解密01 三角函数的图像及性质（讲义）-【高考数学之高频考点解密】（解析版）练习题学案

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解密01 三角函数的图象与性质

核心考点
读高考设问知考法
命题解读
三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
【2018新课标3文理4】若，则( )
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
【2020新课标1理9】已知，且，则（ ）
【2020新课标3文5】已知，则（ ）
【2020新课标3理9】已知，则（ ）
【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且，则 ．
【2020新课标2文13】若，则__________．
【2018新课标2理15】已知，，则__________．
【2017新课标1文15】已知，，则=__________．
三角函数的图象及应用
【2017新课标1理9】已知曲线，
，则下面结论正确的是( )
【2017新课标3理6】设函数，则下列结论错误的是( )
【2020新课标1理7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（ ）
【2020新高考全国10】下图是函数的部分图像，则（ ）
三角函数的性质
【2018新课标3文6】函数的最小正周期为( )
【2017课标2理14】函数的最大值是 ．
【2019课标1文15】函数的最小值为．
【2017新课标2文13】函数的最大值为 ．

核心考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

1.【2020新课标1理9】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，即，解得或（舍去），又．故选A．
2．【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且，则 ．
【答案】
【解法1】由题意．
因为，所以，
从而，因此．故填．
评注：此处的角还可由缩小至，但没必要．
另外，还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．
【解法2】考虑到，令，则，因为是第四象限角，所以，故，所以．
【解法3】考虑，运用两角和的正切公式．令，则，因为是第四象限角，所以，故，从而，所以，故．
【解法4】．
【解法5】展开求出，运用两角和的正切公式．因为，所以，，因为是第四象限角，所以，，解得，，所以，故．
【解法6】运用两角和的正弦公式求出，再运用两角和的正切公式．因为，是第四象限角，所以，从而
，，所以，故．

1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan等于(　　)
A．－7 B．－ C. D．7
【答案】A
【解析】由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，
可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，
∴tan 2α＝＝＝，
∴tan＝＝＝－7.
2.已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
【答案】A
【解析】由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，
∴tan α＝f′(1)＝－2，
cos2－2cos2α－3sincos
＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α
＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α
＝
＝
＝＝.
3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
【答案】B
【解析】由诱导公式可得，sin ＝sin＝－sin ＝－，
cos ＝cos＝cos ＝，即P，
由三角函数的定义可得，sin α＝＝，
则sin＝－sin α＝－.
4.已知sin(3π＋α)＝2sin，则等于(　　)
A. B. C. D．－
【答案】D
【解析】∵sin(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，
则＝＝＝＝－.
核心考点二 三角函数的图象及应用
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象：
(1)“五点法”作图：
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
(2)图象变换：
(先平移后伸缩)y＝sin xeq \o(――――――――――――→,\s\up7(向左(φ>0)或向右(φ<0)),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)eq \o(―――――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω>0)倍) ,\s\do5(纵坐标不变))
y＝sin(ωx＋φ)eq \o(―――――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A(A>0)倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．
(先伸缩后平移)y＝sinxeq \o(――――――――――→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω>0)倍),\s\do5(纵坐标不变))y＝sinωxeq \o(―――――――→,\s\up7(向左(φ>0)或右(φ<0)),\s\do5(平移\f(|φ|,ω)个单位长度))
y＝sin(ωx＋φ)eq \o(――――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A(A>0)倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．

1．【2017新课标1理9】已知曲线，则下面结论正确的是( )
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线；
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线；
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．
【答案】D
【解析】，，首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．．横坐标变换需将变成，即．注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D
2.【2020新课标1理7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得函数图象过点，将它代入函数可得，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得，所以函数的最小正周期为，故选C．

1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象，故选A.
2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则θ＝________.

【答案】
【解析】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，
则A＝2，＝－＝，解得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，
当x＝时，f＝2sin＝0，又|φ|<π，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin，
因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin＝2cos 2x，
若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝kπ＋，k∈Z，或θ＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝.
3.若将函数y＝cosωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝cos ω
＝cos.
∵平移后得到的函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，
∴－＝2kπ－(k∈Z)，即ω＝－6k＋(k∈Z)．
∴当k＝0时，ω＝.
4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间上的零点为________．

【答案】2　
【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，－，从而求得函数的最小正周期为T＝2＝π，根据T＝可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝2sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x＝.
核心考点三 三角函数的性质
1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)：
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



递增
区间

[2kπ－π，2kπ]

递减
区间

[2kπ，2kπ＋π]

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)


对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ

周期性
2π
2π
π
2.三角函数的常用结论：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

1．【2019课标1文15】函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】，
，当时，，故函数的最小值为．
2．【2017课标2理14】函数的最大值是 。
【答案】
【解析】∵ ，，
∴ ，设，∴ ，函数对称轴为，
∴ ．
3.已知函数f(x)＝sin＋sin 2x＋a的最大值为1.
(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】(1)∵f(x)＝sin＋sin 2x＋a
＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a≤1，
∴2＋a＝1，即a＝－1，
∴最小正周期为T＝π.
∴f(x)＝2sin－1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f ＝2sin－1＝2sin－1.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取最大值－1；
当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取最小值－3.

1.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
【解析】(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，
∴ω＝2，于是f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
注意到x∈，所以令k＝0，
得函数f(x)在上的单调递增区间为；
同理，其单调递减区间为.
2.已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.
【解析】(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；
所以g(x)＝2sin 2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b的最小值为4π＋＝.
3.已知向量m＝(2cos ωx，－1)，n＝(sin ωx－cos ωx，2)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域.
【解析】(1)f(x)＝m·n＋3＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.
依题意知，最小正周期T＝π.
∴ω＝1，因此f(x)＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
求得f(x)的增区间为，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位，
得y＝sin＝sin的图象.
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)＝sin的图象.
故g(x)＝sin，
由≤x≤，知≤4x＋≤.
∴－1≤sin≤.
故函数g(x)的值域是[－，1].