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2021安徽省皖北名校高二上学期期末考试数学（文）试题含答案
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皖北名校2020~2021学年度高二上期末考试数学试卷（文科） 考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教版必修2，必修3，选修1-1第一章至第二章第2节。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线经过原点和两点，则直线的倾斜角是A. B. C. D.2.有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是A.② ③ B.③④ C.①②③④ D.②3.“方程表示焦点在轴上的椭圆”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中甲、乙分别缺了一个数据，若甲的中位数、乙的平均数分别为108，112.25，则甲、乙两处缺的数据为A.9，5 B.8，6 C.7，5 D.9，65.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为A.4 B.6 C.12 D.246.设，若，则点的轨迹方程为A. B. C. D.7.在区间上任取一个数，则满足的概率为A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的正弦值为A. B. C. D.9.定义表示不超过的最大整数，，例如：，.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出结果为A. B. C. D.10.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，，，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积是A. B.5 C. D.11.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点有A.4个 B.1个 C.2个 D.3个12.已知点，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值4，则A.2 B. C. D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若命题，，则是_________.14.已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的标准方程为_______，双曲线的渐近线方程为_______.（本小题第一空3分，第二空2分）15.为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现将1200名员工从1到1200进行编号，在1~15中随机抽取一个数，如果抽到的是8，则从61~75这15个数中应抽取的数是_________.16.已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦与最短弦分别为与，则四边形的面积为______.三、解答题；共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.18.（本小题满分12分）已知命题：“方程：表示焦点在轴上的双曲线”；命题：“关于的不等式在上恒成立”。（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数，，的值：（3）已知日睡眠时间在区间内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.20.（本小题满分12分）某养殖场通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量与气温（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（1）请利用所给数据求用电量与气温的线性回归方程；（2）利用线性回归方程预测气温10℃时的用电量.参考公式：，.21.（本小题满分12分）已知圆与圆.（1）若圆与圆恰有3条公切线，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为2，求实数的值.22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不过原点且与坐标轴不平行，直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值.皖北名校2020~2021学年度高二上期末考试·数学试卷（文科）参考答案、提示及评分细则1.C 由和两点，代入斜率公式得，则直线的倾斜角是.故选C.2.D 因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.所以①不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件.故选D.3.B 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以或，所以“方程表示焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件.故选B.4.A 甲的中位数为108，所以（i）处数为9；乙的平均数为112.35，所以（ii）处数为5.故选A.5.C 由题中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面三角形的一直角边长为2，斜边长为，则另一直角边长为，所以棱柱的体积.故选C.6.B 由题意可知，点到点的距离与到点的距离之和为定值8，并且，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，，因为，所以，所以点的轨迹方程为.故选B.7.C 在区间上任取一个数，满足，即，所以所求概率.故选C.8.D 如图，连接交于点，取的中点，连接，，则且，所以（或其补角）为异面直线与所成的角.由在矩形中，，，则，，所以.平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，，所以，所以.又，所以.在中，所以异面直线与所成角的正弦值为.故选D.9.D ，，，；，，，；，，，；；输出.故选D.10.A 由球的体积，得.因为，，易知三角形为等腰直角三角形，则三棱锥的高，所以体积.故选A.11.C 因为的内切圆的周长为，所以，，又因为，所以，所以符合条件的点有两个，分别为椭圆的上下顶点.故选C.12.A 设，，，则，，所以.又因为，所以，.又因为，所以，，所以.故选A.13.，14. 由题意可知，因为椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，即，所以，所以双曲线的标准方程为，双曲线的渐近线方程为.15.68 由题意可知，1200人抽取80人，编号后分为80段，每段有15人，则从61~75这15个数中应抽取的数是：.16. 圆的方程可化为，点在圆内，过点的最长弦一定是圆的直径，所以，当时，最短，此时，则，所以四边形的面积.17.证明：（1）在中，因为为的中点，为的中点，所以是中的中位线，所以.………………………………………………………2分因为平面，平面，所以平面.………………………………………………………………………………………5分（2）因为，为的中点，所以.……………………………………………6分因为中，，由（1）已证，所以.……………………………………………………………………………………………7分因为平面，，所以平面.…………………………………………………………………………………9分又因为平面，所以.…………………………………………………………10分18.解：（1）∵方程表示焦点在轴上的双曲线，∴解得或.∴实数的取值范围为，………………………………………………………………4分（2）当命题为真时，.解得.…………………………………………………………………………………………6分∵“或”为真命题、“且”为假命题，∴真假或假真.…………………………………………………………………………………7分∴若真假，则解得或.…………………………9分若假真，则解得.………………………………………………11分∴实数的取值范围是.…………………………………………………………12分19.解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为600人.………………………………………………………………………………3分（2）由题意，解得，………………………………………………………………………4分，………………………………………………………………………………5分.……………………………………………………………………………………………6分（3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件，记5名高二学生中女生为，，男生为，，，从中任选3人有以下情况：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，基本事件共有10个，它们是等可能的，……………………………………………………………8分事件包含的基本事件有6个，故，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为.…………………………………………………12分20.