC.49πD.2π
5. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为23π，且离心率为12，则C的标准方程为( )
A.x24+y23=1B.x212+y2=1C.x23+y24=1D.x216+y23=1
6. 已知点 F 是抛物线 y2=4x的焦点，M，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则 MN中点的横坐标为( )
A.32B.2C.52D.3
7. 已知直线 l1:4x−3y+6=0 和直线 l2:x=−1 ，抛物线 y2=4x 上一动点P到直线 l1和直线 l2 的距离之和的最小值是( )
A.2B.3C.115D.3716
8. 已知双曲线C：y2a2−x2b2=1a>0,b>0，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P2,4，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±22x
二、多选题
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点Mx0,y0在抛物线C上，若|MF|=4，则( )
A.x0=3B.y0=23
C.|OM|=21D.F的坐标为0,1
若方程x23−t+y2t−1=1所表示的曲线为椭圆，则下列命题正确的是( )
A.该椭圆焦距为22
B.1
D.焦距为2|2t−4|
某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）
A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分
B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散
C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数
D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为52，抛物线y2=45x的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1,k2，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.双曲线C的方程为x24−y2=1
C.k1k2为定值14D.存在点P，使得k1+k2=2
三、填空题
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F2PF1=120∘，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则3e12+1e22=________.
四、解答题
已知p：关于x方程x2+2x+14m2=0有两个不相等的实根；q：方程y23+x2m=1表示焦点在y轴上的椭圆．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．
已知双曲线C： x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为2x−y=0，点3,0是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为45∘的直线l，且与双曲线交于A，B两点，求|AB|的长．
华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名，某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这100人的手机价格按照[500,1500)，[1500,2500)，⋅⋅⋅，[6500,7500)分成7组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若a是b的2倍，求a，b的值;
(2)求这100名顾客手机价格的平均数(同一组数中的数据用该组区间的中间值作代表，精确到个位)；
(3)利用分层抽样的方式从手机价格在[1500,2500)和[5500,6500)的顾客中选取6人，并从这6人中随机抽取2人进行回访，求抽取的2人手机价格在不同区间的概率.
动点M与点F1,0的距离比它到直线l：x+2=0的距离小1.
(1)点M的轨迹方程;
(2)过点F的直线L交曲线C于A，B两点，若|AB|=8 ，求直线L方程.
小张准备在某县城开一家文具店．为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示：
(1)根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)请由(1)所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价−日销售量×单支进价）最大，在(1)的前提下应该如何定价？
（其中：回归直线方程y=bx+a，b=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2，i=15xiyi=67，i=15xi2=16.6）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建省龙岩市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用全称命题否定为特称命题，得出答案.
【解答】
解：由全称命题的否定为特称命题：
命题p:∀x∈R，x2+1>0，
则¬p:∃x0∈R，x02+1≤0.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
首先确定“x2≤1”的范围的集合，再选取该集合的真子集即可.
【解答】
解：∵ x2≤1，∴ −1≤x≤1，
由题意可知：所选的选项是范围是集合−1,1的真子集，
故0
3.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，进而可得其准线方程，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=y4，
其焦点在y轴正半轴上，且p=18，
则其准线方程为y=−116.
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
【解答】
解：如图所示：
∵ S正=1，S圆=π(32)2=9π4，
∴ P=S正S圆=49π．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
椭圆的应用
【解析】
利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a，b，得到椭圆方程．
【解答】
解：由题意可得abπ=23π，ca=12，c2=a2−b2，
解得a=2 ，b=3，
因为椭圆C的焦点在x轴上，
所以C的标准方程为x24+y23=1.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出x1+x2＝4，即可求出MN中点的横坐标．
【解答】
解：∵ F是抛物线y2=4x的焦点，
∴ F(1, 0)，准线方程x=−1，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
∴ |MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴ 线段MN的中点横坐标为2.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
【解答】
解：直线l2:x=−1为抛物线y2=4x的准线，
由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1, 0)的距离，
故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1, 0)和直线l1的距离之和最小，
最小值为F(1, 0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离，
即d=|4−0+6|5=2，
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的渐近线
直线与双曲线的位置关系
【解析】
利用点差法，可得k⋅kOP=b2a2=1×42，即可求出双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则y12a2−x12b2=1，y22a2−x22b2=1，
两式相减可得：
(y1+y2)(y1−y2)a2−(x1+x2)(x1−x2)b2=0，
化简得(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=a2b2，
∵ 斜率为k=1的直线与双曲线y2a2−x2b2=1(a>0, b>0)交于A，B两点，A，B的中点为P(2, 4)，
∴ a2b2=2，
∴ y=±abx=±2x．
故选C．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
两点间的距离公式
【解析】
由题可知F1,0，由MF|=x0+1，所以x0=3,y02=12，|OM|=x02+y02=9+12=21，故选AC．
【解答】
解：由题可知F1,0，|MF|=x0+1=4，
可得x0=3，y02=12，即y0=±23，
|OM|=x02+y02=9+12=21.
