专题10 空间中的平行关系（知识点串讲）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

专题10 空间中的平行关系

【考点梳理】

考点一：

1．空间中直线与平面之间的位置关系

(1)直线在平面内，则它们有无数个公共点；

(2)直线与平面相交，则它们有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行，则它们没有公共点．

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．

2．直线与平面平行的判定和性质

(1)直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．即线线平行⇒线面平行．用符号表示：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α．

(2)直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．即线面平行⇒线线平行．用符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．

例1.下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是   (　     )

A．直线m在平面α外                           B．直线m与平面α内的两条直线平行

C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行     D．直线m与平面α内的一条直线平行

【答案】C

【解析】根据线面平行的判定定理可知，C选项正确.A选项直线可能与平面相交，B和D选项直线可能在平面内，所以ABD三个选项不正确，故选：C.

变式1.已知直线a、b和平面，下面说法正确的是(       )

A．若，，则   B．若，，则

C．若，，，则   D．若，，则

【答案】C

【解析】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，，则，故C正确；对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误，故选：C．

例2.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，下列直线与平面AD'C平行的是（       ）

A．B'C'            B．A'B             C．A'B'              D．BB'

【答案】B

【解析】因为 ，平面平面，所以平面，故选B．

变式2.如图，的边在平面内，是的中位线，则（       ）

A．与平面平行 B．与平面不平行

C．与平面可能平行 D．与平面可能相交

【答案】A

【解析】因为是的中位线，所以；又，，所以，故选：A.

例3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）

A．若，，则                      B．若，, 则

C．若, ，，，则      D．若，， ，则

【答案】B

【解析】对于选项,由直线和平面的性质定理可知，直线只能和过这条直线的任意平面与平面的交线平行，则直线和不一定平行，则不正确；对于选项，利用直线与平面平行的判定定理可知选项正确；对于选项，平面和平面可能相交，则选项不正确，对于选项，直线和直线可能相交或异面，则不正确；故选：.

变式3.空间中，，是两条不同直线，是平面，有下列四个命题：

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；④若，，则．

则正确的命题个数是（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】①若，，则直线和可能平行，还可能相交或异面，所以①错误，

②若，，则与无交点，所以或与为异面直线，所以②错误，

③当，时，由线面垂直的性质可得，所以③正确，

④当，时，由线面垂直的判定可得，所以④正确，故选：B．

例4.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是（     ）

A．平行           B．相交             C．异面          D．平行或异面

【答案】C

【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以，又与无公共点，故选C.

变式4.已知平面α，β，直线l，若α∥β，l⊂α，则直线l与平面β的位置关系为            .

【答案】l∥β

【解析】因为平面α∥β，且⊂α， 所以∥β，故答案为∥β．

例5.如图，在长方体的表面中，与平行的平面是           ．

【答案】平面和平面

【解析】在长方体中，可得，由平面，且平面，可得平面；又由，平面，且平面，可得平面，故答案为：平面和平面.

变式5.长方体中，与平面平行的棱是          .

【答案】棱，棱，棱，棱.

【解析】如图，

在长方体中，与平面平行的棱有：棱，棱，棱，棱，故答案为：棱，棱，棱，棱.

考点二：

3．平面与平面之间的位置关系

(1)两个平面平行，则它们没有公共点；

(2)两个平面相交，则它们有一条公共直线，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．

4．平面与平面平行的判定和性质

(1)平面与平面平行的判定定理

①一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α．

②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β⇒α∥β.

④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.

(2)平面与平面平行的性质定理

①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即面面平行⇒线线平行．用符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b．

②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：α∥β，a⊂α⇒a∥β．

③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：α∥β，l⊥α⇒l⊥β．

例1.已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（       ）

A．、都垂直于一个平面              B．平面内有无数条直线与平面平行

C．l、m是内两条直线，且，    D．l、m是两条异面直线，且，，，

【答案】D

【解析】A选项，如图所示，、都垂直于一个平面，但、相交，故A错误；

B选项，如图，已知，平面内有无数条直线与平行，则这些直线也与平行，故B选项错误；

C选项，当l、m是两条平行直线时，不能判定平面与平面平行，C错误；

D选项，因为，，则在平面内存在，因为l、m是两条异面直线，所以为相交直线，因为，，所以，，故可以判定平面与平面平行.故选：D.

变式1.设α、β为两个不重合的平面，则α//β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行  B．α、β垂直于同一平面

C．α、β平行于同一条直线  D．α内有两条相交直线与β平行

【答案】D

【解析】A项：若无数条直线为无数条平行线，则无法得到α//β，A错误；B项：α、β垂直于同一平面，此时α、β可以相交，B错误；C项：α、β平行于同一条直线，此时α、β可以相交，C错误；D项：由面面平行的判定定理可知，α内有两条相交直线与β平行是α//β的充分条件，由面面平行的性质可知，α内有两条相交直线与β平行是α//β的必要条件，故，α内有两条相交直线与β平行是α//β的充要条件，D正确，故选：D.

例2.已知直线a与平面，能使的充分条件是（       ）

①          ②          ③          ④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确，综上：②④正确，故选：D.

变式2.对于不重合直线，，不重合平面，，，下列四个条件中，能推出的有___________.(填写所有正确的序号).①，；②，；③，；④，，.

【答案】②④

【解析】对于①，当，时，与相交，或与平行；对于②，当，时，根据平行平面的公理得；对于③，当，时，与相交，或与平行；对于④，当时，若，则，又，；综上，能推出的是②④，故答案为：②④.

例3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（       ）

A．1对           B．2对             C．3对              D．4对

【答案】D

【解析】由于六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，所以上下底面平行，侧面有对相互平行的面，故有对，故选：D.

变式3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．

【答案】面A1B1C1D1

【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，根据正方体的性质，对面互相平行，所以与面ABCD平行的面是A1B1C1D1.

例4.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（       ）

A．梯形        B．平行四边形       C．可能是梯形也可能是平行四边形     D．矩形

【答案】B

【解析】因为平面//平面,且平面平面,平面平面,根据面面平行的性质可知//,同理可证明//，所以四边形为平行四边形，故选：B.

变式4.如图，，，，，则CD与EF的位置关系为          ．

【答案】

【解析】∵，，，∴，又，，∴，又，，∴，故答案为：.

例5.平面平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（     ）

A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交

【答案】D

【解析】由题平面平面 ，直线，，则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交，故选D.

变式5.如图所示﹐在三棱柱中，截面与平面ABC交于直线a，则直线a与直线的位置关系为            .

【答案】平行

【解析】因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面与平面ABC交于直线，所以∥，故答案为：平行.