2020丹东高二上学期期末质量监测数学试题含答案

这是一份2020丹东高二上学期期末质量监测数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了圆x2＋y2－4x－1＝0等内容，欢迎下载使用。
丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测
高二数学
本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x－7＝0的倾斜角为
A．0º
B．60º
C．90º
D．120º
2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－i，则z的共轭复数＝
A．－i
B．＋i
C．－i
D．＋i
3．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1， 6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是
A．平行
B．垂直
C．异面
D．相交但不垂直
4．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左右焦点，M是C上的一点，若|MF1|＝7，则|MF2|＝
A．13
B．1或13
C．15
D．1或15
5．一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，那么这个四棱锥体积为
A．
B．
C．
D．
6．过点P(2，0)作圆x2＋y2＋4x－y－3＝0的切线，切点为Q，则|PQ|＝
A．2
B．
C．3
D．6
7．已知正四面体OABC，M，N分别是OA，BC的中点，则MN与OB所成角为
A．30º
B．45º
C．60º
D．90º
8．已知点A(0，1)，而且F1是椭圆＋＝1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则
|PF1|＋|PA|的最小值为
A．6－
B．6－
C．6＋
D．6＋
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．圆x2＋y2－4x－1＝0
A．关于点(2，0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
10．正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则
A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为
11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可取
A．1
C
A
B
E
D
M
N
B．2
C．9
D．18
12．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为
正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段
ED的中点，则
A．直线BM，EN是相交直线
B．直线EN与直线AB所成角等于90º
C．直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角
D．直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数z＝的模|z|＝ ．
14．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，则C的离心率为 ．
15．已知曲线C的为－ ＝1，若C是椭圆，则m的取值范围为 ，
若C是双曲线，则m的取值范围为 ．
（本题第一空2分，第二空3分）
16．设A，B，C，D是半径为4的球O表面上的四点，△ABC 是面积为9的等边三角形，当三棱锥D－ABC体积最大时，球心O到平面ABC的距离为 ，此时三棱锥D－ABC的体积为 ．
（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知直线l经过点P(4，1)．
（1）若l与直线x＋2y－7＝0平行，求l的方程；
（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程．



18．（12分）
已知圆C过点A(6，0)和B(1，5)，且圆心在直线2x－7y＋8＝0上．
（1）求AB的垂直平分线的方程；
（2）求圆C的方程．





19．（12分）
如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，D，E分别是棱AB，AC上的点，且BC∥平面A1DE．
（1）证明：DE∥B1C1；
（2）若D为AB中点，求直线A1D与直线AC1所成角的余弦值．
C
A
B
E
D
A1
C1
B1

20．（12分）
设直线l：x－y－1＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求·的值；
（2）求△OAB的面积．




21．（12分）
如图，已知ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90º，SA垂直于平面ABCD，
SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）求直线SC与平面SAD所成角的正弦值；
（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值．
S
A
B
C
D


22．（12分）
已知斜率为k的直线l与椭圆C：交于A，B两点，若线段AB的中点为
M(1，m)(m≠0)．
（1）证明：k＝－；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0．证明：
||，||，||成等差数列．











