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昆山、太仓、常熟、张家港市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析）
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这是一份昆山、太仓、常熟、张家港市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
昆山、太仓、常熟、张家港市2021-2022学年八年级上学期期中考试
数学试题
一、选择题
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 B. 3.14 C. D.
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. CD.
3. 与无理数最接近的整数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列运算或叙述正确的是（ ）
A. B. 4的平方根是±
C. 面积为12的正方形的边长为2 D. ＝±2
5. 下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A. B. 0.1 C. D.
6. 下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
7. 如图所示，画∠AOB的平分线的过程：先在∠AOB的两边OA，OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；再分别过点C，D作CE⊥OA，DF⊥OB．CE，DF交于点P，最后作射线OP，则可得∠AOP＝∠BOP．即OP为∠AOB的平分线．那么判定COP≌DOP的理由是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. HL
8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
10. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．下列说法中不正确的是（ ）
A. BP是∠ABC的平分线 B. AD＝BD
C＝3：1 D. CD＝AD
二、填空题
11. 实数算术平方根是__________．
12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___
13. 一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径）
14. 比较大小：______0.5．
15. 已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝______．
16. 如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，点P是线段AD上一点，连接BP，将ABP沿BP翻折得到，当⊥AD时，则∠ABP＝________．
17. 如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为__________．
18. 如图，四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为_____．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 求下列各等式中x的值：
（1）x3+64＝0；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0．
21. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
22. 已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．
23. 如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）
①作线段AB的垂直平分线MN；
②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．
（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于．
24. 如图，点C、DBE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．
25. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出ABC关于直线MN对称的；
（2）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
26. 阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数．
阅读理解以上内容，解决下列问题：
（1）化简：﹣2i2＝；（﹣i）3＝．
（2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数）
①若该复数是实数，则实数m＝；
②若该复数是纯虚数，则实数m＝．
（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．
27. 如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：EF＝DF．
28. 如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
又2.52=6.25<9
∴最接近的整数是2．
故选B．
4. 下列运算或叙述正确的是（ ）
A. B. 4的平方根是±
C. 面积为12的正方形的边长为2 D. ＝±2
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式，平方根，二次根式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，故本选项不合题意；
B：4的平方根是±2，故本选项不合题意；
C：面积为12的正方形的边长为，∴符合题意；
D：＝2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
5. 下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A. B. 0.1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．0.1不是二次根式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式．
6. 下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式，完全平方公式、将式子化简计算即可判断．
【详解】解：（2﹣）×（2+）＝1，故A项符合题意；
（2﹣）×2＝4﹣2，故B项不符合题意；
（2﹣）×＝2-3，故C项不符合题意；
（2-）（2-）＝7﹣4，故D项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数与无理数的判断，熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式的运用是解题的关键．
7. 如图所示，画∠AOB的平分线的过程：先在∠AOB的两边OA，OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；再分别过点C，D作CE⊥OA，DF⊥OB．CE，DF交于点P，最后作射线OP，则可得∠AOP＝∠BOP．即OP为∠AOB的平分线．那么判定COP≌DOP的理由是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. HL
【答案】D
【解析】
【分析】根据两垂线，可确定两个三角形是直角三角形，由OC＝OD，和公共边OP，根据两直角三角形全等的判定定理得出Rt△POC≌Rt△POD即可．
【详解】解：判定△COP≌△DOP的理由是HL，
理由是：∵CE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握直角三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．
8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【详解】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
9. 如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理及各角之间的关系进行等量代换计算即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，①
∵，
∴，
∴，②
①+②得：
∴，
∴，
∵∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，所以B选项的说法正确；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴，
∴，所以D选项的说法正确；
∵BM的长度不能确定，
∴S△ABD与S△CMD的比值不能确定，所以C选项的说法错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了尺规作图，含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
二、填空题
11. 实数的算术平方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
12. 若二次根式有意义，则x取值范围是___
【答案】x≥
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列式求值．
【详解】∵二次根式有意义，
∴2x-3≥0,
∴x≥.
故答案是：x≥.
