湖南省郴州市嘉禾县第六中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2022-2023学年上学期高二第一次月考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：选择性必修一第一章至第二章。

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.过点且平行于l：的直线方程为（    ）

A. B. C. D.

2.已知O为原点，点，以为直径的圆的方程为（    ）

A. B.

C. D.

3.已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A.–2 B. C. D.2

4.过点作圆C：的弦，使点P平分弦，则弦所在直线的方程为（    ）

A. B. C. D.

5.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A. B. C. D.

6.如图，在四面体中，，，，且，，则（    ）

A. B. C. D.

7.唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A. B. C. D.

8.若平面上两点，，动点P满足，则动点P的轨迹与直线l：的公共点的个数为（    ）

A.2 B.1 C.0 D.与实数k的取值有关

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分.

9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则

B.若，则是钝角

C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

10.已知圆M：，则下列说法正确的是（    ）

A.点在圆M内  B.圆M关于对称

C.半径为  D.直线与圆M相切

11.已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）

A.当时，直线l与直线垂直

B.若直线l与直线平行，则

C.直线l过定点

D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等

12.如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ）

A.  B.

C.直线与直线是相交直线 D.与所成角的余弦值为

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.圆：与圆：的位置关系为___________.

14.已知和是异面直线，，，则和CD所成角的大小为__________.

15.过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的一般式方程为___________.

16.直线l：（）被圆C：截得的最短弦长为___________.

四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知的顶点，，.

（1）求边的高线所在直线的一般式方程；

（2）求的面积.

18.（12分）根据下列条件，求圆的标准方程：

（1）圆心在x轴上，半径为5，且过点；

（2）过点和，且圆心在直线上.

19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）已知圆C：

（1）已知直线的方程为，证明：直线与圆C恒有两个交点；

（2）已知直线经过点，当直线与圆C相交于A，B两点，且时，求直线的一般式方程.

21.（12分）已知圆C：.

（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；

（2）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.

22.（12分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且，.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

2022-2023学年上学期高二第一次月考

数学参考答案

1.答案：C  设平行于l：的直线方程为

∵直线过点  ∴  ∴  ∴平行于l：的直线方程为

2.答案：A  由题知圆心为，半径，∴所求圆的方程为.

3.D  因为，所以，所以，即，.

4.B  依题意，，∵，∴，方程为

5.D  依题意，向量在向量方向上的投影向量为，

6.C  连接，因为，所以，

因为，所以，所以.

7.C  若是A关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为，

∴，解得，即.

∴.

8.A  设点，由题意：得：，

整理得到点P的轨迹方程为，即，

因为直线过定点，即所求圆的圆心，故直线和圆2个交点，

9.CD  对于A，，所以，A错误；

对于B，若，则小于0，则是钝角或者180°，B错误；

对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；

对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线.

10.BD  整理得：，

∵，时，∴点在圆M外，A错；

∵圆心在直线上，∴圆M关于对称，B对；

∵圆M半径为1，故C错；∵圆心到直线的距离为，与半径相等，∴直线与圆M相切，D对.

11.AC  对于A，当时，直线l的方程为，斜率为1，直线的斜率为-1，因为，所以两直线垂直，所以A正确；

对于B，若直线l与直线平行，则，解得：或

对于C，当时，，所以直线过定点，所以C正确；

对于D，当时，直线l的方程为，在x轴、y轴上的截距分别是－1，1

12.ABD  对A，，则

，所以，A正确；

对B，

，所以，B正确；

对C，直线与直线是异面直线，C错误；

对D，，，

，

，

，

，

所以，，于是与所成角的余弦值为

13.相交  ：的圆心为，半径，

：的圆心为，  所以圆心距，

，所以和相交.

14.60°或者  ，

∵异面直线夹角范围是，∴和所成角的大小为60°.

15.  根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为，

又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为，

则所求直线方程为，整理得，

16.2  直线l：（）即为，

当时，，故直线线l过定点，设该点为P，

又，故点在圆内，

当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短，

而即，半径，圆心为，

故，故弦长为，

17.（1）；（2）14.

（1）直线的斜率为，直线边的高线的斜率为−3，

直线边的高线的方程为：，即.

（2）直线的方程为：，即，

点C到直线的距离，

，故的面积为.

18.（1）或；（2）.

解：（1）设圆心坐标为，则  ∴或6

∴圆的方程是或

（2）由已知可设圆心，又由已知得，

从而有，解得.

于是圆N的圆心，半径.所以，圆N的方程为.

19.答案：（1）见解析  （2）

解析：（1）解法一：如图，设点P为的中点，连接，，因为N为的中点，所以为的中位线，所以.

又M为的中点，所以.

因为，，，平面，，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.

解法二：如图，取的中点D，连接，.

在三棱柱中，，.

因为M，N，D分别为，，的中点，

所以，，，，

则且，所以四边形为平行四边形，因此.

又平面，平面，所以平面.

（2）因为侧面为正方形，所以，

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，而平面，所以.

由在三棱柱中，，，两两垂直，故以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.

设平面的法向量为，由得，令，得.

设直线与平面所成角为，

则，所以直线与平面所成角的正弦值为.

20.（2）或者

（1）直线：，所以直线恒过点，显然在圆C内，从而直线与圆C恒有两个交点；

（2）因为，由垂径定理得到，圆心C到直线的距离为1；

当直线的斜率不存在时，方程为，，满足题意；

当直线的斜率存在时，方程设为，，所以

综上，直线的方程为或者

21.（1）圆C标准方程为，则圆心，半径为，

令，则有，解得或.

∴直线l的方程为或.

（2）由圆上切点的性质知：，由，

∴，整理得.故点P的轨迹方程为.

22.答案：（1）证明见解析（2）

解析：（1）证明：设，连接.因为四边形是菱形，所以O是的中点.因为，所以.因为四边形是菱形，所以.因为平面，平面，且，所以平面.

（2）解：因为，所以，所以.因为，所以平面.因为O，E分别是，的中点，所以，所以平面.

故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，故，，，设平面的法向量，则，令，得.

设平面的法向量，则，

令，得.设二面角为，

则.

所以.