北京市海淀区建华实验学校2022_2023学年九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份北京市海淀区建华实验学校2022_2023学年九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题符合题意的选项只有一个.，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
北京市海淀区建华实验学校2022~2023学年九年级上学期
10月月考数学试卷（含答案与详解）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）符合题意的选项只有一个.
1．（2分）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在选项的四个图中，能由如图经过平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
3．（2分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　）

A．70° B．60° C．80° D．45°
4．（2分）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（　　）

A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
5．（2分）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
6．（2分）联合国卫生组织规定每年5月31日为世界无烟日，据调查显示，全世界每天约有1.1万人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约4.6亿人，占世界吸烟人数的四分之一．比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%，求我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的病症的人数分别是多少？（一年按365天计算）若设我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的病症的人数分别为x万人，y万人，则由题意列方程组，得（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）

A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1
D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
8．（2分）现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
10．（2分）若与互为相反数，则a的值是　 　．
11．（2分）因式分解：4ax2﹣16axy+16ay2＝　 　．
12．（2分）用配方法将方程x2+10x﹣11＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则m+n＝　 　．
13．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，﹣4），则b的值为 　 　．
14．（2分）若a、b（a＜b）是关于x的一元二次方程2﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是　 　．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为　 　cm．

16．（2分）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝　 　．


三、解答题（本题共68分，第17、18、20-23题，每小题5分，第19、24—26题，每小题5分，第27—28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
19．（6分）解关于x的方程：
；
（2）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC＝1，求线段BD的长．

21．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m+2＝0．
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）当x1•x2＝0时，求方程的两个根．
22．（5分）如图，利用一面墙（墙长为10m），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为48m2的矩形场地？

23．（5分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为直线x＝2，且经过点A（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；
（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 　 　单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4．（写出推理过程）

24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图像交于点B（a，2）．
（1）求a的值及△ABO的面积；
（2）若一次函数y＝kx+b的图像与x轴交于点C，且正比例函数的图像向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．

25．（6分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．
y与x的几组对应值如下表：
x（单位：m）
0

1

2

3
4
…
y（单位：m）
1






2
…
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　 　m；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；
（3）结合（2）中的图象（图2），估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为 　 　m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 　 　m（精确到1m）．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝　 　；抛物线与y轴的交点坐标为 　 　；
（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的解析式；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（2m，y3）为抛物线上三点，且满足y1＞y3＞y2，求m的取值范围．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG．
①判断DG与BC的位置关系并证明；
②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为　 　．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．
（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是　 　；
（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．
①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；
②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；
③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是　 　．


北京市海淀区建华实验学校2022~2023学年九年级上学期
10月月考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）符合题意的选项只有一个.
1．（2分）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在选项的四个图中，能由如图经过平移得到的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【解答】解：观察各选项图形可知，C选项的图案可以通过平移得到．
故选：C．
【点评】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
2．（2分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　）

A．70° B．60° C．80° D．45°
【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．
∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，
∴∠DGA＝∠BAG＝20°，
∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角是本题的关键．
4．（2分）如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（　　）

A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
【分析】确定出7的范围，利用算术平方根求出的范围，即可得到结果．
【解答】解：∵6.25＜7＜9，
∴2.5＜＜3，
则表示的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间．
故选：A．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
5．（2分）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当a﹣b＝2时，
原式＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
6．（2分）联合国卫生组织规定每年5月31日为世界无烟日，据调查显示，全世界每天约有1.1万人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约4.6亿人，占世界吸烟人数的四分之一．比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%，求我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的病症的人数分别是多少？（一年按365天计算）若设我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的病症的人数分别为x万人，y万人，则由题意列方程组，得（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%，列出方程组解答即可．
【解答】解：根据题意得：．
故选：C．
【点评】此题考查由实际问题列二元一次方程组，关键是根据题意得出等量关系解答．
7．（2分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　）