丹东市2019~2020学年度上学期期末教学质量监测
高二数学试题参考答案
一、单项选择题
1．C
2．D
3．A
4．A
5．B
6．C
7．B
8．A
二、多项选择题
9． ABC
10． BC
11． BD
12． ABD
三、填空题
13．1
14．
15．(6，＋∞)，(2，6)
16．2，18
四、解答题
17．解：
（1）由条件可设l：x＋2y＋c＝0．
点P(4，1)代入可得c＝－6，所以l的方程为x＋2y－6＝0．
…………（4分）
（2）设直线l在x，y轴上的截距均为a．
若a＝0，则l过点(0，0)和(4，1)，故l的方程为y＝4(1)x．
若a≠0，设l：a(x)＋a(y)＝1，点P(4，1)代入得a(4)＋a(1)＝1，a＝5．l的方程为x＋y－5＝0．
综上可知，直线l的方程为y＝4(1)x或x＋y－5＝0．
…………（10分）
18．解：
（1）直线AB的斜率为－1，AB的中点坐标为(2(7)，2(5))，
所以AB的垂直平分线的斜率为1，其方程为y＝x－1．
…………（6分）
（2）由垂径定理知圆心是直线y＝x－1与直线2x－7y＋8＝0的交点，解得圆心坐标C(3，2) ．
圆的半径r＝|AC|＝，因此圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13．
…………（12分）
19．解法1：
（1）如图，以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C－xyz．
设AC＝BC＝CC1＝2，CE＝a，则A(2，0，0)，D(a，a，0)，E(a，0，0) ，A1 (2，0，2) ，B1 (0，2，2)，C1 (0，0，2)．
所以 DE＝(0，－a， 0)， B1C1＝(0，－2，0)，所以2 DE＝a B1C1， DE与 B1C1共线．
因为DE ⊄平面CBB1C1，所以DE∥B1C1．
…………（6分）
（2）因为D为AB中点，所以E为AC中点，故a＝1，于是 A1D＝(－1，1，－2)， AC1＝(－2，0，2)．
所以cos＜ A1D， AC1＞＝2＋02＋22(－2×2)＝－6(3)，因此直线A1D与直线AC1所成角的余弦值为6(3)．
…………（12分）
解法2：
（1）因为BC∥平面A1DE，BC ⊂平面ABC，
平面ABC∩平面A1DE＝DE，所以BC∥DE．
在直棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以DE∥B1C1．
…………（6分）
（2）延长CA到F，使AF＝AC，连接A1F，BF．
则AF＝A1C1，AF∥A1C1，四边形A1C1 AF是平行四边形，所以AC1∥A1F．故∠DA1F直线A1D与直线AC1所成角．
设AC＝BC＝CC1＝2，则A1F＝2，A1D＝．
因为D为AB中点，所以E为AC中点，故AE＝1．
因为AC⊥BC，所以DE⊥AC，因此
DF＝＝．
在△A1FD中，
cos∠DA1F＝2 A1D·A1F(A1D 2＋A1F2－DF 2)＝6(3)．
所以直线A1D与直线AC1所成角的余弦值为6(3)．
…………（12分）20．解法1：
（1）由y2＝4x得x＝4(y2)，代入x－y－1＝0得4(y2)－y－1＝0，△＝2＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4，x1x2＝4(y12)·4(y22)＝1．
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3．
…………（6分）
（2）由（1）知y1＋y2＝4，因为抛物线y2＝4x焦点F(1，0)在直线l上，所以
|AB|＝x1＋x2＋2＝4(y12)＋4(y22)＋2＝4(y1＋y22－2 y1y2)＋2＝8．
O到直线l的距离为d＝2(2)．所以△OAB的面积S＝2(1)×8×2(2)＝2．
…………（12分）
解法2：
（1）同解法1．
（2）因为y1＋y2＝4，所以|y1－y2|＝＝4．
直线l与x轴交点为F(1，0)，|OF|＝1．所以△OAB的面积S＝2(1)×|OF|×|y1－y2|＝2．
…………（12分）21．解法1：
（1）因为SA⊥BA，DA⊥BA，所以BA⊥平面SAD，于是B到平面SAD的距离为BA＝2．
因为BC∥AD，所以C到平面SAD的距离等于B到平面SAD的距离等于2．
由题设SC＝2，所以直线SC与平面SAD所成角的正弦值为SC(AB)＝3(3)．
…………（6分）
（2）延长BA，CD，设E点是它们的交点，连接SE，则所求二角角延展为二面角C－BE－S．
因为DA⊥BA，DA⊥SA，所以DA⊥平面SAB．
在平面SAB内过A作AF⊥SE于点F，连接DF，由三垂线定理得DF⊥SE，于是∠AFD是二面角C－BE－S的平面角．
由题设，AE＝AB＝AS＝2，所以AF＝，所以tan∠AFD＝AF(AD)＝2(2)．
故平面SAB与平面SCD所成二面角的正切值为2(2)．
…………（12分）
解法2：
（1）如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系A－xyz．
由已知得A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，S(0，0，2)，SC＝(2，2，－2)．
平面SAD的一个法向量为AB＝(0，2，0)．
因为cos＜SC，AB＞＝02＋22＋02(－2×0)＝3(3)，因此直线SC与平面SAD所成角的正弦值为3(3)．
…………（6分）
（2）设平面SCD的法向量为n＝(x， y，z) ，DC＝(1，2，0)．
由SC·n＝0，DC·n＝0得x＋2y＝0．(2x＋2y－2z＝0，)，可取n＝(－2，1，－1) ．
取平面SAB的法向量为AD＝(1，0，0)．
所以|cos＜AD，n＞|＝|2(－1)|＝3(6)．
所以|sin＜AD，n＞|＝3(3)，|tan＜AD，n＞|＝2(2)
由图知平面SAB与平面SCD所成二面角锐二面角，所以其的正切值为2(2)．
…………（12分）
22．解：
（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3(y12)，3(y22)．
两式相减，并由x1－x2(y1－y2)得4(x1＋x2)＋3(y1＋y2)·k＝0．
由题设知x1＋x2＝2，y1＋y2＝2m，于是k＝－4m(3)．
…………（6分）
（2）由题意得F(1，0)．设A(x3，y3)，则
(x3－1，y3) ＋(x2－1，y2)＋(x1－1，y1)＝(0，0)，故x1＋x2＋x3＝3， y1＋y2＋y3＝0．
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2m，所以x3＝1，y3＝－2m．
又点P在C上，所以m＝±4(3)，从而P(1，±2(3))，|FP|＝2(3)．
于是|FA|＝＝4(x12)＝2(x1)2(x1)＝2－2(x1)．
同理|FB|＝2－2(x2)．
所以|FA|＋|FB|＝4－2(x1＋x2)＝3＝2|FP|．
因此|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．
…………（12分）