2022内蒙古满洲里远方中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022下学期满洲里远方中学期末考试

高二数学（文）

一、单选题

1. 设命题，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】解：命题，为特称量词命题，其否定为，；

故选：C

2. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（    ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的焦点坐标求得的值.

【详解】由于抛物线的焦点为，

所以.

故选：A

3. 下列求导运算正确的（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本函数求导公式和导数的运算法则进行判断.

【详解】，A错误；

，B正确；

，C错误；

，D错误.

故选：B

4. 函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】对求导，令 解 的取值范围即为的单调递减区间

【详解】，

令 ，即 ，解得

的单调递减区间为

故选：A

5. 复数的共轭复数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出，即可得到共轭复数.

【详解】因为，所以复数的共轭复数是.

故选：A

6. 已知复数，则正确的是（　　）

A. 的实部为 B. 在复平面内对应的点位于第二象限

C. 的虚部为 D. 的共轭复数为

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数除法运算可求得，由复数实部和虚部、共轭复数定义和复数对应点的坐标，依次判断各个选项即可.

【详解】，的实部为，虚部为，AC错误；

对应的点为，位于第四象限，B错误；

的共轭复数，D正确.

故选：D.

7. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意整理得，利用复数的除法运算可得，再根据共轭复数的概念理解判断．

【详解】由题意可得：

∴z的共轭复数为

故选：B．

8. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景设计了如图所示程序框图，若输入，输出，则判断框中可以填（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据框图计算可得时，则，此时跳出循环输出结果．

【详解】根据框图可得：

输出，则，此时跳出循环

故选：B．

9. 在极坐标系下，，两点间的距离为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】将极坐标化为直角坐标，再根据两点间的距离公式计算可得；

【详解】解：根据，

对于，则，所以的直角坐标为；

同理可得的直角坐标为，

.

故选：C.

10. 若曲线极坐标方程为，则它的直角坐标方程为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用直角坐标和极坐标的互化公式，即可求得.

【详解】由直角坐标和极坐标的互化公式，，

可化为：，

整理得．

故选：B

11. 已知点的极坐标为，则点的直角坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接由极坐标和直角坐标的转化求解即可.

【详解】由，可得点的直角坐标为.

故选：A.

12. 直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知直线经过抛物线的焦点和圆的圆心，有两点坐标即可求解直线方程.

【详解】抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，

所以可得直线经过点和，故斜率，

由斜截式可得方程为：，

故选：B

第II卷（非选择题）

二、填空题

13. 若复数z实部为1，虚部与的虚部相等，则复数__________．

【答案】1＋i##i+1

【解析】

【分析】先化简复数得到其虚部求解.

【详解】解：因为，其虚部为1，

又复数z的实部为1，

所以复数z＝1＋i，

故答案为：1＋i

14. 已知椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，则________．

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用椭圆的定义即可求解.

【详解】因为椭圆的焦点分别为，A为椭圆上一点，

所以

故答案为：4

15. 若，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】求出导函数，代入可得．

【详解】由已知，所以．

故答案为：．

16. 若复数z满足，则z的虚部为______．

【答案】3

【解析】

【分析】首先利用复数除法运算公式，计算，即可得复数的虚部.

【详解】,

所以的虚部为.

故答案为：

三、简答题（17-18每题8分共16分,19-22每题10分共40分）

17. 求下列函数的导数.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）

【解析】

【分析】根据基本初等函数的导数公式去求导即可解决

【小问1详解】

，则

【小问2详解】

，则

【小问3详解】

，则

小问4详解】

，则

18. 求下列双曲线的实轴和虚轴的长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）详见解析；   

（2）详见解析.

【解析】

【分析】利用双曲线的性质即求.

【小问1详解】

由，可得，

∴，即，

∴双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率为，

焦点为，顶点坐标为，渐近线方程为；

【小问2详解】

由，可得，

∴，即，

∴双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率为，

焦点为，顶点坐标为，渐近线方程为.

19. 已知函数

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）   

（2）的极小值为，无极大值.

【解析】

【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.

【小问1详解】

，令，解得：，

故函数的单调递减区间是

【小问2详解】

令得：

故在单调递减，在单调递增，

所以在处取得极小值，，

所以的极小值为，无极大值.

20. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，营造党的二十大胜利召开的良好社会氛围，某校开展了党史知识答题活动.为调查学生的成绩是否为高分与性别的关联性，随机抽取了该校60名学生，他们的成绩统计如下表.已知满分60分，36分及以上称为“及格”，48分及以上称为“高分”，54分及以上称为“优秀”.

（1）完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；

（2）从样本中成绩优秀的学生中随机抽取2人，求抽到一名男生和一名女生的概率.

附：，其中.

【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先完善列联表，计算，和临界值比较，作出判断即可；

（2）先列举出随机抽取2人的基本事件，再找出抽到一名男生和一名女生的基本事件，计算概率即可.

【小问1详解】

2×2列联表如下：

则，故没有95%的把握认为“学生成绩是否为高分与性别有关”；

【小问2详解】

记成绩优秀的两名男生为，四名女生为，则随机抽取2人的基本事件为，

，，，共15个，其中抽到一名男生和一名女生的基本事件有8个，

则抽到一名男生和一名女生的概率为.

21. 在直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，为曲线C上的点．

（1）求a的值，并求曲线C的直角坐标方程；

（2）若A，B是曲线C上的两个动点，且，求面积的最大值．

【答案】（1）2，   

（2）

【解析】

【分析】（1）由点M坐标可得a值，利用极坐标与直角坐标间的转化公式可得曲线C的直角坐标方程；

（2）不妨设，，利用面积公式和辅助角公式以及余弦函数的最值可得答案.

【小问1详解】

为曲线C上的点，将代入，得．

曲线C的极坐标方程变形为，

即曲线C的直角坐标方程为．

【小问2详解】

因为，所以不妨设，．

因为

，

所以当且仅当，，即，时，

取得最大值，且最大值为．

22. 抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程．

【答案】抛物线的标准方程为：；椭圆的标准方程为：.

【解析】

【分析】设出抛物线的标准方程,利用可求出抛物线方程,利用椭圆与抛物线共一个焦点得到,再根据可求出椭圆方程.

【详解】设抛物线的标准方程为：，

因为在抛物线上，所以，得，

所以抛物线的标准方程为：.

因为抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，所以，所以，

又在椭圆上，所以，所以，解得，

所以椭圆的标准方程为：.