2022年老高考地区高考一模试卷（含答案）

这是一份2022年老高考地区高考一模试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设复数z满足，则，已知向量，的夹角为，且，，则，若，则等内容，欢迎下载使用。
2022年老高考地区高考一模试卷数学学科考试时间：100分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题(共60分)1．已知集合，集合，则集合（       ）A． B． C． D．2．在中，，为（       ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形3．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（       ） A． B．C． D．4．设复数z满足，则（       ）A． B． C． D．5．已知向量，的夹角为，且，，则（       ）A．－1 B． C．－2 D．16．已知向量，，则以下与垂直的向量坐标为（       ）A． B． C． D．7．若，则（       ）A． B． C． D．8．若正实数x，y满足，则的最小值为（       ）A．3 B． C． D．9．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（       ）A． B． C． D．10．为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行．若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（       ）A．12种 B．28种 C．20种 D．16种11．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右顶点分别为A，B，过其右焦点F作x轴的垂线与E交于C，D两点，四边形BCDG为平行四边形，过O作AG的平行线，分别与直线BG，CD交于点P，Q，设梯形BFQP的面积为S，则（       ）．  A． B．C． D．12．如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（       ）A．  B．  C． D．二、填空题(共20分)13．已知和均为等差数列，若，则的值是__________.14．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．15．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.16．如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率________．三、解答题(共70分)（一）必考题：共60分．17．的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①为的内心；②为的外心；③为的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18．在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从2010年到2018年在线音乐市场规模变化情况如下表所示：年份201020112012201320142015201620172018市场规模（亿元）0.50.91.62.84.710.518.829.943.7 将2010年作为第1年，设第i年的市场规模为亿元．(1)与哪一个更适宜作为市场规模y关于i的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）中的判断及表中的数据，求市场规模y关于i的回归方程．（系数精确到0.0001）参考数据：令，，，，，，，．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19．如图，四棱锥中，平面，平面,，F，M，N分别为的中点．(1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．  20．已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值． 21．已知椭圆的右焦点为，且点到坐标原点的距离为．(1)求C的方程．(2)设直线与C相切于点P，且与直线相交于点Q．①若Q的纵坐标为1，直线FQ与C相交于A，B两点，求．②判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l及曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，满足，求直线l的斜率． 23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）设不等式的解集为．（1）求；（2）若，，且，求的最小值．                           参考答案：1．D【解析】【分析】解不等式，求出，故求出并集.【详解】，解得：，故，故.故选：D2．A【解析】【分析】根据向量数量积为0可得，即可得出结论.【详解】解：因为，所以，则在中，，，所以为直角三角形.故选：A.3．C【解析】【分析】求出噪音的声波曲线函数表达式，则其相反数即为听感主动降噪芯片生成的反向波曲线.【详解】已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，可得，，所以噪音的声被曲线为，所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为：；故选：C．4．D【解析】【分析】先化简出，再计算，最后代模长公式即可求解【详解】由题知，于是，所以.故选：D5．A【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】故选：A6．B【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得；【详解】解：因为，，所以， 所以，，，；故选：B7．A【解析】【分析】根据对数的运算将a,b,c化简，然后构造函数，判断该函数的单调性，由此判断a,b,c的大小关系.【详解】由题意可得，令，x＞0，则f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，又，所以，即,故选:A8．C【解析】【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用即可求解.【详解】因为正实数x，y满足，所以.所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故选：C．9．B【解析】【分析】分析可知是偶函数，利用偶函数的定义推导出，利用已知条件求出的值，即可求得的值.【详解】因为的图象关于对称，则是偶函数，，且，所以，对任意的恒成立，所以，，因为且为奇函数，所以，，因此，.故选：B.10．