【点睛】考查二次根式有意义的条件；解题关键是运用了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数．
13. 一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径）
【答案】3
【解析】
分析】根据V球＝ πR3公式列等式，再开立方即可求解．
【详解】解：∵V球＝πR3，
∴πR3＝36π，
解得R＝3；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了开立方运算，根据V球＝ πR3公式列等式是解题的关键．
14. 比较大小：______0.5．
【答案】>
【解析】
【分析】根据无理数的估算方法，先估算，再比较大小即可．
【详解】∵，即，
∴，
∴，即．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
15. 已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据﹣1＜a＜，得出a+1＞0，a﹣2＜0，根据绝对值的意义及二次根式的性质化去绝对值与根号进行合并同类项即可．
【详解】解：∵﹣1＜a＜，
∴a+1＞0，|a+1|= a+1，a﹣2＜0，，
∴原式＝a+1+2﹣a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查绝对值化简与二次根式的性质，此类试题属于难度一般的试题，解答此类试题时一定要注意分析试题中各个数的大小关系，化去绝对值是解题关键．
16. 如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，点P是线段AD上一点，连接BP，将ABP沿BP翻折得到，当⊥AD时，则∠ABP＝________．
【答案】20°
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质，求出∠BAP＝25°，再根据翻折的性质和∠APA′＝90°，求出∠APQ＝45°，再根据三角形外角的性质得出结论．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝25°，
延长BP至Q，如图所示：
由折叠的性质可知：∠APQ＝∠A′PQ，
∵⊥AD，
∴∠APQ+∠A′PQ＝∠APA′＝90°，
∴∠APQ＝∠A′PQ＝45°，
又∵∠ABP+∠BAP＝∠APQ，
∴∠ABP＝∠APQ﹣∠BAP＝45°﹣25°＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的变换——折叠，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
17. 如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，则有DE＝DF，再由三角形的周长为24，则有AB＝12﹣BC，再利用三角形的面积公式列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，如图所示：
则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠HAA′＝40°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查平面内最短路线问题求法、三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；（2）
【解析】
【分析】（1）化简立方根，算术平方根，零指数幂，然后再计算；
（2）先算乘方，然后算乘法，化简绝对值，最后算加减．
【详解】解：（1），
，
；
（2）
，
，
．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算，包括立方根、算数平方根、乘方、绝对值、二次根式的运算等，熟练掌握运算法则是解题关键．
20. 求下列各等式中x的值：
（1）x3+64＝0；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0．
【答案】（1）x＝﹣4；（2）
【解析】
【分析】（1）先移项，再开立方；
（2）先移项，再把二次项的系数化为1，再开平方，化为一元一次方程，解出即可．
【详解】解：（1）x3+64＝0；
x3＝﹣64，
x＝﹣4；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝9，
（x﹣1）2＝18，
x﹣1＝±3，
．
【点睛】此题主要考查利用实数的性质解方程，解题的关键是熟知平方根与立方根的性质．
21. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2
【解析】
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【详解】解：（1）当x＝，y＝时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+）×（﹣）
＝2×（1﹣）
＝2﹣2；
（2）当x＝，y＝时，
原式＝（x﹣y）2
＝（﹣）2
＝（1﹣）2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用．
22. 已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用非负数的性质，由几个非负数之和为0，则这几个非负数均等于0，列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，再计算平方根即可．
【详解】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得．
∴x2y＝，
∴x2y的平方根为．
【点睛】本题主要考查了非负数性质和平方根，解题关键是掌握非负数性质：几个非负数之和为0，则这几个非负数均等于0；常见的非负数有：算术平方根、偶次幂、绝对值．
23. 如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）
①作线段AB垂直平分线MN；
②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．
（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线MN即可；
②利用尺规作出∠CAB的角平分线，交MN于点P，点P即为所求；
（2）直线MN与BC的交点即为点Q，最小值为BC的长．
【详解】解：（1）①如图，直线MN即为所求；
②如图，点P即为所求；
（2）如图，点Q即为所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，以及轴对称的性质，最短路径问题，正确掌握各作图方法及轴对称的性质是解题的关键．
24. 如图，点C、D在BE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AC＝AD可得∠ACB＝∠ADE，再利用SAS证出△ABC≌△AED即可得出结论．
【详解】证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AB＝AE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出ABC关于直线MN对称的；
（2）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接A′C，与直线MN的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
【点睛】此题考查作图能力，作图形的轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等的性质，正确掌握轴对称的性质是解题的关键．
26. 阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任
（3）由题意得：，
解得．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程、解二元一次方程组，理解题中的新定义是解题关键．
27. 如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：EF＝DF．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，得FP＝FG＝FQ，再根据AAS证出△FEP≌△FDQ即可得出结论．
【详解】（1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°，
∴∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
昆山、太仓、常熟、张家港市2021-2022学年八年级上学期期中考试
数学试题
一、选择题
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. 0 B. 3.14 C. D.
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. CD.
