2021石嘴山三中高三补习班上学期期中考试数学（理）无答案

石嘴山三中2020-2021（1）高三年级期中考试

数学（理科）命题人

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．已知实数集，集合，集合，则

A． B． C． D．

3．已知角的终边过点，则的值是

A．B．C．D．

4．某长江大桥的主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是

A．B．

C．D．

5．函数的图像大致为

A． B．

C． D．

6．下列命题中：①若“”是“”的充要条件；

②若“，”，则实数的取值范围是；

③已知平面、、，直线、，若，，，，则；

④函数的所有零点存在区间是.

其中正确命题的个数是

A．B． C．D．

7．如图，已知中，为的中点，，若，则

A．B．C．D．

8．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是

A．9 B．10 C．12 D．13

9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为

A．B． 

C． D．

10．已知是定义在上的函数，且，如果当时，，则

A．27 B．-27 C．9 D．-9

11．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为  

A． B． C． D．

12．已知函数若存在实数，满足，且，则的最大值为

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______________．

14．已知数列的通项公式为，其前项和为，则________.

15．在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为______.

16．已知函数，则__________，若函数有无穷多个零点，则的取值范围是__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：共60分

17．(本题12分)已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和

18．(本题12分)已知.

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若，求的值.

19．(本题12分)如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别为，的中点.

（Ⅰ）证明：平面.

（Ⅱ）若四边形为正方形，求平面与平面所成二面角的正弦值.

20．(本题12分)今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影响.进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济.在“全民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角，且在该区域内点处有一棵树，经测量点到区域边界，的距离分别为，（为长度单位）.贾某准备过点修建一条长椅（点B，C分别落在，上，长椅的宽度及树的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（Ⅰ）求点到点的距离；

（Ⅱ）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出最小面积.

21．(本题12分)已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处切线与直线垂直，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（选修4-4：坐标系与参数方程）(本题10分)

已知曲线C的极坐标方程是，建立以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴的平面直角坐标系，直线的参数方程是(t为参数).

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A,B两点，且,求直线的斜率k.

23．（选修4-5：不等式证明选讲）(本题10分)

已知函数，.

（Ⅰ）解不等式：；

（Ⅱ）记的最小值为，若实数，满足，试证明：