2022-2023学年甘肃省张掖市重点校高三上学期期中检测 数学文（PDF版）

2022—2023学年度上学期高三期中检测试卷

文科数学

1.【答案】D

2. 【答案】C

3. 【答案】C

4. 【答案】C

5. 【答案】B

6. 【答案】C

7.【答案】D

8. 【答案】A

9. 【答案】A

10. 【答案】C

11. 【答案】B

12. 【答案】C

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，使是真命题，则的取值范围是______.

【答案】

14. 已知等差数列的前项和为，，，则当取最大值时的值为______.

【答案】8

15. 如图，已知函数的图像与轴的交点分别为，，为函数的最高点，则的值为______.

【答案】2

16. 已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若方程有三个不等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用导数求出切线斜率，由求出切点坐标代入直线的点斜式方程可得答案；

（2）可看作和图象有3个不同的交点，求出分别令、可得的极值可得答案.

【详解】（1），

切线方程为：，即.

（2）若方程有三个不等的实数根，

可看作和图象有3个不同的交点，

由，

解得或；

由，解得，

在区间上是增函数，

在区间上是减函数，

极大值为，

极小值为，

实数的取值范围是

18. 在中，角､､的对边分别为，，，.

（1）求角的大小；

（2）求函数的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先边角互化，转化为三角函数恒等变形，求角大小；（2）首先利用二倍角公式化简三角函数，再利用三角函数的性质求值域.

【详解】解：（1）∵，而，

∴，

∴，

又∵，∴，∴.

（2）

，

∵，∴，

∴的值域为.

19. 已知函数，若的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为．

（Ⅰ）求的值，并写出在上的一条对称轴方程；

（Ⅱ）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（任选一个）；（Ⅱ）6．

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据降幂公式及辅助角公式将函数解析式化简，再根据的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，得出周期为，即可求得的值，再根据阵线函数得对称轴即可求解；

（Ⅱ）由求得角A，再利用余弦定理结合基本不等式即可求解.

【详解】解：．

（Ⅰ）∵，∴，

对称轴，，

，，

∵，∴（任选一个）．

（Ⅱ）∵，∴，，

∵，∴．

∵，∴，

，

∴，∴的最大值为6．

20. 已知数列的前项和，数列满足.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据的关系，讨论、求对应的，再结合题设，即可证是等差数列；

（2）由（1）可得，由通项公式，应用裂项相消法求．

【小问1详解】

因为，

所以当时，，解得；

当时，，

则，

整理得.

因为，

所以.

当时，，

又，

所以数列是首项和公差均为1的等差数列.

【小问2详解】

由（1）得，

所以.

所以，

所以.

21. 已知等差数列满足，，数列的前项和，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若存在正数，使，对一切恒成立，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的性质可知：由解得，再结合即可得出；，根据可得，从而利用可计算出，再检验的值是否满足通项即可确定．

（2）由于是等差数列；是等比数列，所以可利用错位相减求和法求出，再结合不等式恒成立问题即可分析出的取值范围．

【详解】（1）因为数列是等差数列，所以，，

由，得.所以.

又，所以公差，所以，

∵.

当时，，

当时，，

经检验，当时也满足上式，所以；

（2）由（1）得，

所以，①

，②

①-②得

，

所以.

因为不等式，对一切恒成立，

所以对一切恒成立.

令，（），则单调递减

所以，所以，故的取值范围.

22. 设函数

（1）求的单调区间；

（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.

【答案】（1）f（x）在（－∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增.（2）的最大值为 .

【解析】

【分析】（1）确定函数f（x）=ex－ax－2的定义域是R，求导数f′（x）=ex－a，讨论a≤0，a>0等不同情况；

（2）转化得到，构造函数，利用导数研究该函数的最值.

【详解】（1）函数f（x）=ex－ax－2的定义域是R，=ex－a，

若a≤0，则=ex－a≥0，所以函数f（x）=ex－ax－2在（－∞，+∞）上单调递增

若a>0，则当x∈（－∞，lna）时，=ex－a<0；

当x∈（lna，+∞）时，=ex－a>0；

所以，f（x）在（－∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增

（2）由于a=1，

∵，

令，∴，

令，∴在单调递增，

且在上存在唯一零点，设此零点为，则，

当时，，递减，当时，，递增，

∴，

由，又

所以的最大值为2

【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题关键是利用转化与化归思想、应用导数研究函数的性质，将问题转化成确定函数的最值问题，应用确定函数最值的方法.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.