C【解析】【分析】分中心组学习在第1阶段和第2阶段分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可．【详解】若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有（种）；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有（种）．故共有种不同的安排方案，故选：C．11．D【解析】【分析】由题，利用几何关系及双曲线性质，由参数可表示等线段以及，比较即可得出结果【详解】由题，，将代入双曲线得，，故，又，故为中位线，故，在中，，有，故，故有，故选：D12．B【解析】【分析】是正方体， 当底面与平面所成的角与底面对角线所成的角相等时，顶点到平面的距离的最大；最大值 作截平面图， 由题知 ,利用平面几何知识求得即可【详解】如图所示，当直线与面所成角等于面ABCD与面所成角时顶点到平面的距离最大，取截图，如下图所示：作，，，∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选:B.【押题点】二面角大小；点面距最值问题【点睛】本题考查正方体翻转求面距离最值问题.求解翻折(转)问题的关键及注意事项：求解平面图形翻折(转)问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折(转)后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意：(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．13．6【解析】【分析】利用等差数列的性质计算即可得解.【详解】解：因为和均为等差数列，所以，所以，即，所以.故答案为：6.14．3【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数的最大值.【详解】作出可行域，如下图所示：由图可知，当直线经过点时，此时有最大值，由解得，所以.故答案为：.15．【解析】【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出和，即可求解.【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称， 故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由 ，解得，，∵，∴.故答案为：.16．【解析】【分析】根据题意，利用图中几何关系，再几何椭圆的定义，即可得解.【详解】由题知：令连接，所以，且，从而．故答案为：．17．(1)(2)选①：；选②：；选③：.【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积；选③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性质，即重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形面积相等，用三角形面积公式求解的面积即可.(1)因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；(2)选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，在中由余弦定理得，，设内切圆半径为，则，，所以； 选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，． 选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性质可得，，故.18．(1)更适宜(2)【解析】【分析】（1）根据表中的数据结合回归方程的特征判断；（2）利用最小二乘法求解.(1)解；更适宜．(2)，，，因为系数要求精确到0.0001，所以y关于i的回归方程为．19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先证明平面∥平面，进而说明∥平面；（2）利用∥平面进行转化，D点到平面的距离等于A点到平面的距离，再证平面，即 ，则．(1)取的中点G，连接，则由M，G分别为的中点易得∥平面，平面∴∥平面同理：∥平面又，所以平面∥平面，所以∥平面(2)由题意可得∥平面，平面∥平面，所以D点到平面的距离等于A点到平面的距离，连接,三角形为正三角形，M为中点，所以平面，平面，所以∴平面即，又，设直线与平面所成角为则．20．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．(1)当时，，故，故在点处的切线方程为，化简得．(2)由题意知有且只有一个根且有正有负．构建，则①当时，当时恒成立，在上单调递增，因为，所以有一个零点，即为的一个极值点；②当时，当时恒成立，即无极值点；③当时，当；当，所以在单调递减，在上单调递增，故，若，则即.当时，，当时，,设，故，故在上为增函数，故，故，故当时，有两个零点，此时有两个极值点．当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：．(3)由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．当时，，故，所以的最小值为e；当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；当时，由（2）得只有一个零点，即且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，因，所以代入得，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，所以的最小值为．21．(1)；(2)①；②是定值，为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，列出关于a，b的方程组，求解作答.（2）①求出直线FQ的方程，与C的方程联立，利用弦长公式计算作答；②设出直线的方程，求出切点P的坐标，利用向量数量积求解作答.(1)依题意，，解得，，所以C的方程是.(2)①点Q的纵坐标为1，则直线FQ的方程为，代入，得，设，，则，，所以.②依题意，直线斜率存在且不过原点，设直线，，由消去y并整理得：，因与C相切，则，即，，，即，而直线与交于点，因此，，，，有，所以为定值．【点睛】方法点睛：求定值问题常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.（1）（2）【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果.（1）直线l的参数方程为，转换为直角坐标方程,转换为极坐标方程为曲线C的方程为，根据，转换为极坐标方程为 .（2）根据题意：所以，故，=7，所以，整理得，解得，故.23.（1）（2）2【解析】【分析】（1）分三种情况解不等式，综合可得出集合M；（2）计算可得，利用基本不等式可求得的最小值.（1）当时，则有，无解；当时，则有，解得，此时；当时，则有，该不等式恒成立，此时 .综上所述，（2）由已知可得,，当且仅当时，上述不等式中的等号同时成立，故的最小值为2