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
【解答】
解：由题意知 3−t>0,t−1>0,3−t≠t−1,
解得1
所以2a=23−t，2b=2t−1，2c=2|2t−4|，A错误；
若2
所以2b=23−t，2a=2t−1，2c=2|2t−4|，
当焦点在x轴上时e2=4−2t3−t=34 ，t=75；
当焦点在y轴上时e2=2t−4t−1=34 ，t=135，C正确；D正确．
故选BCD．
【答案】
A,C
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，
计算甲兴趣小组的平均分为x甲¯≈76.1，
计算乙兴趣小组的平均分为x乙¯≈68.1，
故甲兴趣小组的平均分高于乙兴趣小组的平均分，
故A正确；
观察茎叶图可知，乙兴趣小组的测试成绩更分散，
故B错误；
甲兴趣小组的测试成绩的中位数为77，
乙兴趣小组的测试成绩的中位数为64，
故甲兴趣小组的测试成绩的中位数大于乙兴趣小组的测试成绩的中位数，
故C正确；
甲兴趣小组的测试成绩的众数为79，
乙兴趣小组的测试成绩的众数为64，
故甲兴趣小组测试成绩的众数大于乙兴趣小组测试成绩的众数，
故D错误.
故选AC.
【答案】
B,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
直线与双曲线结合的最值问题
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意可知：ca=52，c2=a2+b2，
故ba=12，
即双曲线的渐近线方程为y=±12x，故A错误；
抛物线的准线为x=−5，
故c=5，
故a=2，b=1，
所以双曲线的方程为x24−y2=1，
故B正确；
点A(−2,0)，点B(2,0),
设P(x,y)，
则k1k2=y2x2−4,.
又x24−y2=1，
故k1k2=14，
故C正确；
k1+k2=2xyx2−4=x2y.
根据渐近线方程可知0
即存在点P，使得k1+k2=2，
故D正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
4
【考点】
双曲线的离心率
椭圆的离心率
【解析】
先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且|F1F2|＝2c，∠F1PF2=2π3，在△F1PF2中根据余弦定理可得到3a12+a22＝4c2，结合离心率公式，计算可得所求值．
【解答】
解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，P在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|−|PF2|=2a2，
可得|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1−a2，
设|F1F2|=2c，∠F1PF2=120∘=2π3，
在△PF1F2中由余弦定理得，
4c2=(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)cs 2π3，
化简得3a12+a22=4c2，
该式可变成3a12c2+a22c2=4，
结合e1=ca1，e2=ca2，
∴ 3e12+1e22=4．
故答案为：4.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题可知4−m2>0，
所以实数m的取值范围为−2
所以0 < m <3 ，
当p为真，q为假时，
−2
m≤−2或m≥2，0
综上，实数m的取值范围为：(−2,0]∪[2,3) .
【考点】
命题的真假判断与应用
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知4−m2>0，
所以实数m的取值范围为−2
所以0 < m <3 ，
当p为真，q为假时，
−2
m≤−2或m≥2，0
综上，实数m的取值范围为：(−2,0]∪[2,3) .
【答案】
解：(1)由题可知：a=3，渐近线为y=±2x，
且焦点在x轴上，
所以ba=2，
故b=6，
则双曲线的方程为x23−y26=1.
(2)由(1)知，双曲线x23−y26=1的右焦点为F23,0，
所以经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为45∘的直线l的方程为y=x−3，
联立直线与双曲线方程 x23−y26=1，y=x−3消y得x2+6x−15=0，
设Ax1y1， Bx2,y2，
则x1+x2=−6， x1x2=−15，
所以|AB|=1+1⋅−62−4×−15=83.
【考点】
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知：a=3，渐近线为y=±2x，
且焦点在x轴上，
所以ba=2，
故b=6，
则双曲线的方程为x23−y26=1.
(2)由(1)知，双曲线x23−y26=1的右焦点为F23,0，
所以经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为45∘的直线l的方程为y=x−3，
联立直线与双曲线方程 x23−y26=1，y=x−3消y得x2+6x−15=0，
设Ax1y1， Bx2,y2，
则x1+x2=−6， x1x2=−15，
所以|AB|=1+1⋅−62−4×−15=83.
【答案】
解：(1)由已知得：a=2b，a+b=0.00024，
故a=0.00016，b=0.00008；
(2)平均数x¯=1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12
+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+
7000×0.02=3860元.
(3)由已知得：从手机价格为[1500,2500)抽4人，设为a,b,c,d
在手机价格为[5500,6500)中抽2人，设为x,y，
从这6人中任意抽取2人共有xy,xa,xb,xc,xd,ya,yb,
yc,yd,ab,ac,ad,bc,bd,cd15种抽法，
其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种，
故概率为P=815.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得：a=2b，a+b=0.00024，
故a=0.00016，b=0.00008；
(2)平均数x¯=1000×0.06+2000×0.16+3000×0.12
+4000×0.30+5000×0.26+6000×0.08+
7000×0.02=3860元.
(3)由已知得：从手机价格为[1500,2500)抽4人，设为a,b,c,d
在手机价格为[5500,6500)中抽2人，设为x,y，
从这6人中任意抽取2人共有xy,xa,xb,xc,xd,ya,yb,
yc,yd,ab,ac,ad,bc,bd,cd15种抽法，
其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种，
故概率为P=815.
