2021江西省上高二中高二上学期第三次月考数学（理）试题含答案

2022届高二年级第三次月考数学（理科）试卷

命题：

一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．命题“x＞2，x2+ex≥0”的否定是（　　）

A．x＞2，x2+ex≤0 B．x0≤2，x02+＜0 

C．x0＞2，x02+＜0 D．x≤2，x2+ex＜0

2．把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD一定是一个（　　）

A．菱形 B．矩形 

C．正方形 D．梯形

3．设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则离心率e＝（　　）

A． B．2 C． D．

4．已知直线a，b和平面α，β，满足a⊂α，b⊂β，则“a和b相交”是“α和β相交”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．直线2ax﹣by+2＝0被x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0截得弦长为6，则ab的最大值是（　　）

A．9    B．4       C．  D．

6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P在正视图上的对应点为P，点A、B、C在俯视图上的对应点为A、B、C，则PA与BC所成角的余弦值为（　　）

A． B．

C． D．

7．已知椭圆C：，倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点，AB的中点是M（﹣4，1），则椭圆的离心率是（　　）

A． B． C． D．

8．设m，n，l为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法正确的个数是（　　）

①m∥l，n∥l，则m∥n；②α∥γ，β∥γ，则α∥β；③m∥l，m∥α，则l∥α；

④l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；⑤m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β．

A．0 B．1 C．2 D．3

9．双曲线的左、右焦点为F1、F2，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的值为（　　）

A．3     B．4 

C．5  D．不确定，随P点位置变化而变化

10．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（　　）

A．y2＝9x B．y2＝6x 

B．C．y2＝3x D．y2＝x

11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论不正确的是（　　）

A．BD∥平面CB1D1 

B．AC1⊥BD 

C．平面ACC1A1⊥CB1D1 

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

12．已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（﹣a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则＝（　　）

A．4  B．8  C．  D．

二．填空题（共4小题, 每小题5分，共20分）

13．已知命题p：“x[1，2]，x2＞a”，命题q：“方程x2+2ax+2＝0没有实根”，若命题“p且￢q”是真命题，则实数a的取值范围是　          　．

14．△ABC的两个顶点为A（0，0），B（6，0），顶点C在曲线y＝x2+3上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为　         　．

15．已知椭圆过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为　         　

16．如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将△ADM沿AM翻折成△PAM，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是　      　．（填序号）

（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；

（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直

（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC

（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行．

（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM

三．解答题（共6小题）

17．（本小题10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：xR，x2+kx+2k+5≥0恒成立；命题r：1﹣m＜k＜1+m（m＞0）．

（1）若命题p与命题r互为充要条件，求实数m的值；

（2）若命题q是命题r的必要不充分条件，求正数m的取值范围．

18．（本小题12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．

（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；

（2）求满足条件|PM|＝3的点P的轨迹方程．

19．（本小题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．

（1）证明：EF∥平面PBC；

（2）证明：AC⊥PB．

20．（本小题12分）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，△PF1F2的周长为定值6，且当PF1⊥F1F2时，．

（1）求C的方程；

（2）若斜率为k（k≠0）的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且成等差数列，证明：直线l过定点．

21．（本小题12分）如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CDBE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形.

（1）若F为AC的中点，求证：BF平面ADE；

（2）若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE.

22．（本小题12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且，设A是C上一点，且．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不与y轴垂直的直线l过点B（1，0），交椭圆C于E，F两点，试判断在x轴的负半轴上是否存在一点T，使得直线TE与TF斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

2022届高二年级第三次月考

数学（理科）试卷答题卡

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5，共20分）

13、                   14、                

15、                   16、                  

三、解答题（共70分）

17.（10分）

18. （12分）

19. （12分）

20. （12分）

21. （12分）

22.（12分）

2022届高二年级第三次月考数学（理科）试卷答案

13  （﹣∞，]    14   y＝3（x﹣2）2+1    15          16  （2）（4）  

17．【解答】解：若方程表示焦点在x轴上的椭圆；

则k+5＞3﹣k＞0，解得：﹣1＜k＜3，

故P为真命题时：﹣1＜k＜3；

若∀x∈R，x2+kx+2k+5≥0恒成立，

则△＝k2﹣4（2k+5）≤0，解得：﹣2≤k≤10，

故q为真命题时：﹣2≤k≤10；

（1）若命题p与命题r互为充要条件，

则（﹣1，3）＝（1﹣m，1+m），解得：m＝2；

（2）若命题q是命题r的必要不充分条件，

则（1﹣m，1+m）⫋[﹣2，10]，

则，解得：m≤3，

故m的范围是（0，3]．

18．【解答】解：（1）∵C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，

∴（x+1）2+（y﹣2）2＝4，

切线l斜率不存在时，即x＝1，满足圆心到切线距离等于半径，

当切线l斜率存在时，设l：y﹣3＝k（x﹣1），

∴＝2，

∴k＝

∴y﹣3＝，

即3x+4y﹣15＝0

综上，切线l的方程为3x+4y﹣15＝0或x＝1；

（2）设P（x，y），则由|PM|＝3，

得，

∴，

满足条件|PM|＝3的点P的轨迹方程：（x+1）2+（y﹣2）2＝13．

19．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是正方形，F为对角线AC与BD的交点，

∴F是BD的中点，又E是PD的中点，

∴EF∥PB，

又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

（II）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥PD，

又BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PBD，

又PB⊂平面PBD，

∴AC⊥PB．

20．【分析】（1）由题意可得关于a，b，c的方程组解方程组即可得答案；

（2）设直线l：y＝kx+m，与椭圆C方程联立，利用韦达定理可得k，m之间的关系，即可得答案．

【解答】（1）解：由题意知，所以，

所以椭圆C的方程为．

（2）证明：由题意知，A（﹣2，0）．

设直线l：y＝kx+m，与椭圆C方程联立，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，

＝，

所以k＝2m，

所以l：y＝2mx+m＝m（2x+1），恒过点．

21．【详解】（1）如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE.

∵F为AC的中点，

∴GFDC，且GF=DC.又DCBE，CD=2BE=4，

∴EBGF，且EB=GF

∴四边形BFGE是平行四边形，

∴BFEG.

∵EG平面ADE，BF平面ADE，

∴BF平面ADE.

（2）取DE的中点H，连接AH，CH.

∵△ADE是边长为2的等边三角形，

∴AH⊥DE，且AH=.

在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°

根据余弦定理可得HC2=DH2+DC2-2DH·DCcos60°=12+42-2×1×4×=13，即HC=.

在△AHC中，AH=，HC=，AC=4.

所以AC2=AH2+HC2，即AH⊥HC.

因为，，

平面

∵AH平面ADE，

∴平面ADE⊥平面BCDE.

22．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，

则，，即a2﹣b2＝8．

由椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|＝2a，

由已知，得，

所以2a＝6b，即a＝3b，

联立a2﹣b2＝8和a＝3b，解得a＝3，b＝1，

所以椭圆C的方程为．

（2）由已知直线l过点B（1，0），设l的方程为x＝my+1，

则联立方程组，消去x并整理得（m2+9）y2+2my﹣8＝0．

设E（x1，y1），F（x2，y2），T（t，0）（t，0），

则，

所以，．

又直线TE与TF斜率分别为，，

则．

因为t＜0，所以当t＝﹣3时，∀m∈R，．

所以在x负半轴上存在定点T（﹣3，0），使得直线TE与TF斜率之积为定值．