2020宜宾叙州区二中校高二下学期第四学月考试数学（理）试题含答案

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2020年春四川省宜宾市叙州区第二中学高二第四学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则 A. B. C. D. 2.已知复数,则的共轭复数 A. B. C. D.3.《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 (注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A.甲的数据分析素养高于乙 B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差 D.乙的六大素养整体水平优于甲4.若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5.函数y=2|x|sin2x的图象可能是A. B. C. D. 6.已知随机变量服从正态分布,,则A. B. C. D. 7.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种8.甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是 A. B. C. D.9.若函数fx=kx−lnx在区间1,+∞单调递增，则k的取值范围是 A. −∞,−2 B. −∞,−1 C. 2,+∞ D. 1,+∞10.已知函数，x∈R，若a=flog123，b=flog132，c=f2−2则a,b,c的大小为 A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c11.已知是定义在上的函数，若且，则的解集为 A. B. C. D. 12.已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷 非选择题（90分）填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在的展开式中常数项是__________．14.已知函数，则在处的切线方程为_______________.15.随机变量的分布列如下：若，则__________.16.已知，命题：，，命题：，，若命题为真命题，则实数的取值范围是_____．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）记A表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计A的概率；（Ⅲ）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．18（12分）.已知函数.( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)讨论函数的单调性;( = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II)对于任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围.19.（12分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.20.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，点P23,263在C上.( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得ΔABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.21.（12分）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=12mx2+x.( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)若函数f(x)与g(x)的图像上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）设F(x)=f(x)−g(x)，已知F(x)在(0,+∞)上存在两个极值点x1,x2，且x1e2（其中e为自然对数的底数）.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)分别写出，，，的极坐标方程；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)解不等式；（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.2020年春四川省宜宾市叙州区第二中学高二第四学月考试理科数学答案1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.D 7.D 8.A 9.D 10.C 11.D 12.B13.14 14. 15. 16.或17.（Ⅰ）由题可得(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)×10=1，解得a=0.025．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=0.025，则比赛成绩不低于80分的频率为(0.025+0.010)×10=0.35，故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分的概率约为0.35．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×0.35=35人，由此可得完整的2×2列联表：所以K2的观测值k=100×(10×25-25×40)235×65×50×50=90091≈9.890<10.828，所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．18.(1)因为.所以,令,得,当时,;当时,所以函数在上单调递减,在上单调递增.(2)由于,恒成立,所以.构造函数,所以.令,解得,当时,,当时,.所以函数在点处取得最小值,即.因此所求k的取值范围是.19.(1)如图所示，连结，等边中，，则，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合⊆平面，故.(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.20.(1)由题意可得c=1，点P(23,263)在C上，∴49a2+83b2=1，又a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1，(2)假设y轴上存在点M(0,t)，△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为N(x0,y0)，由x24+y23=1y=x+m，消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0，△=64m2-28(4m2-12)=16(21-3m2)>0，解得m2<7，∴x1+x2=-8m7，x1x2=4m2-127，∴x0=-x1+x22=-4m7，y0=x0+m=3m7，∴N(-4m7,3m7)，依题意有AM⊥BM，MN⊥l，由MN⊥l，可得t-3m70-(-4m7)×1=-1，可得t=-m7，由AM⊥BM可得y1-tx1⋅y2-tx2=-1，∵y1=x1+m，y2=x2+m，代入上式化简可得2x1x2+2(m-t)(x1+x2)+(m-t)2=0，则2(4m2-12)7-(8m7)2+(8m7)2=0，解得m=±3，当m=3时，点M(0,-37)满足题意，当m=-3时，点M(0,37)满足题意21.（1）函数fx与gx的图像上存在关于原点对称的点即gx=12mx2+x的图像与函数y=−f−x=xln−x的图像有交点即12mx2+x=xln−x在−∞,0有解，即12m=ln−x−1x在−∞,0上有解设φx=ln−x−1x，x<0，则φ′x=2−ln−xx2当x∈−∞,−e2时，φx为减函数；当x∈−e2,0时，φx为增函数φxmin=φ−e2=−1e2，即m≥−2e2（2）Fx=fx−gx=xlnx−12mx2−x，F′x=lnx−mxFx在0,+∞上存在两个极值点x1,x2，且x1e2，即证lnx1+lnx2>2只需证明t+1lntt−1>2，即证明lnt−2t−1t+1<0设ht=lnt−2t−1t+1，则h′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0则ht=lnt−2t−1t+1在0,1上单调递增，ht2 ∴x1x2>e222.（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，则在直角三角形中，，，，得：.所以曲线的极坐标方程为：又在曲线上任取一点，则在中，，，，，，由正弦定理得：， 即：，化简得的极坐标方程为：同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）由题意可知，，，的直角坐标方程为：，，，，所以，，，的极坐标方程为：，，，（2）当时，，，当时，，，所以点的极坐标为，23.（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立优秀非优秀合计男生40女生50合计100P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100