福建省龙岩第一中学2022届九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2021—2022学年度第一学期九年级期中数学练习

一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）

1．下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案不是轴对称图形的是（       ）

A． B．

C． D．

2．方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ）

A．和 B．和 C．和 D．和

3．点A(﹣3，a)与点B(3，4)关于原点对称，则a的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4

4．一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根 D．没有实数根

5．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则它的对称轴是 (        )

A．x＝2 B．x＝3 C．x＝4 D．x＝5

6．用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（　　）

A．（x﹣5）2＝24 B．（x﹣5）2＝26 C．（x+5）2＝24 D．（x+5）2＝26

7．将抛物线绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（       ）

A． B． C． D．

8．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到抛物线的解析式是（       ）

A． B． C． D．

9．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，那么方程的解是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

10．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）

11．已知x＝1是方程x2＋x＋c＝0的解，则c的值是________．

12．抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______

13．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．

14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则的大小为________.

15．已知点，在抛物线上，则，的大小关系是______（填“>”，“<”或“=”）．

16．关于的一元二次方程，下列命题是真命题的是______．（填序号）

①若，则方程必有实数根；

②若，，则方程必有两个不相等的实根；

③若是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则．

三、解答题（共9小题，满分86分）

17．用公式法解方程：．

18．用适当的方法解下列方程：．

19．如图，三个顶点的坐标分别为，，

（1）请画出关于原点对称的；

（2）请图出绕点逆时针旋转90°后的．

20．在中，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为中点，如图．

(1)旋转中心是点______，______；

(2)求直线与直线的夹角．

21．已知二次函数．

(1)把它配方成的形式，并写出它的开口方向、顶点的坐标；

(2)作出函数的图象（列表描出五个关键点）．

22．已知：如图，在边长为2的正方形ABCD中，点F是边DC的中点，连接AF，并将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接EF并确定中点G，连接GC．

（1）请根据题意补全图形；

（2）求线段GC的长．

23．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

（1）求证：AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

24．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件．当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.1元，每天的销售量就减少1件．设销售单价为x（元/件）（x≥10），每天销售利润为y（元）．

(1)直接写出y与x的函数关系式；

(2)若要使每天销售利润为270元，求此时的销售单价；

(3)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．

25．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，过点的直线交抛物线于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点是直线下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），求面积的最大值；

(3)若点在抛物线上，点在直线上．试探究：是否存在点，，使得，同时成立？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

1．B

2．B

3．B

4．B

5．B

6．B

7．D

8．C

9．A

10．C

11．-2

【详解】

x＝1是方程x2＋x＋c＝0的解，

解得

故答案为：

12．

【详解】

抛物线的对称轴是直线

即抛物线解析式为

当时，

它的顶点坐标为

13．4．

【详解】

解：依题意，令得：

∴

得：

解得：（舍去）或

∴即小球从飞出到落地所用的时间为

故答案为4．

14．40°

【详解】

根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，

∴∠B＝∠ADB＝×（180°−100°）＝40°．

故填：40°.

15．

【详解】

解：∵中，，开口向上，对称轴为，

∴点与对称轴的距离越远函数值越大

点，在抛物线上，

故答案为：

16．①④

【详解】

①，则

，则方程必有实数根，故①正确；

②，，

，则方程必有实数根，故②不正确

③是方程的一个根，则，当时，可以是任意实数，故③不正确

④是方程的一个根，则，即

故④正确

综上所述，正确的是①④

故答案为：①④

17．

【详解】

18．，

【详解】

解：

∴，

19．（1）见解析；（2）见解析．

【详解】

解：（1）如下图： 为所求三角形，的坐标为（-2，-4）、的坐标为（-1，-1）、的坐标为（-4，-3）；

（2）如下图：为所求三角形．

20．(1),

(2)

（1）

解：∵旋转后点与自身对应，

∴旋转中心为点，

，则旋转后与不对应，则与对应

故答案为：,

（2）

延长交于点，取中点，连接，

，，

逆时针旋转后与重合，

,

是的中点，

是等边三角形

又

中

即直线与直线的夹角为

21．(1)，开口向下，顶点的坐标为

(2)见解析

 (1)

解：∵，

∴开口向下，顶点的坐标为

(2)

列表：

描点、连线如图，

22．（1）见解析；     （2）

【详解】

解：（1）根据题意补全图形，如下图：

（2）在正方形ABCD中，AD=CD=2，∠D=∠ABC=90°，

∵点F是边DC的中点，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，

∴∠EAF=90°，AE=AF，

∵∠BAD=90°

∴∠EAB=∠FAD

∴

∴∠ABE=90°

在 中，

，

∵点G是 的中点，

∴ 是 的中线，

在 中，

．

23．（1）见解析

（2）四边形ABPF为菱形

【详解】

（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），

∴AB=AF，∠BAM=∠FAN.

∵在△ABM和△AFN中，，

∴△ABM≌△AFN（ASA）.

∴AM=AN.

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由如下：

连接AP，

∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°.

∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°.

∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP.

∴四边形ABPF是平行四边形.

∵AB=AF，

∴平行四边形ABPF是菱形.

24．(1)y＝﹣10x2+280x﹣1600

(2)11元/件或17元/件

(3)200≤y≤360

（1）解：由题意得：y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10x2+280x﹣1600，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+280x﹣1600（x≥10）；故答案为：y＝﹣10x2+280x﹣1600；

（2）解：令y＝270得：﹣10x2+280x﹣1600＝270，解得：x1＝11，x2＝17，∴销售单价为11元/件或17元/件；

（3）解：∵每件该小商品的利润率不超过100%，∴x﹣8≤100%×8，解得x≤16，∵每天的进货总成本不超过800元，∴销售单价x≥10，故销售单价的范围是10≤x≤16，由（1）得y＝﹣10x2+280x﹣1600＝﹣10（x﹣14）2+360，当x＝14时，利润最大是360元，当x＝10时，利润200元，所以利润的取值范围是200≤y≤360．

25．(1)

(2)

(3)存在，．

 (1)

将点，代入中，得：

解得，

∴该抛物线表达式为：

(2)

如图1，过点P作PD//y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC，

设点，则点，

∴

联立方程组

解得，，

∵点B的坐标为（3，0）

∴点C的坐标为

∴

∴

(其中)

∵

∴这个二次函数有最大值，

∴当时，的最大值为；

(3)

存在，

①如图②，

设，N（n，，

作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，

∴∠OGM=∠OHN=90°，

∵OM=ON，∠MON=90°，∠GOH=90°，

∴∠MOG=∠NOH，

在△OGM与△OHN中，

，

∴△OGM≌△OHN（AAS），

∴GM=NH，OG=OH，

∴，

解得：，，

∴N1（3，0），N2，

②如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，，

作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，

∴∠OGM=∠OHN=90°，

∵OM=ON，∠MON=90°，∠GOH=90°，

∴∠MOG=∠NOH，

在△OGM与△OHN中，

，

∴△OGM≌△NHO（AAS），

∴GM=NH，OG=OH，

∴，

解得：，

∴；

综上所述，点N的坐标为．