2020商洛高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

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商洛市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（ ）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展开式中含项的系数是（ ）A．40 B． C．80 D．4．已知双曲线的方程为，其离心率为（ ）A． B． C． D．5．已知向量，若，则（ ）A． B． C． D．6．设各项均不相等的等比数列的前n项和是，若，则（ ）A．27 B． C． D．367．高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）A．15，43 B．15，42 C．14，42 D．14，438．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线E上，若，则（ ）A．2 B．4 C．6 D．89．如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．10．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A． B． C． D．11．已知函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．12．在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．等差数列中，，则______．14．函数的图象的对称中心是______．15．已知函数是偶函数，且当时，，则______．16．函数的最小值为_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，角所对的边分别为．已知．（1）求A；（2）若，求的面积．18．（12分）在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了一个抽奖环节，其规则如下：一个不透明的箱子中装有形状大小相同的两个红色和四个绿色的小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，一名优秀员工仅有一次抽奖机会．若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元．（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形，E，F是以为直径的半圆圆弧的两个三等分点，．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的余弦值．20．（12分）如图，O为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，的面积为1．（1）求C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两点，且，记直线的斜率分别为，证明：为定值．21．（12分）已知函数．（1）若有三个不同的零点，求a的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．商洛市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试卷参考答案（理科）1．A 因为，所以．2．B 因为，所以复数对应的点位于第二象限．3．C 展开式的通项为．令，得，则，故的展开式中含项的系数是80．4．D 由题意得双曲线的，离心率．5．D 由题意可得．因为，所以，解得．6．C 由已知得，公比，所以，知，所以或，又等比数列各项均不相等，所以，所以．7．B 因为，所以另两人的编号分别为和．8．A 由题意可得，解得．9．A 如图，过点D作交于点F，连接，则为异面直线与所成的角．由题意知，，．故．10．C ，，此时输出S，即判断框内可填入的条件是“”．11．B 由题意可得解得．12．D 如图，取的两个三等分点，连接，连接，．由题意可得，则是的外接圆的圆心．因为，所以平面，且．设O为三棱锥外接球的球心，连接，过O作，垂足为F，则外接球的半径R满足，设，则，解得，从而，故三棱锥外接球的表面积为．13．135 由已知得，所以，所以公差，所以．14． 令，解得，则的图象的对称中心是．15．5 由题意可得．16． 因为，所以在上单调递减，在上单调递增，故．17．解：（1）因为，所以， 1分所以，所以． 3分因为，所以，所以． 4分因为，所以，所以， 5分所以，则． 6分（2）由余弦定理可得， 7分因为，所以， 8分即，解得或（舍去）． 10分故的面积为． 12分18．解：（1）记“小张获得2000元”为事件A，取出两个小球共有种情况， 2分其中两个小球均为红色共有种情况， 3分所以． 4分（2）记“一名员工中奖1000元”为事件B，“一名员工不中奖”为事件C，则．由题知，X所有可能的取值为0，1000，2000，3000，4000，则； 5分； 6分； 7分； 8分． 9分随机变量X的分布列为 10分故． 12分19．（1）证明：因为四边形为矩形，所以．因为平面平面，平面平面，所以平面． 1分因为平面，所以． 2分因为F是以为直径的半圆圆弧上的一个三等分点，所以，即． 3分因为，且平面平面，所以平面. 4分因为平面，所以平面平面． 5分（2）解：以F为原点，的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直平面的直线，以向上的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以， 6分则，故． 8分设平面的法向量为，则令，得． 9分同理可求平面的法向量为． 10分设二面角为，由图可知为锐角，则． 12分20．（1）解：由题意知 2分由于，解得，故C的方程为． 4分（2）证明：由（1）得，直线的斜率为．（方法一）因为，故可设的方程为．设，联立消去y，得， 6分所以，从而． 7分直线的斜率，直线的斜率，， 8分所以． 11分故为定值． 12分（方法二）设，则． 6分因为，所以的方程为.. 7分联立消去y，得， 8分解得（舍去）或． 9分所以点N的坐标为， 10分则，即为定值． 12分21．解：（1）令，则．设，则， 1分令，得；令，得或，则在和上单调递减，在上单调递增， 2分故． 4分结合的图象（图略）可知a的取值范围为． 5分（2）不等式，即，整理得． 6分设，则．因为，所以， 7分所以，则． 8分设，则． 9分因为，所以，所以， 10分所以在上单调递减，所以， 11分故，即a的取值范围是． 12分22．解：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以直线l的普通方程为． 2分因为曲线C的参数方程为（为参数），所以曲线C的普通方程为． 4分（2）因为点M的极坐标为，所以M的直角坐标为，则点M在直线l上． 5分将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得， 7分则， 8分故． 10分23．解：（1） 1分等价于或或 2分解得或或． 4分故不等式的解集为． 5分（2）因为，所以， 6分则对恒成立等价于对恒成立， 7分即对恒成立， 8分则 9分因为，所以，即a的取值范围为． 10分X01000200030004000P