南京市2023届高三年级学情调研数学试卷

南京市2023届高三年级学情调研

              数   学           2022.09

注意事项：

1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．

3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．设集合A＝{x|x2＋x－6＜0}，B＝{x|x＋1＞0}，则A∩B＝

A．(－3，－1)      B．(－1，2)       C．(2，＋∞)      D． (－3，＋∞)

2．已知复数z＝(2＋i)i，其中i为虚数单位，则z的值为

A． B． C．3 D． 5

3．已知随机变量X~N(4，22)，则P(8＜X＜10)的值约为

A．0.0215          B．0.1359        C．0.8186         D．0.9760

附：若Y~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Y＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜Y＜μ＋2σ)≈0.9545，

P(μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)≈0.9974

4．若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2lnx相切，则实数a的值为

A．0                B．－1           C．－2           D．－3

5．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)，如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1＋t2＝2，t2＋t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为

A．s             B．s              C．1s           D．s

6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2．若AB∥PF1，则椭圆的离心率为

A．           B．              C．             D．

7．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径， E为下底面圆周上一点，则三棱锥P－ABE外接球的表面积为

A.                B.                C.               D. 5π

8．已知函数f (x)，任意x，y∈R，满足f (x＋y) f (x－y)＝f 2(x)－f 2(y)，且f (1)＝2，f (2)＝0，则f (1)＋f (2)＋…＋f (90)的值为

A．－2              B．0             C．2             D．4

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“l⊥m”的充分条件有

A．α⊥β，l⊥α，m∥β                 B．α∥β，l∥α，m⊥β  

C．α⊥β，l⊥α，m⊥β                 D．α⊥β，l∥α，m∥β

10．已知a＞b＞0，则

A．＞                             B．a－＞b－  

C．a3－b3＞2(a2b－ab2)                D．－＞－

11．已知直线l：x＋1＝0，点P(1，0)，圆心为M的动圆经过点P，且与直线l相切，则

A．点M的轨迹为抛物线            

B．圆M面积的最小值为4π

C．当圆M被y轴截得的弦长为2时，圆M的半径为3

D．存在点M，使得＝，其中O为坐标原点         

12．已知函数f (x)＝3x－2x，x∈R，则

A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增          

B．存在a∈R，使得函数y＝为奇函数

C．函数g (x)＝f (x)＋x有且仅有2个零点

D．任意x∈R，f (x)＞－1

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．(1－)(1＋x)6的展开式中x3的系数为．

14．双曲线x2－＝1右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点对称．若PF⊥QF，则△PQF的面积为．

15．如图是构造无理数的一种方法：线段OA1＝1；第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1；… ，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2，OA3，…，则·＝．

16．若函数f (x)＝2x－sinx－a在(－π，π)上存在唯一的零点x1，函数g (x)＝x2＋cosx－ax＋a在(－π，π)上存在唯一的零点x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围为．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在平面四边形ABCD中，∠ABD＝45°，AB＝6，AD＝3．对角线与交于点E，且AE＝EC，DE＝2BE．

（1）求BD的长；

（2）求cos∠ADC的值．

18．（本小题满分12分）

已知数列{an}中，a1＝6，a2＝12，a3＝20，且数列{ an＋1－an}为等差数列，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．

（1）求证：PA∥平面MBD；

（2）若AB＝AD＝PA＝2，∠BAD＝120°，求二面角B－AM－D的正弦值．

20．（本小题满分12分）

某高校男、女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：

（1）是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？

（2）从这50名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望；

（3）将抽取的这100名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率．若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加0.1．现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率．

附：K2＝ ，

21．（本小题满分12分）

已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．

（1）求p的值；

（2）是否存在定点T，使得·为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数f (x)＝eax－x，a∈R．

   （1）若a＞0，求函数f(x)的单调区间；

   （2）若任意x≥0，f (x)≥1＋ax2，求a的取值范围．