2022届福建省高三1月学业水平合格性考试数学试题含解析

2022届福建省高三1月学业水平合格性考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集直接计算即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：D

2．下列几何体中，其俯视图可以为圆的是（       ）

A．长方体 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体

【答案】B

【分析】根据各选项几何体的结构特征，判断俯视图的形状即可.

【详解】A：长方体的俯视图为矩形，不合题设；

B：圆柱的俯视图是圆，符合题设；

C：三棱锥的俯视图为三角形，不合题设；

D：正方体的俯视图为正方形，不合题设.

故选：B.

3．（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值求解.

【详解】由特殊角的三角函数值知，

故选：D

4．已知向量，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.

【详解】由题设，.

故选：C.

5．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数定义域的求法，求得的定义域.

【详解】，

所以的定义域为.

故选：B

6．根据防疫要求，需从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，则选中的名都是男医生的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用列举法即可求解.

【详解】解：将名男医生记为，，名女医生记为

从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，所有可能情况有：

，，共种

选中的名都是男医生的情况为：，共种

所以选中的名都是男医生的概率为：.

故选：B.

7．设，满足约束条件，则的最大值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】作出可行域，利用直线截距的几何意义，数形结合求解.

【详解】如图，作出可行域，

由可得，

由图可知当直线过点A时，有最大值，

由得,

所以，

故选：C

8．如图，在边长为2的正方形中随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（       ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据几何槪型的概率公式即可得到结论．

【详解】解：正方形的面积，设阴影部分的面积为S，

随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，

由几何槪型的概率公式进行估计得，解得，

故选：B．

9．已知直线 ， ，若，则实数 （       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据两条直线的斜率相等可得结果.

【详解】因为直线 ， ，且，

所以，

故选：D.

10．不等式 的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.

【详解】，

解得或，

所以不等式的解集为.

故选：D

11．已知， ，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.

【详解】因为， ，,,

所以.

故选：D

12．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象.

【详解】由，排除B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C.

故选：A.

13．函数的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用辅助角公式化简整理，再利用三角函数的值域求解最小值即可.

【详解】解：由，

又函数的值域为，

则函数的最小值为.

故选：A.

14．已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.

【详解】由题设，，，，又在定义域上递增，

∴.

故选：C.

15．关于函数有下列四个结论：

①的图象关于原点对称；

②在区间上单调递增；

③的一个周期为；

④在是有四个零点

其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

【答案】A

【分析】对于①，由函数的定义域和，可得函数是奇函数，再由奇函数的图象性质可判断；

对于②，当时，，化简，根据正弦函数的性质可判断；

对于③，由，以及函数的周期性的定义可判断；

对于④，令，解得，由此可判断.

【详解】解：对于①，函数的定义域为R，且，

所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故①正确；

对于②，当时，，，所以，

又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故②正确；

对于③，因为，所以不是函数的周期，故③不正确；

对于④，在时，令，即，解得，共3个零点，故④不正确；

综上得正确命题的编号为：①②，

故选：A.

二、填空题

16．若，则___________.

【答案】4

【分析】根据解析式，令求解即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：4

17．已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为__________.

【答案】

【分析】直接利用平面向量的夹角公式求解即可.

【详解】解：设与的夹角为，因为，，，所以，

所以与的夹角的余弦值为．

故答案为：.

18．在等差数列中，，则_________.

【答案】2

【分析】由等差数列性质，得，问题得解.

【详解】是等差数列，，

，

解得.

故答案为：2.

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则___________.

【答案】

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】由可得,

由正弦定理可得，

解得，

故答案为：

20．要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是元，侧面每平方米的造价是元，则该容器的最低总造价为___________元.

【答案】

【分析】先设容器底面长为，再将总造价用表示出来，最后结合基本不等式即可求解.

【详解】解：由题知，长方体容器的容积为，高为

所以长方体容器的底面积为

设该容器底面长为，则宽为

该容器的个侧面面积为：，，，

设总造价为元，则

即元，当且仅当，即时，取等号.

所以该容器的最低总造价为元.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题首先要设出长方体底面的长宽，然后将长方体除上底面外其他面的面积表示出来，再由总造价等于总面积乘以每平方米的造价将总造价表示出来，最后结合基本不等式进行求解.

三、解答题

21．已知等比数列的前项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得首项和公比，由此求得的通项公式.

（2）利用列方程，化简求得的值.

(1)

设等比数列首项为，公比为，

，

所以.

(2)

.

22．已知圆C：．

(1)求圆心C的坐标及半径长；

(2)求直线：被圆C所截得的弦AB的长．

【答案】(1)圆心，半径.

(2)

【分析】（1）根据圆的标准方程可求得圆心与半径；

（2）由点到直线的距离公式可求得圆心到直线l的距离，再由勾股定理可得弦长.

(1)

解：因为圆C：，所以圆心，半径；

(2)

解：圆心到直线：的距离为，

所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为，

所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为.

23．如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【解析】(1)

因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，

所以,

又,

所以平面

(2)

因为△ABC和△PBC为正三角形，且，

所以,

又，

所以正三角形的面积为，

所以.

24．有人收集了5年中某城市的居民年收入（即此城市有居民在一年内的收入总和）与某种商品的销售额的有关数据：

(1)求，；

(2)求y关于x的回归方程；

(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少?

附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)，；

(2)；

(3)万元.

【分析】（1）根据表格数据及平均值的求法求，；

（2）由题设最小二乘估计公式求出参数，即可写出回归方程.

（3）由（2）所得回归方程估计时的值即可.

(1)

由表格数据，，.

(2)

由题设，，，故，

由（1）知：，

∴y关于x的回归方程为.

(3)

由（2）知：时，万元.

25．已知四个函数：， ，，.

(1)从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；

(2)以上四个中，是否满足其图象与直线有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由.

【答案】(1)答案见解析；

(2)存在满足条件，理由见解析.

【分析】（1）由函数奇偶性的定义判断所选函数的奇偶性即可.

（2）根据各函数的解析式，结合单调性、值域判断它们与的交点情况即可判断是否存在满足条件的函数.

(1)

且定义域为，为奇函数；

且定义域为R，为奇函数；

且定义域为R，为奇函数；

且定义域为R，为偶函数.

(2)

对于：当时，在上递减，上递增且最小值，而当x < 0时函数值恒为负数，故其与有两个公共点，不合题设；

对于：，易知在R上递增且值域为，故其与没有公共点，不合题设；

对于：根据对数型复合函数的单调性知：在R上递增且值域为，故其与有且仅有一个公共点，符合题设；

对于：，故其与没有公共点，不合题设；

综上，存在符合要求的函数.