2022西安中学高三上学期期中考试数学（理）含答案

西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试

                高三 数学（理科）试题

第Ⅰ卷（60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，

A.  B.  C.  D.

2.设复数满足其中为虚数单位,则复数在复平面内对应的点所在象限

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.给出如下四个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；

③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”；

④ “”是“函数的最小正周期为”的充要条件；
其中正确的命题的个数是(　　)

A.0 B.1  C.2     D.3

4. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则

A.  B.  C.  D.

5.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是

A.  B. C.  D.

6.某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图1所示的饼状图，则下列选项正确的是
 

图1
产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多；
产业结构调整后科技研发的收入增幅最大；
产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低；
产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入．

A.  B.  C.  D.

7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的图象大致为

A.   B. C.  D.

8.已知，则

A.  B.  C.  D.

9.已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

10. 实数，，，中的最大值和最小值分别为   

A. ， B. ， C. ， D. ，

11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则面积的最大值是       

A.  B. C.  D.

12.如图2，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有个．

A. B. C. D. 图2

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.已知向量，若向量与垂直，则＝_____________.

14. 设,则的值为___________.

15.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则甲、乙、丙、丁四位同学中知道自己成绩的是　    　．

16. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_____________

三、解答题：本大题共6小题，一共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分10分)

在直角坐标系中，圆的参数方程为参数，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
求圆的极坐标方程；
直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．

18.(本小题满分12分)

已知函数．

求函数的单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

19.(本小题满分12分)

已知函数，．
求解不等式；
对于，，使得成立，求的取值范围．

20.(本小题满分12分)

在锐角三角形中，分别为角，，的对边，且．
求角；
若，求的周长的取值范围．
 

21.(本小题满分12分)

年月日，是第个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地测产，亩产超过公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

若将频率作为概率，从该产品中随机抽取件产品，记“抽出的产品中至少有件不是废品”为事件，求事件发生的概率；
若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；
若每件产品的质量指标值与利润单位：元的关系如表：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大参考数值：，．

22.(本小题满分12分)

已知函数，，其中为自然对数的底数．

当时，求证：

是否存在直线与函数及的图象均相切若存在，这样的直线最多有几条并给出证明若不存在，请说明理由

西安中学2021-2022学年度第一学期期中考试

                高三 数学（理科）答案

13.714.15.乙和丁16.

17.解：利用，
把圆的参数方程为参数化为，----3分
，即．------4分
设为点的极坐标，
由，解得，------6分
设为点的极坐标，
由，解得，-------8分
，
．
．------10分

18. 解：函数
，-------2分
当，
解得：，------5分
因此，函数的单调减区间为；----6分
将函数的图象向左平移个单位，
得的图象，------7分
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，-------9分
，
，

---------11分
故的值域为．-----12分

19.解：由或或，
解得：或，-----5分
不等式的解集为：；-----6分
当时，；-----8分

，
由题意得，得，即，----10分
，
解得：．-----12分

20. 解：由已知及正弦定理可得，
即，
则，   ----------3分
因为，
所以．---------5分
因为，，
所以由正弦定理得，
则，------6分
的周长

，-------8分
在锐角三角形中，

得，------10分
所以
所以，
所以，

所以的周长．-------12分

21.解：设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，
件产品为废品的概率为，
则，
由频率分布直方图得指标值大于或等于的产品中，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
利用分层抽样抽取的件产品中，的有件，
的有件，的有件，
从这件产品中，任取件，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：

．
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元的关系与表所示，

每件产品的平均利润：
，，
则，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取最大值为，
生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大．
 

22. 解：当时，记 ----1分

则，
令，------2分

，

故在上单调递增．-----3分
又，故当时，，所以单调递减
当时，，所以单调递增，  -----4分

故．所以，即． ----5分
共存在条直线与及的图象均相切．
证明如下：
设直线与及的图象分别相切于，，
则处的切线，即．
处的切线，即．   -----5分
由，得，即
．
将代入，得，即．--------7分
令，则原式变为．
记，且．
则，且．
令故．
令，解得．-------9分
当时，，故单调递减
当时，，故单调递增，
又时，，时，单调递增，故，
即当时，，故单调递减
当时，，故单调递增．-------10分
又，，且．
故存在两个零点，，且，，从而有两解，
即共存在条直线与及的图象均相切．-------12分