(新高考)高考数学二轮复习讲义11《圆锥曲线的方程与性质》(解析版)

11 圆锥曲线的方程与性质

核心考点一  圆锥曲线的定义及标准方程

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；

(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；

(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).

温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.

2.圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；

(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；

(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).

1．【2020新课标1理4】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．

故选C．

2.【2020新课标1文11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【解析】方法1：不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，

又，所以，

解得，所以，故选B．

方法2：点的轨迹方程为，联立，解得（得到点的纵坐标），所以，故选B．

方法3：由二级结论焦点三角形的面积为，故选B．

3.【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为(    )

A． B． C． D．

【解法1】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

【解法2】如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有

．在中，由余弦定理推论得

．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

【解法3】由利用向量或相似三角形的性质得点，代入椭圆方程得，所以，，故选B．

【解法4】由椭圆的极坐标方程得得，再利用余弦定理得出关于的方程．

4．【2020新课标2理19】已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．

（1）求的离心率；

（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程．

【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，

联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，解得，，

，即，，即，即，

，解得，因此椭圆的离心率为；

（2）由（1）知，，椭圆的方程为，

联立，消去并整理得，解得或（舍去），

由抛物线的定义可得，解得．

因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．

1．【2020新课标3文7理5】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【解析】因为与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选B．

2.【2020新课标3理11】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且．若的面积为，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【解析】方法1：，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，故选A．

方法2：的面积为，离心率，所以，故选A．

3．【2019新课标3文理15】设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.

【解析】由已知可得，

．∴．

设点的坐标为，则，

又，解得，

，解得（舍去），的坐标为．

核心考点二  圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的重要性质：

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.

②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).

②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.

②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.

1．【2020新课标1理15】已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．

【解析】联立，解得，所以．依题可得，，

即，变形得，因此的离心率为．故答案为．

2．【2016新课标3文12理11】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（   ）

（A）       （B）         （C）        （D）

【解析】解法1：由题意设直线的方程为，分别令与得，，由，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A。

解法2：设，则直线的方程为，由题意可知， 和三点共线，则，化简得，则的离心率．故选A．

3.(多选题)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是(　　)

A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为

B.若椭圆Ω的离心率为，则＝

C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a

D.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－

【解析】若a＝2b，则c＝b，所以e＝，A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，所以＝，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是·＝＝＝－，D正确.故选BCD.

1．【2020新课标3文14】设双曲线：的一条渐近线为，则的离心率为_________．

【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，．故答案为．

2.【2019新课标1理16】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

3.(多选题)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)

A.双曲线C的离心率为

B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同

C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为

D.|PF|的最小值为2

【解析】对于A，因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以双曲线C的离心率为，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝x上，则直线PF的方程为y－0＝－(x－)，即y＝－(x－)，由解得所以点P，所以△PFO的面积S＝××＝，所以C正确；对于D，因为点F(，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为，所以D错误.故选ABC.

核心考点三  直线与圆锥曲线综合问题

1.直线与圆锥曲线相交的弦：

设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝＝.

2.过抛物线焦点的弦：

抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，

弦长|AB|＝x1＋x2＋p.

1．【2020新高考全国13】斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则=_______．

【解析】，代入抛物线方程得，

，故答案为．

2．【2019新课标1理19】已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．

【解析】（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：   

联立，得

则   

，解得

直线的方程为：，即

（2）设直线方程为：，

联立，得，则   

，

        ，   

则

3．【2020新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆：过点，点为其左顶点，且的斜率为 ，（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．

【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即．

当时，解得，所以，

椭圆过点，可得，解得.

所以的方程为：.

(2)设与直线平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得，即，

所以，即，解得，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值为：.

1．【2013新课标1理10】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ）

A、   　　B、   　C、   　　D、

【解析】设，则，=－2，

   ①                 ②

由①减②得：，

∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选D．

2．【2010新课标理20】设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列，

（1）求的离心率；  （2） 设点满足，求椭圆的方程．

【解析】（I）由椭圆定义知，又，得

的方程为，其中．

设，，则A、B两点坐标满足方程组

化简的

则

因为直线AB斜率为1，所以

得故

所以E的离心率

（II）设AB的中点为，由（I）知，．

由，得，即得，从而

故椭圆E的方程为．

3.【2020天津卷】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.

【解析】(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，

由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.

由a2＝b2＋c2，得a2＝18.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.

依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，

设直线AB的方程为y＝kx－3.联立

消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.

依题意，可得点B的坐标为.

因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，

所以点P的坐标为.

由3＝，得点C的坐标为(1，0)，

故直线CP的斜率kCP＝＝.

又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，

整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.

所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.

即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.