【答案】
解：(1)M点与F1,0 的距离比它到直线l：x=−2的距离小1，
∴ M点与F1,0的距离和到直线l：x=−1的距离相等，
∴ M点的轨迹是以F1,0 为焦点，以l：x=−1为准线的抛物线，
故点的轨迹方程为y2=4x.
(2)F1,0是抛物线的焦点．
当直线的斜率k不存在时， AB=2p=4不满足题意，
所以斜率k存在，设AB方程为y=kx−1，
由抛物线焦点弦性质得 AB=2psin2θ，其中θ为直线的倾斜角．
得sinθ=±22,
则θ=45∘或 135∘，
所以k=±1，
即直线L的方程为y=x−1或y=−x+1.
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
判断点M的轨迹是以F1,0为焦点，以直线l：x=−1为准线的抛物线，然后求解即可．
由题意判断直线斜率存在，由抛物线焦点弦性质得出直线的倾斜角，进而可得出直线方程.
【解答】
解：(1)M点与F1,0 的距离比它到直线l：x=−2的距离小1，
∴ M点与F1,0的距离和到直线l：x=−1的距离相等，
∴ M点的轨迹是以F1,0 为焦点，以l：x=−1为准线的抛物线，
故点的轨迹方程为y2=4x.
(2)F1,0是抛物线的焦点．
当直线的斜率k不存在时， AB=2p=4不满足题意，
所以斜率k存在，设AB方程为y=kx−1，
由抛物线焦点弦性质得 AB=2psin2θ，其中θ为直线的倾斜角．
得sinθ=±22,
则θ=45∘或 135∘，
所以k=±1，
即直线L的方程为y=x−1或y=−x+1.
【答案】
解：(1)因为x¯=151.4+1.6+1.8+2+2.2=1.8，
y¯=1513+11+7+6+3=8
所以b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=67−5×1.8×816.6−5×1.82=−12.5，
则a=y¯−bx¯=8−−12.5×1.8=30.5，
所以，回归直线方程为y=−12.5x+30.5．
(2)当y=18时，18=−12.5x+30.5，得x=1，
假设日利润为Lx，则：Lx=x−0.5630.5−12.5x，0.56
答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为x¯=151.4+1.6+1.8+2+2.2=1.8，
y¯=1513+11+7+6+3=8
所以b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=67−5×1.8×816.6−5×1.82=−12.5，
则a=y¯−bx¯=8−−12.5×1.8=30.5，
所以，回归直线方程为y=−12.5x+30.5．
(2)当y=18时，18=−12.5x+30.5，得x=1，
假设日利润为Lx，则：Lx=x−0.5630.5−12.5x，0.56
答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
【答案】
解：(1)由题意可知：2b=2，ca=32，a2=b2+c2，
得a=2，b=1，c=3，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，
消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
所以Δ=(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，即m2<4k2+1①，
由根与系数关系得x1+x2=−8km1+4k2，则y1+y2=2m1+4k2，
所以线段MN的中点P的坐标为(−4km1+4k2,m1+4k2)．
又线段MN的垂直平分线l′的方程为y=−1k(x−1)，
由点P在直线l′上，得m1+4k2=−1k(−4km1+4k2−1)，
即4k2+3km+1=0，
所以m=−13k(4k2+1)②，
由①②得(4k2+1)29k2<4k2+1，
因为4k2+1>0，
所以4k2+1<9k2，
所以k2>15，
即k<−55或k>55，
所以实数k的取值范围是(−∞,−55)∪(55,+∞)．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
(Ⅰ)由题意可知：2b=2ca=32a2=b2+c2 ，解出即可得椭圆C的标准方程．
(Ⅱ)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，将y＝kx+m代入椭圆方程，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4＝0，可得△>0，利用根与系数关系及其中点坐标公式可得线段MN的中点P的坐标，利用垂直平分线的性质可得线段MN的垂直平分线l′的方程，根据
点P在直线l′上，可得方程，进而得出实数k的取值范围．
【解答】
解：(1)由题意可知：2b=2，ca=32，a2=b2+c2，
得a=2，b=1，c=3，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设M(x1, y1)，N(x2, y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，
消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
所以Δ=(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，即m2<4k2+1①，
由根与系数关系得x1+x2=−8km1+4k2，则y1+y2=2m1+4k2，
所以线段MN的中点P的坐标为(−4km1+4k2,m1+4k2)．
又线段MN的垂直平分线l′的方程为y=−1k(x−1)，
由点P在直线l′上，得m1+4k2=−1k(−4km1+4k2−1)，
即4k2+3km+1=0，
所以m=−13k(4k2+1)②，
由①②得(4k2+1)29k2<4k2+1，
因为4k2+1>0，
所以4k2+1<9k2，
所以k2>15，
即k<−55或k>55，
所以实数k的取值范围是(−∞,−55)∪(55,+∞)．星期
1
2
3
4
5
单支售价x（元）
1.4
1.6
1.8
2
2.2
销售量y（支）
13
11
7
6
3
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