3. 与无理数最接近的整数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列运算或叙述正确的是（ ）
A. B. 4的平方根是±
C. 面积为12的正方形的边长为2 D. ＝±2
5. 下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A. B. 0.1 C. D.
6. 下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
7. 如图所示，画∠AOB的平分线的过程：先在∠AOB的两边OA，OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；再分别过点C，D作CE⊥OA，DF⊥OB．CE，DF交于点P，最后作射线OP，则可得∠AOP＝∠BOP．即OP为∠AOB的平分线．那么判定COP≌DOP的理由是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. HL
8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
10. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．下列说法中不正确的是（ ）
A. BP是∠ABC的平分线 B. AD＝BD
C＝3：1 D. CD＝AD
二、填空题
11. 实数算术平方根是__________．
12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___
13. 一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径）
14. 比较大小：______0.5．
15. 已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝______．
16. 如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，点P是线段AD上一点，连接BP，将ABP沿BP翻折得到，当⊥AD时，则∠ABP＝________．
17. 如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为__________．
18. 如图，四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为_____．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 求下列各等式中x的值：
（1）x3+64＝0；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0．
21. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
22. 已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．
23. 如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）
①作线段AB的垂直平分线MN；
②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．
（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于．
24. 如图，点C、DBE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．
25. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出ABC关于直线MN对称的；
（2）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
26. 阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数．
阅读理解以上内容，解决下列问题：
（1）化简：﹣2i2＝；（﹣i）3＝．
（2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数）
①若该复数是实数，则实数m＝；
②若该复数是纯虚数，则实数m＝．
（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．
27. 如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：EF＝DF．
28. 如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
又2.52=6.25<9
∴最接近的整数是2．
故选B．
4. 下列运算或叙述正确的是（ ）
A. B. 4的平方根是±
C. 面积为12的正方形的边长为2 D. ＝±2
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式，平方根，二次根式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，故本选项不合题意；
B：4的平方根是±2，故本选项不合题意；
C：面积为12的正方形的边长为，∴符合题意；
D：＝2，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
5. 下列二次根式中最简二次根式是（ ）
A. B. 0.1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．0.1不是二次根式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式．
6. 下列各数中，与2﹣的积是有理数的是（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式，完全平方公式、将式子化简计算即可判断．
【详解】解：（2﹣）×（2+）＝1，故A项符合题意；
（2﹣）×2＝4﹣2，故B项不符合题意；
（2﹣）×＝2-3，故C项不符合题意；
（2-）（2-）＝7﹣4，故D项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数与无理数的判断，熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式的运用是解题的关键．
7. 如图所示，画∠AOB的平分线的过程：先在∠AOB的两边OA，OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；再分别过点C，D作CE⊥OA，DF⊥OB．CE，DF交于点P，最后作射线OP，则可得∠AOP＝∠BOP．即OP为∠AOB的平分线．那么判定COP≌DOP的理由是（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. HL
【答案】D
【解析】
【分析】根据两垂线，可确定两个三角形是直角三角形，由OC＝OD，和公共边OP，根据两直角三角形全等的判定定理得出Rt△POC≌Rt△POD即可．
【详解】解：判定△COP≌△DOP的理由是HL，
理由是：∵CE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握直角三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．
8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数．
【详解】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5个．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
9. 如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理及各角之间的关系进行等量代换计算即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，①
∵，
∴，
∴，②
①+②得：
∴，
∴，
∵∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，所以B选项的说法正确；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴，
∴，所以D选项的说法正确；
∵BM的长度不能确定，
∴S△ABD与S△CMD的比值不能确定，所以C选项的说法错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了尺规作图，含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
二、填空题
11. 实数的算术平方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
12. 若二次根式有意义，则x取值范围是___
【答案】x≥
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列式求值．
【详解】∵二次根式有意义，
∴2x-3≥0,
∴x≥.
故答案是：x≥.
