2020省大庆铁人中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

铁人中学2018级高二学年下学期期中考试数学(理)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1.已知函数，则的值为（　　）

A.  B. 0 C. -1 D. 1​​

2.用反证法证明命题：“a，b，c，且，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为　　

A.a，b，c，d全为正数                   B.  a，b，c，d全都大于等于0

C. a，b，c，d中至少有一个正数 D. a，b，c，d中至多有一个负数

3. 的展开式中的系数为（    ）

A. 90                 B.160            C. -160           D. -120

4.有一段“三段论”，其推理是这样的：

对于可导函数，若，则是函数的极值点…大前提

因为函数满足，…小前提

所以是函数的极值点”，结论以上推理（　　）

A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 没有错误

5.若直线与曲线相切，则=（   ）

A. 3 B.  C. 2 D.

6.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：,,,，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则=（　　）

A. 7 B. 35 C. 48 D. 63

7. 的值是（　　）

A.  B.  C.  D.

8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（   ）

A.  48 B.  72 C.  90 D.  96

9.已知，函数的导函数在上有最小值，若函数，则(　　)

A.在(1，＋∞)上有最大值          B. 在(1，＋∞)上有最小值

C.在(1，＋∞)上为减函数          D.在(1，＋∞)上为增函数

10.某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）

A.          B.        C.        D.

11.设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球半径为，四面体的体积为，则=（     ）

A. B. C.   D.
12.若定义在上的函数满足,其导函数满足,则下列结论中一定错误的是(　　)

A.       B.    C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线的系数，

则最多形成不同的直线的条数为____

14. 用数学归纳法证明：“”．

从“到”左端需增乘的代数式为________

15.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是_______

16.已知多项式，

则

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（10分）

从6名运动员中选出4人参加接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数：

（1）甲、乙两人都不跑中间两棒；   

（2）甲、乙二人不都跑中间两棒．

18.（12分）

已知函数，在点M处的切线方程为，求：
（1）实数，的值；

（2）函数在区间上的最值．

19.（12分）

在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.

（1）求的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

20.（12分）

已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数．

（1）求

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明．

21.（12分）

已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：函数在区间内有且只有一个零点．

22.（12分）

已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数a

     的取值范围.

铁人中学2018级高二学年下学期期中考试数学(理)试题

一、选择题

DBCACD   ADDBCC

二、填空题

13.18   14.   15.  16.

三、解答题

17.解：（1）先选跑中间的两人有种，再从余下的6人中选跑1、4棒的有，则共有种．

（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法种，它们的差是336种．

18．解：（1）；（2）当x ∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4，．

19.(1) n＝8.

(2)系数最大的项为第三项和第四项，即，

20.解：(1)由题意知Sn＝a－nan，

当n＝1时，S1＝a1＝a－a1，解得a1＝.

当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得a2＝.

当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得a3＝.

(2)猜想：an＝(n∈N*)

证明：①当n＝1时，由(1)知等式成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，又

则，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)，

所以ak＋1＝＝.即当n＝k＋1时，等式成立．

结合①②得an＝对任意n∈N*均成立．

21. 解：当时，，由，
    得，故斜率，故切线方程是：；
    由题意可知，函数的定义域是，由知，，
    记，故，
    易知时，，故在区间递增，故，，
    故在区间内必存在，使得，故当时，，即，故递减，
    当时，，即，故递增，
    故当时，有最小值且为，，，而，
    故在区间内存在唯一零点，故函数在区间内有且只有1个零点．
     
22.