南京市2023届高三年级学情调研数学参考答案

这是一份南京市2023届高三年级学情调研数学参考答案，共7页。试卷主要包含了09，25．2分，8．8分等内容，欢迎下载使用。
南京市2023届高三年级学情调研                数学参考答案             2022.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．B     2．D     3．A     4．C     5．D     6．A    7．B     8．C二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．BC     10．AC     11．ACD      12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13．14      14．4       15．2－     16．(－2π，1－π]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）在△ABD中，由＝，得＝，所以sin∠ADB＝1．················································2分因为0°＜∠ADB＜135°，所以∠ADB＝90°，所以BD＝＝3．···················································4分   （2）在△ADE中，DE＝BD＝2，因为∠ADE＝90°，所以AE＝＝，cos∠DAE＝＝．··················································6分在△ACD中，AC＝2AE＝2，AD＝3，cos∠DAC＝，所以CD2＝AD2＋AC2－2AD∙AC∙cos∠DAC＝50，即CD＝5，·················8分所以cos∠ADC＝＝－．·············································10分  18．（本小题满分12分）（1）解：因为a1＝6，a2＝12，a3＝20，所以a2－a1＝6，a3－a2＝8．又因为数列{ an＋1－an}为等差数列，所以an＋1－an＝6＋(n－1)×2＝2n＋4．·······························2分当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1·············4分＝(2n＋2)＋2n＋…＋6＋6＝＋6＝n2＋3n＋2．当n＝1时，a1＝6满足an＝n2＋3n＋2，综上，an＝n2＋3n＋2．·············································6分（2）证明：由（1）得＝＝＝－，········································8分所以 Sn＝－＋－＋…＋－＝－．·····································10分    因为n∈N*，故＞0，所以Sn＜．·····················································12分 19．（本小题满分12分）（1）证明：连AC交BD于点N，连MN．因为底面ABCD为平行四边形，所以N为AC的中点．························2分因为M为PC中点，所以MN∥PA．又PA平面MBD，MN 平面MBD，所以PA∥平面MBD．···············································4分（2）方法1取CD中点E，连AE．因为AB＝AD，四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形，又∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，因此△ACD为等边三角形，所以AE⊥CD，即AE⊥AB．·········································6分又PA⊥平面ABCD，故以AB，AE，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(1，，0)，D(－1，，0)，M(，，1)，所以＝(2，0，0)，＝(，，1)，＝(－1，，0)．设平面AMB的一个法向量为＝(x，y，z)，则即，取x＝0，y＝2，z＝－，即＝(0，2，－)．················································8分设平面AMD的一个法向量为＝(x，y，z)，则即，取x＝，y＝1，z＝－，即＝(，1，－)．················································10分则cos＜，＞＝＝，又＜，＞∈(0，π)，所以二面角B－AM－D的平面角的正弦值为．··························12分          方法2因为AB＝AD，四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形．又∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°，因此△ABC为等边三角形．又AB＝2，N为AC的中点，所以BN＝．取AM中点F，连BF，DF，在Rt△BMN中，MN＝1，BN＝，所以BM＝2．··························6分又因为AB＝2，所以BF⊥AM，同理可证DF⊥AM，所以∠BFD即为二面角B－AM－D的平面角．············8分在Rt△AMN中，AN＝MN＝1，AM＝．在△BAM中，BF＝＝．同理在△DAM中计算得DF＝．·····································10分又BD＝2， 所以cos∠BFD＝＝－．又∠BFD∈(0，π)，所以sin∠BFD＝＝，所以二面角B－AM－D的平面角的正弦值为．··························12分            20．（本小题满分12分）解：（1）K2＝＝6.25．················································2分因为6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关．·······························································3分（2）设2人中合格人数为X，则X的可能取值为0，1，2．P(X＝0)＝＝，          P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝ ， ···················································6分所以2人中合格人数的概率分布为X012P所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝． ································7分（3）该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率为＝0.8．·············8分两次考试后两人全部合格可分为三类：第一类：两名学生第一次考试都合格，则概率为0.82＝0.64；第二类：两名学生中有一位第一次考试不合格，第二次合格，则概率为C×0.8×0.2×0.9＝0.288；第三类：两名学生中第一次考试都不合格，第二次都合格，则概率为0.22×0.92＝0.0324；······11分所以0.64＋0.288＋0.324＝0.9604，所以2名学生至多两次四级考试后，这两人全部合格的概率为0.9604． ·········12分 21．（本小题满分12分）解：（1）抛物线y2＝2px的焦点F(，0)．因为P(0，2)，且A为PF中点，所以A(，1)．因为A在抛物线上，所以1＝2p×，解得p＝．·····························2分（2）由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝2x1，y22＝2x2．由消去x，得ky2－2y＋4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝ ．··············································4分假设存在定点T(m，n)，则＝(x1－m，y1－n)，＝(x2－m，y2－n)，所以·＝(x1－m)(x2－m)＋(y1－n)( y2－n)·································6分＝(y12－m)(y22－m)＋(y1－n)( y2－n) ＝y12 y22－m(y12＋y22)＋m2＋y1y2－n(y1＋y2)＋n2＝y12 y22－m[(y1＋y2)2－2y1y2]＋m2＋y1y2－n(y1＋y2)＋n2········8分＝－m(－)＋m2＋－＋n2＝(4－2m)＋(4m＋4－2n)＋m2＋n2．·························10分要使得·为常数，则解得m＝，n＝4，所以存在定点T(，4)，此时·＝m2＋n2＝18．·····························12分 22．（本小题满分12分）解：（1）由f (x)＝eax－x，得f ′(x)＝aeax－1．·······························1分令f ′(x)＝0，得x＝－lna．当x＜－lna时，f ′(x)＜0；当x＞－lna时，f ′(x)＞0，所以，f (x)的减区间为(－∞，－lna)，增区间为(－lna，＋∞)．···············3分（2）设g (x)＝f (x)－(1＋ax2)＝eax－ax2－x－1， x∈[0，＋∞)．则g′(x)＝aeax－ax－1，g′′(x)＝a(aeax－1)＝a f ′(x)．①当a≥1时，因为x≥0，所以g′′(x)≥a(a－1)≥0，从而g′(x)在[0，＋∞)上单调递增．因此g′(x)≥g′(0)＝a－1≥0，故g (x)在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x)≥g (0)＝0恒成立，因此a≥1符合题意．···············································7分②当0＜a＜1时，由（1）知，当x∈(0，－lna)时，g′′(x)＝a f ′(x)＜0，所以g′(x)单调递减，因此，当x∈(0，－lna)时，g′(x)＜g′(0)＝a－1＜0，所以g (x) 单调递减，故g (－lna)＜g (0)＝0，与g (x)≥0恒成立矛盾． 因此0＜a＜1不符合题意．···········································9分③当a＝0时，此时g (x)＝－x，g (1)＝－1＜0，与g (x)≥0恒成立矛盾，因此a＝0不符合题意．·············································10分④当a＜0时，此时g (－)＝e－2－1＜0，与g (x)≥0恒成立矛盾．因此a＜0不符合题意．综上，a≥1．····················································12分