【点睛】考查二次根式有意义的条件；解题关键是运用了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数．
13. 一个球形容器的容积为36π立方米，则它的半径R＝______米．（球的体积：V球＝πR3，其中R为球的半径）
【答案】3
【解析】
分析】根据V球＝ πR3公式列等式，再开立方即可求解．
【详解】解：∵V球＝πR3，
∴πR3＝36π，
解得R＝3；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了开立方运算，根据V球＝ πR3公式列等式是解题的关键．
14. 比较大小：______0.5．
【答案】>
【解析】
【分析】根据无理数的估算方法，先估算，再比较大小即可．
【详解】∵，即，
∴，
∴，即．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
15. 已知实数﹣1＜a＜，化简|a+1|+＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据﹣1＜a＜，得出a+1＞0，a﹣2＜0，根据绝对值的意义及二次根式的性质化去绝对值与根号进行合并同类项即可．
【详解】解：∵﹣1＜a＜，
∴a+1＞0，|a+1|= a+1，a﹣2＜0，，
∴原式＝a+1+2﹣a＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查绝对值化简与二次根式的性质，此类试题属于难度一般的试题，解答此类试题时一定要注意分析试题中各个数的大小关系，化去绝对值是解题关键．
16. 如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，点P是线段AD上一点，连接BP，将ABP沿BP翻折得到，当⊥AD时，则∠ABP＝________．
【答案】20°
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质，求出∠BAP＝25°，再根据翻折的性质和∠APA′＝90°，求出∠APQ＝45°，再根据三角形外角的性质得出结论．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝25°，
延长BP至Q，如图所示：
由折叠的性质可知：∠APQ＝∠A′PQ，
∵⊥AD，
∴∠APQ+∠A′PQ＝∠APA′＝90°，
∴∠APQ＝∠A′PQ＝45°，
又∵∠ABP+∠BAP＝∠APQ，
∴∠ABP＝∠APQ﹣∠BAP＝45°﹣25°＝20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的变换——折叠，三角形的外角性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
17. 如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，则有DE＝DF，再由三角形的周长为24，则有AB＝12﹣BC，再利用三角形的面积公式列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，如图所示：
则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠HAA′＝40°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查平面内最短路线问题求法、三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；（2）
【解析】
【分析】（1）化简立方根，算术平方根，零指数幂，然后再计算；
（2）先算乘方，然后算乘法，化简绝对值，最后算加减．
【详解】解：（1），
，
；
（2）
，
，
．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算，包括立方根、算数平方根、乘方、绝对值、二次根式的运算等，熟练掌握运算法则是解题关键．
20. 求下列各等式中x的值：
（1）x3+64＝0；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0．
【答案】（1）x＝﹣4；（2）
【解析】
【分析】（1）先移项，再开立方；
（2）先移项，再把二次项的系数化为1，再开平方，化为一元一次方程，解出即可．
【详解】解：（1）x3+64＝0；
x3＝﹣64，
x＝﹣4；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝9，
（x﹣1）2＝18，
x﹣1＝±3，
．
【点睛】此题主要考查利用实数的性质解方程，解题的关键是熟知平方根与立方根的性质．
21. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2
【解析】
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【详解】解：（1）当x＝，y＝时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+）×（﹣）
＝2×（1﹣）
＝2﹣2；
（2）当x＝，y＝时，
原式＝（x﹣y）2
＝（﹣）2
＝（1﹣）2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用．
22. 已知与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用非负数的性质，由几个非负数之和为0，则这几个非负数均等于0，列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，再计算平方根即可．
【详解】解：∵与（x﹣y+3）2互为相反数，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得．
∴x2y＝，
∴x2y的平方根为．
【点睛】本题主要考查了非负数性质和平方根，解题关键是掌握非负数性质：几个非负数之和为0，则这几个非负数均等于0；常见的非负数有：算术平方根、偶次幂、绝对值．
23. 如图所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）请用直尺（没有刻度）和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹，不写作法（先用铅笔作图，再用水笔作图）
①作线段AB垂直平分线MN；
②在直线MN上确定一点P，使得点P到∠ABC两边的距离相等．
（2）点Q是第（1）题中的直线MN上一点，则两线段QA，QC的长度之和最小值等于．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线MN即可；
②利用尺规作出∠CAB的角平分线，交MN于点P，点P即为所求；
（2）直线MN与BC的交点即为点Q，最小值为BC的长．
【详解】解：（1）①如图，直线MN即为所求；
②如图，点P即为所求；
（2）如图，点Q即为所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，以及轴对称的性质，最短路径问题，正确掌握各作图方法及轴对称的性质是解题的关键．
24. 如图，点C、D在BE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AC＝AD可得∠ACB＝∠ADE，再利用SAS证出△ABC≌△AED即可得出结论．
【详解】证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AB＝AE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出ABC关于直线MN对称的；
（2）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接A′C，与直线MN的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
【点睛】此题考查作图能力，作图形的轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等的性质，正确掌握轴对称的性质是解题的关键．
26. 阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任
（3）由题意得：，
解得．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程、解二元一次方程组，理解题中的新定义是解题关键．
27. 如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：EF＝DF．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，得FP＝FG＝FQ，再根据AAS证出△FEP≌△FDQ即可得出结论．
【详解】（1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°，
∴∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
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