A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1
D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点判断出A选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出B选项结论正确；根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出C选项结论正确；根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出D选项结论错误．
【解答】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，结论正确，故本选项错误；
B、∵抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上，
∴ax2+bx+c≥﹣6，结论正确，故本选项错误；
C、∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根为﹣1，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∴另一个根为2×（﹣3）﹣（﹣1）＝﹣6+1＝﹣5，结论正确，故本选项错误；
D、∵﹣2﹣（﹣3）＝1，（﹣3）﹣（﹣5）＝2，
∴点（﹣5，n）到对称轴的距离比点（﹣2，m）到对称轴的距离大，
∴m＜n，本选项结论错误，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的顶点坐，二次函数的对称性，抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的各种性质是解题的关键．
8．（2分）现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
【分析】观察图象即可求得a的取值范围．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴函数y＝x2﹣2x的最小值为﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x+4得，﹣1＝x+4，解得x＝﹣5，
由图象可知，当﹣5≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函数y＝n，
故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≤2且x≠0　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x≠0，
解得x≤2且x≠0．
故答案为：x≤2且x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（2分）若与互为相反数，则a的值是　　．
【分析】根据互为相反数的和等于0列出方程，然后根据一元一次方程的解法进行计算即可得解．
【解答】解：∵+1与互为相反数，
∴+1+＝0，
去分母得，a+3+2a+1＝0，
移项得，a+2a＝﹣3﹣1，
合并同类项得，3a＝﹣4，
系数化为1得，a＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
11．（2分）因式分解：4ax2﹣16axy+16ay2＝　4a（x﹣2y）2　．
【分析】原式提取4a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝4a（x2﹣4xy+4y2）＝4a（x﹣2y）2，
故答案为：4a（x﹣2y）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2分）用配方法将方程x2+10x﹣11＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则m+n＝　41　．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上25配方得到结果，求出m与n的值即可．
【解答】解：∵x2+10x﹣11＝0，
∴x2+10x＝11，
则x2+10x+25＝11+25，即（x+5）2＝36，
∴m＝5、n＝36，
∴m+n＝41，
故答案为：41．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，﹣4），则b的值为 　6　．
【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点（1，﹣4）代入即可求得．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线为y＝2x2﹣b，
∵新抛物线经过点（1，﹣4），
∴﹣4＝2﹣b，
∴b＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．
14．（2分）若a、b（a＜b）是关于x的一元二次方程2﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是　a＜m＜n＜b　．
【分析】把a、b（a＜b）为关于x的一元二次方程2﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根理解为抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝2的交点的横坐标分别为a、b，然后画出大致的函数图象即可得到a，b，m，n的大小关系．
【解答】解：把a、b（a＜b）为关于x的一元二次方程2﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根理解为抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝2的交点的横坐标分别为a、b，
∵抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）开口向上，与x轴的交点的横坐标分别为m、n，如图，
∴a＜m＜n＜b．
故答案为a＜m＜n＜b．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为　（10﹣2）　cm．

【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm．
【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，
由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，
在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，
在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，
∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm，
故答案为：（10﹣2）cm．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是能够通过作适当的辅助线构造特殊的直角三角形，通过解直角三角形来解决问题．
16．（2分）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝　6　．


【分析】根据运算法则，将表格补充，当千位是0时，10（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；当千位是1时，10（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k；即可求k的值．
【解答】解：当千位是0时，10×（6﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，
解得k＝；
当千位是1时，10×（16﹣k﹣k）+k﹣4＝7k，
解得k＝6；
∵k是整数，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查有理数的运算，理解所给的算法，借助有理数的运算求解是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17、18、20-23题，每小题5分，第19、24—26题，每小题5分，第27—28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1+2+9
＝3+8．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x﹣1）＜x+2，得：x＜2，
解不等式＞x，得：x＜3.5，
则不等式组的解集为x＜2．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）解关于x的方程：
；
（2）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
x（x+2）﹣2＝x2﹣4，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x2﹣4≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根；
（2）当m﹣1≠0时，
（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0，
（x+1）[（m﹣1）x﹣1]＝0，
x+1＝0或（m﹣1）x﹣1＝0，
x1＝﹣1，x2＝；
当m﹣1＝0时，原方程可化为：
﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元二次方程﹣因式分解法，准确熟练地计算是解题的关键．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC＝1，求线段BD的长．

【分析】（1）根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；
（2）根据含30度角的直角三角形和旋转的性质可得AD＝AC＝，∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴AC＝，
由旋转可知：∠DAC＝60°，AD＝AC＝，
∴∠DAB＝∠DAC+∠∠AC＝90°，
∴BD＝＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m+2＝0．
（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）当x1•x2＝0时，求方程的两个根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可；
（2）利用根与系数的关系得到m+2＝0，解得m＝﹣2，然后利用（1）中的范围确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+2）＞0，
整理得：﹣4m＞﹣1，
解得：m＜，
∵m≠0，
∴m的取值范围是：m＜且m≠0；
（2）∵方程的两个解满足x1•x2＝0，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣2，
而m＜且m≠0，
∴m的值为﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
22．（5分）如图，利用一面墙（墙长为10m），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为48m2的矩形场地？

