专题09 平面的基本性质、异面直线（知识点串讲）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

专题09 平面的基本性质、异面直线

【考点梳理】

考点一：

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或直线在平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理2的推论如下：

①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面；

③经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．

2．平行公理

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．

3．等角定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

例1.下列条件中不能确定一个平面的是（       ）

A．不共线三点 B．两条相交直线 C．两条平行直线 D．四边形

变式1.下列命题正确的是（       ）

A．三个点可以确定一个平面     B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体

C．一条直线和一个点可以确定一个平面     D．两条直线可以确定一个平面

例2.点M在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

变式2.“点在直线上，在平面内”可表示为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

例3.一条直线和直线外的三点所确定的平面有（     ）

A．1个或3个 B．1个或4个

C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个

变式3.一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定的平面个数是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

例4.如果，，那么与（       ）．

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上均不对

变式4.已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则（       ）

A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°

例5.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（       ）

A．平行 B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内

变式5.已知直线，和平面满足，，则与的位置关系为         .

考点二：

4．空间两条直线的位置关系

(1)位置关系的分类 (一个公共点　没有公共点　没有公共点)

(2)异面直线

①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．

②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．

③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是  ．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直．

例1.下列命题正确的是（       ）

A．没有公共点的两条直线是平行直线          B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．不在同一平面内的两条直线是异面直线      D．既不平行又不相交的两条直线是异面直线

变式1.异面直线是指（       ）

A．不同在任何一个平面内的两条直线          B．平面内的一条直线与平面外的一条直线

C．分别位于两个不同平面内的两条直线        D．空间中两条不相交的直线

例2.，是异面直线，，是异面直线，则，的位置关系是（       ）

A．异面           B．相交或异面         C．平行或相交         D．相交、平行或异面．

变式2.若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系是（       ）

A．不相交 B．平行 C．异面 D．相交

例3.在正方体中，AB的中点为M，的中点为N，则异面直线BC与DN所成角的正切值为（       ）

A． B． C． D．

变式3.，分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小为（       ）

A． B． C． D．

例4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有          对．

变式4.如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为        ．

例5.如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（       ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

变式5.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（       ）

A．2 B． C． D．