2020定远县育才学校高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

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育才学校2019—2020学年度第二学期期末考试高二文科数学试卷 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列命题错误的是(　　)A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2D． “若am21，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)A．a≥－1 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤－35.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A． [0，) B． [，) C． (，] D． [，π)6.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为(　　)A． B． C． D．7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)A． B． C． D．8.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　　)A． B．r C．r D．r9.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝f()，b＝f(1)，c＝f，则a，b，c的大小关系是 (　　)A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x＞0时，有＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为(　　)A． (－1,0)∪(1，＋∞) B． (－1,0)∪(0,1)C． (－∞，－1)∪(1，＋∞) D． (－∞，－1)∪(0,1)11.M是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角为α，且α＝60°，若|FM|＝4，则p等于(　　)A． 1 B． 2 C． 3 D． 412.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)A． B． C． D．二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．14.若f(x)＝x3－4x＋2与直线y＝k有且只有一个交点，则k的取值范围为________．15.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“p”中是真命题的为________．16.下列结论：①若命题p：∃x0∈R，tanx0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0，则命题“p∧(q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为________．三、解答题(共6小题,共70分) 17.（10分）已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O(O为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．19. （12分）已知函数f(x)＝lnx－x2＋x.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若在y轴右侧，函数h(x)＝(a－1)x2＋2ax－1的图象都在函数f(x)图象的上方，求整数a的最小值．20. （12分）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(，1)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．21. （12分）如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．22. （12分）已知函数f(x)＝lnx－ax2(a∈R)．(1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求实数a的值(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数．文科数学答案与解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1. D【解析】　D选项，“若am2－2时，f′(x)>0.所以x<－2时，xf′(x)>0；－20时，xf′(x)>0.故选C.8.D【解析】如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，∴S＝·rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ)∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)令S′＝0得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝.即当cosθ＝时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.9.A【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴当x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)等价为xf′(x)＋f(x)＜0，构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，∴当x∈(－∞，0)时，函数g(x)单调递减，且函数g(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，函数g(x)单调递增，则a＝f()＝g()，b＝f(1)＝g(1)，c＝f＝g＝g(－2)＝g(2)，∵1＜<2，∴g(1)＜g()＜g(2)，即b＜a＜c，故选A.10.A【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝，由题意知g(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝0，∵f(x)是R上的奇函数，∴g(x)是R上的偶函数．∴的草图如图所示：由图象知：当x＞1时，f(x)＞0，当－1＜x＜0时，f(x)＞0.∴不等式f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．11.B【解析】　不妨设M在第一象限，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，计算可得|MN|＝2，|FN|＝2，所以M的坐标为，代入y2＝2px(p>0)，得p＝2或p＝－6(舍)．12.C【解析】　由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2，|PF1|＝4.|F1F2|＝2c＝2＝4.∴cos∠F1PF2＝＝＝＝.二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.　48【解析】　由消去y，得x2－10x＋9＝0，设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，解得或∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，∴梯形APQB的面积为48.14.∪【解析】令g(x)＝f(x)－k，所以g(x)只有一个零点，因为g′(x)＝f′(x)＝x2－4，所以令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：g(x)有且仅有一个零点等价于g(－2)＜0或g(2)＞0，所以－＋8＋2－k＜0或－8＋2－k＞0，解得k＞或k＜－.故答案为k＞或k＜－.15.　p∨q，p【解析】　p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，p为真命题．16. 　①③【解析】　②l1⊥l2⇔a＋3b＝0.三、解答题(共6小题,共70分) 17.解　(1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，解得10)，由f′(x)<0，得2x2－x－1>0，即x>1或x＜－.又x>0，所以x>1.所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)令g(x)＝f(x)－h(x)＝lnx－ax2＋(1－2a)x＋1，所以g′(x)＝－2ax＋(1－2a)＝.当a≤0时，因为x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增，又因为g(1)＝ln 1－a×12＋(1－2a)＋1＝－3a＋2>0，所以关于x的不等式f(x)≤(a－1)x2＋2ax－1不能恒成立；当a>0时，g′(x)＝＝－，令g′(x)＝0，得x＝，所以当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，因此函数g(x)在上单调递增，在单调递减．故函数g(x)的最大值为g＝－ln 2a.令F(a)＝－ln 2a，因为F＝>0，F(1)＝－ln 2<0，又F(a)在a∈(0，＋∞)上单调递减．所以当a≥1时，F(a)<0，所以整数a的最小值为1.20.解　(1)由e＝，可得＝，所以a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1.将点P(，1)代入双曲线C的方程，解得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⇒(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意得，解得－10)的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.22. (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝lnx－ax2，∴f′(x)＝－ax＝，由于直线x－2y＋1＝0的斜率为，∴×＝－1，∴a＝.(2)由(1)知，f′(x)＝－ax＝，当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＜，由f′(x)<0，得x＞，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)由(2)可知，当a＜0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，∵f(x)min＝－a>0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点．当a＝0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，∵f(1)＝－a＝0，∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点．当a＞0时，①若≤1即a≥1时，f(x)在区间[1，e2]上单调递减，∵f(1)＝－a＜0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点，②若1＜0，即a<时，由f(e2)＝2－ae4>0得a<，此时f(x)在区间[1，e2]上有一个零点，由f(e2)＝2－ae4≤0得a≥，此时f(x)在区间[1，e2]上有两个零点，③若≥e2即0＜a≤时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，∵f(1)＝－a＜0，f(e2)＝2－ae4＞0，∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点，综上所述，当0≤a＜或a＝时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点；当≤a＜时，f(x)在区间[1，e2]上有两个零点；当a＜0或a＞时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点．