【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形场地的面积为48m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长为10m，即可确定AB的长，进而可得出：当AB的长为6m时，可以围成一个面积为48m2的矩形场地
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，
依题意得：x（20﹣2x）＝48，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，20﹣2x＝20﹣2×4＝20﹣8＝12＞10，不合题意，舍去；
当x＝6时，20﹣2x＝20﹣2×6＝20﹣12＝8＜10，符合题意．
答：当AB的长为6m时，可以围成一个面积为48m2的矩形场地．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（5分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为直线x＝2，且经过点A（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；
（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 　3　单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4．（写出推理过程）

【分析】（1）利用对称轴方程求出m＝﹣4，再A点坐标代入y＝x2+mx+n得到n的值，从而可确定抛物线解析式，接着利用配方法得到顶点坐标，通过解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）利用抛物线的对称性，当抛物线与x轴的两个交点的距离为4时，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），则利用交点式写出此时抛物线解析式为y＝x（x﹣4），利用配方法得到抛物线y＝x2﹣4x的顶点坐标为（2，﹣4），然后根据抛物线的顶点的平移可判断把抛物线y＝x2﹣4x+3向下平移3个单位得到抛物线y＝x2﹣4x，而抛物线y＝x2﹣4x与x轴的两个交点的距离为4．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
把A（0，3）代入y＝x2+mx+n得n＝3，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）
当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
如图，

（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当抛物线与x轴的两个交点的距离为4时，抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣4），
即y＝x2﹣4x，
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣4x的顶点坐标为（2，﹣4），
∴把抛物线y＝x2﹣4x+3向下平移3个单位得到抛物线y＝x2﹣4x，此时抛物线y＝x2﹣4x与x轴的两个交点的距离为4．
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（﹣2，4），且与正比例函数的图像交于点B（a，2）．
（1）求a的值及△ABO的面积；
（2）若一次函数y＝kx+b的图像与x轴交于点C，且正比例函数的图像向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式的解集．

【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式，可得C（﹣4，0），根据S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO即可求解；
（2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得m的值；
（3）找出直线y＝﹣x落在直线y＝kx+b上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣x的图象经过点B（a，2），
∴2＝﹣a，解得，a＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），
∴，解得，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8，
∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，
则2x+8＝0，解得x＝﹣4，
∴C（﹣4，0），
∴S△ABO＝S△ACO﹣S△BCO＝×4×4﹣×4×2＝4；
（2）∵正比例函数y＝﹣x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为y＝﹣x﹣m，
∴0＝﹣×（﹣4）﹣m，解得m＝；
（3）∵一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝﹣x的图象交于点B（﹣3，2），
∴根据图象可知﹣x＞kx+b的解集为：x＜﹣3．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题，待定系数法，直线上点的坐标特征，三角形的面积计算，直线的平移，一次函数和一元一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握定系数法，直线上点的坐标特征以及数形结合的思想．
25．（6分）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．
y与x的几组对应值如下表：
x（单位：m）
0

1

2

3
4
…
y（单位：m）
1






2
…
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　1　m；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；
（3）结合（2）中的图象（图2），估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为 　3　m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 　18　m（精确到1m）．

【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；
（2）直接描点可得图象；
（3）求出y与x的关系式，把x＝8代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．
【解答】解：（1）由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m，
故答案为：1；
（2）如图，

（3）由（2）得，y与x是一次函数关系，
设y＝kx+b，把（0，1）（4，2）代入得，
解得，
∴y与x的关系式为y＝x+1，
当x＝8时，y＝2+1＝3；
设水流轨迹w＝a（x﹣8）2+3，
把（0，1）代入得，a＝﹣，
∴w＝﹣（x﹣8）2+3，
当w＝0时，x＝8±4（负值舍去），
∴水流的射程为8+4≈18（m）．
故答案为：3，18．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝　1　；抛物线与y轴的交点坐标为 　（0，4）　；
（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，求它的解析式；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（2m，y3）为抛物线上三点，且满足y1＞y3＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴是直线x＝﹣求出对称轴即可；把x＝0代入函数解析式求出y即可；
（2）把点（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，再求出a即可；
（3）先根据已知条件得出A，B、C位于对称轴左侧，即可得出m﹣1＜2m＜m＜1，解得即可．
【解答】解：（1）x＝﹣＝1，
当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）；

（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上；
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4得：0＝a×12﹣2a×1+4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2﹣8x+4；

（3）∵A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（2m，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，
又∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴m﹣1＜2m＜m＜1，
解得：﹣1＜m＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG．
①判断DG与BC的位置关系并证明；
②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为　2CG2＝DG2+AB2　．

