2022西安中学高三上学期期中考试数学（文）含答案

西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试

                高三 文科数学试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 请将正确答案填写在答题纸相应位置.）

1.已知全集，集合，，则（）

A．B．C． D．

2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

3.已知，则（）

A.  B.  C.  D.

4. “优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该人再次抽检确认感染者某组人中恰有一人感染鼻咽拭子样本检验将会是阳性，若逐一检测可能需要次才能确认感染者现在先把这人均分为组，选其中一组人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组继续把认定的这组的人均分两组，选其中一组人的样本混合检查以此类推，最终从这人中认定那名感染者需要经过（）次检测．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5.已知命题；命题是的充要条件，则下列为真命题的是（）

A.  B.  C.  D.

6.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）

A. B.  C.  D.

7.如图1，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A. B.

C.D.

8.函数的图像大致为（） 
 

A                B                C                 D

9.在边长为1的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（）

A.  B. C.  D.

10.执行如图2的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于（）

A． 

B． 

C． 

D.

11.在等差数列中，，，记，则数列（  ）

A.有最大项，有最小项 B.无最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项 D.有最大项，无最小项

12.实数分别满足，，，则的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填写在答题纸相应位置.）

13.函数的图像在点处的切线方程为________．

14.已知向量，，若，则______．

15.函数的最大值为____        .

16.已知点是以为直径的圆上异于的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．

三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)

（一）必考题：共60分.

17.（12分）分别是角的对边

（1）求角；

（2）若的面积为，，求的周长．

18.（12分）等比数列的各项均为正数，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19.（12分）已知四棱锥，其中，,,,为的中点．
（1）求证：；

（2）求四棱锥的体积．
 

20.（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
 

表中，

（1）        根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）        根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；

（3）        已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（2）的结果，请问当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？

附：对于一组数据，.……，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

21. （12分）已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.

22. （10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数). 直线与曲线交于两点

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）已知点是曲线上一点，求的面积最大值.

23.（10分）选修4-5:不等式选讲

设实数

（1）        证明：

（2）        当时，证明：

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                高三 文科数学答案

13.        14.10        15.       16.

17.解：，。……………………….1分

根据正弦定理，知，即．………………..3分

由余弦定理，得．………………..5分

又，所以．………………..6分

 ，
，………………..8分

由余弦定理得：，

，解得，

的周长．………………..12分

18. 解：设数列的公比为，
由，得，
所以由条件可知，故．
由，得，得．
故数列的通项公式为．………………..6分

，………………..9分

故，
．………………..12分

19. 证明：（1）取AC中点G，连结FG、BG，
分别是的中点
，且．
与BE平行且相等
．………………..3分
面面ABC，
面ABC．………………..5分

（2）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥和．

因为，，所以,则EB为三棱锥的高。

所以

,,，则.

所以GB为三棱锥的高,
四棱锥的体积． ………………..12分

20.解：由散点图可以判断适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型

 ………………..2分
令，先建立关于的线性回归方程，
由于，
，
关于的线性方程为，
关于的线性方程为 ………………..8分
 

（3）当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值为． ………………..12分

21.（1）函数的定义域为．
由于．
若，
当时，，函数为增函数；
当和时，，函数为减函数．
若，
当和时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数．
综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为．
时，函数的单调增区间为；单调减区间为．
………………6分
（2）当时，要使恒成立，
即使在时恒成立．
设，则．
可知在时，为增函数；
时，为减函数．
则．
从而．                                                              ………………..12分

22.解：（1），
，
即曲线的直角坐标系方程为
直线l的直角坐标系方程为……………5分

（2）圆心到直线l的距离为

P到直l的最大距离为
又，的面积的最大值为……………..10分

23. 解：（1）要证明成立，
只需证成立．
又因为，故只需证成立，
则显然成立，由此命题得证；……………..5分

（2），
，
当且仅当时，等号成立．  ……………..10分