【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；②根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠ACE＝α，
∴∠ECB＝45°+α，
∵CF⊥BD交BD的延长线于点E，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F+∠ABD＝90°，
∵∠F+∠ECB＝90°，
∴∠ABD＝∠ECB＝45°+α；
（3）①DG与BC的位置关系：DG⊥BC，
证明如下：
连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，
∵AB＝BC，∠ABD＝∠ECB，BD＝CG，
∴△ABD≌△BCG（SAS），
∴∠CBG＝∠BAD＝45°，
∴∠ABG＝∠CBG＝∠BAC＝45°，
∴AM＝BM，∠AMB＝90°，
∵AD＝BG，
∴DM＝GM，
∴∠MGD＝∠GDM＝45°，
∴∠BHG＝90°，
∴DG⊥BC；
②∵AB＝BC，BD＝CG，
由勾股定理可得：CE2+BE2＝CB2，GE2+DE2＝GD2，
∴DG2＝2DM2，AB2＝2BM2，DG2+AB2＝2（DM2+BM2）＝2BD2＝2CG2
∴DG、CG、AB之间的数量关系为：2CG2＝DG2+AB2，
故答案为：2CG2＝DG2+AB2，
【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．
（1）若t＝﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是　C、D　；
（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．
①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；
②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；
③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是　1﹣＜t＜4﹣　．

【分析】（1）根据给定的t值找出A、B点的坐标，再利用解三角形的方法讨论C、D、E点是否满足“等角点”的条件即可得出结论；
（2）①画出点N在y轴正半轴时图形，通过角的计算得出∠PAB＝∠OMN，从而得出“PA＝PM，AB＝BM”，再通过解直角三角形即可得出P点的坐标，同理可得出点N在y轴负半轴时的P点的坐标；②通过角的计算找出∠BMQ＝∠MQB＝30°，再结合外角的性质得出BQ＝BM＝AB即得出△ABQ是等边三角形，从而得出结论，同理点N在y轴负半轴时，结论相同；
（3）通过构建与y轴以及与线段MN相切的圆，找出点A与点B的临界点，求出此时的t值，从而得出线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围．
【解答】解：（1）当t＝﹣时，点A（﹣，0），点B（，0），
∵点C（0，），OC＝＝AB，且点O为线段AB的中点，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，点C是线段AB的“等角点”；
∵点D（，1），B、D横坐标相等，
∴BD⊥x轴于点B．
∵AB＝﹣（﹣）＝，BD＝1﹣0＝1，tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝60°，点D是线段AB的“等角点”；
∵点E（﹣，），A、E横坐标相等，
∴AE⊥x轴于点A．
∵AB＝﹣（﹣）＝，AE＝﹣0＝，tan∠AEB＝＝，
∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．
综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．
故答案为：C、D．
（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，

∵∠APB＝60°，∠ABP＝90°，
∴∠PAB＝30°，
又∵∠OMN＝30°，
∴PA＝PM，AB＝BM．
∵AB＝，
∴BM＝，
∴PB＝1．
∴P（6﹣，1）．
当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+，1）．
②当点N在y轴正半轴时，如图2，

∵BQ⊥AP，且∠APB＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴∠ABQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠MQB＝30°，
∴BQ＝BM＝AB，
∴△ABQ是等边三角形．
∴∠AQB＝60°．
当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB＝90°．
③以AB＝做底，AO′＝BO′为腰，∠AO′B＝120°作三角形，如图3所示．

∵AO′＝BO′，AB＝，∠AO′B＝120°，
∴AO′＝1，O′O″＝．
（i）以直线y＝上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，

此时O′的坐标为（1，），此时A点的横坐标为1﹣AB＝1﹣，
即t＝1﹣；
（ii）以直线y＝上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．

∵M′F＝，∠OMN＝30°，
∴MF＝＝．
∵O′D＝1，∠O′M′D＝∠OMN＝30°，
∴O′M′＝＝2．
此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+AB＝4，
∴t+＝4，t＝4﹣．
综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t＜4﹣．
故答案为：1﹣＜t＜4﹣．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用、角的计算、解直角三角形、切线的性质以及等腰（等边）三角形的性质，解题的关键：（1）通过三角形的计算找出角的值；（2）①通过解直角三角形求出点P的坐标；②找出△ABQ是等边三角形；③通过相切寻找临界点．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（2）中③难度不小，在寻找A、B点的过程中，通过构建满足条件的圆，来寻找临界点，解题过程不难，但是点的寻找比较困难，此处与切线的性质联系较大，在日常练习中应加强训练．