解：（1）由表中数据得，，…………2分，，……4分所以，………………………………………………6分，……………………………………………………………………8分所以.……………………………………………………………………………………9分（2）当时，，………………………………………………11分当气温为10℃时，用电量为.………………………………………………………………12分21.解：（1）圆，圆心，半径；圆，圆心，半径.…………………………………2分因为圆与圆有3条公切线，所以圆与圆相外切，所以，………………4分即，解得.………………………………………………………………………6分（2）由（1）可知，圆，圆心，半径.因为直线与圆相交，弦长是2，所以圆心到直线的距离，……………………………10分即，解得或.………………………………………………………………12分22.解：（1）解：由题意得，离心率，所以.因为，所以，…………………………………………………………………………1分所以椭圆的方程为，………………………………………………………………………2分将点代入椭圆方程得，所以.…………………………………………………………………………………………………3分所以椭圆的方程为.………………………………………………………………………4分（2）证明：根据题意设直线的方程为，代入得，………………………………………………………………5分，所以.…………………………………6分设，，则，，.……………………………………………8分所以线段的中点为的坐标为.……………………………………………9分所以直线的斜率为，……………………………………………10分所以，即直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值.………………12分 分组频数频率50.1070.14120.240.2080.16合计501气温（℃）34567用电量（）2.5344.56
皖北名校2020~2021学年度高二上期末考试数学试卷（文科） 考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教版必修2，必修3，选修1-1第一章至第二章第2节。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线经过原点和两点，则直线的倾斜角是A. B. C. D.2.有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是A.② ③ B.③④ C.①②③④ D.②3.“方程表示焦点在轴上的椭圆”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中甲、乙分别缺了一个数据，若甲的中位数、乙的平均数分别为108，112.25，则甲、乙两处缺的数据为A.9，5 B.8，6 C.7，5 D.9，65.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为A.4 B.6 C.12 D.246.设，若，则点的轨迹方程为A. B. C. D.7.在区间上任取一个数，则满足的概率为A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的正弦值为A. B. C. D.9.定义表示不超过的最大整数，，例如：，.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出结果为A. B. C. D.10.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，，，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积是A. B.5 C. D.11.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆周长为，则满足条件的点有A.4个 B.1个 C.2个 D.3个12.已知点，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值4，则A.2 B. C. D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若命题，，则是_________.14.已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的标准方程为_______，双曲线的渐近线方程为_______.（本小题第一空3分，第二空2分）15.为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现将1200名员工从1到1200进行编号，在1~15中随机抽取一个数，如果抽到的是8，则从61~75这15个数中应抽取的数是_________.16.已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦与最短弦分别为与，则四边形的面积为______.三、解答题；共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.18.（本小题满分12分）已知命题：“方程：表示焦点在轴上的双曲线”；命题：“关于的不等式在上恒成立”。（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数，，的值：（3）已知日睡眠时间在区间内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.20.（本小题满分12分）某养殖场通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量与气温（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（1）请利用所给数据求用电量与气温的线性回归方程；（2）利用线性回归方程预测气温10℃时的用电量.参考公式：，.21.（本小题满分12分）已知圆与圆.（1）若圆与圆恰有3条公切线，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为2，求实数的值.22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不过原点且与坐标轴不平行，直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值.皖北名校2020~2021学年度高二上期末考试·数学试卷（文科）参考答案、提示及评分细则1.C 由和两点，代入斜率公式得，则直线的倾斜角是.故选C.2.D 因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.所以①不是必然事件；因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件.故选D.3.B 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以或，所以“方程表示焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件.故选B.4.A 甲的中位数为108，所以（i）处数为9；乙的平均数为112.35，所以（ii）处数为5.故选A.5.C 由题中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面三角形的一直角边长为2，斜边长为，则另一直角边长为，所以棱柱的体积.故选C.6.B 由题意可知，点到点的距离与到点的距离之和为定值8，并且，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，，因为，所以，所以点的轨迹方程为.故选B.7.C 在区间上任取一个数，满足，即，所以所求概率.故选C.8.D 如图，连接交于点，取的中点，连接，，则且，所以（或其补角）为异面直线与所成的角.由在矩形中，，，则，，所以.平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，，所以，所以.又，所以.在中，所以异面直线与所成角的正弦值为.故选D.9.D ，，，；，，，；，，，；；输出.故选D.10.A 由球的体积，得.因为，，易知三角形为等腰直角三角形，则三棱锥的高，所以体积.故选A.11.C 因为的内切圆的周长为，所以，，又因为，所以，所以符合条件的点有两个，分别为椭圆的上下顶点.故选C.12.A 设，，，则，，所以.又因为，所以，.又因为，所以，，所以.故选A.13.，14. 由题意可知，因为椭圆的离心率，所以双曲线的离心率，即，所以，所以双曲线的标准方程为，双曲线的渐近线方程为.15.68 由题意可知，1200人抽取80人，编号后分为80段，每段有15人，则从61~75这15个数中应抽取的数是：.16. 圆的方程可化为，点在圆内，过点的最长弦一定是圆的直径，所以，当时，最短，此时，则，所以四边形的面积.17.证明：（1）在中，因为为的中点，为的中点，所以是中的中位线，所以.………………………………………………………2分因为平面，平面，所以平面.………………………………………………………………………………………5分（2）因为，为的中点，所以.……………………………………………6分因为中，，由（1）已证，所以.……………………………………………………………………………………………7分因为平面，，所以平面.…………………………………………………………………………………9分又因为平面，所以.…………………………………………………………10分18.解：（1）∵方程表示焦点在轴上的双曲线，∴解得或.∴实数的取值范围为，………………………………………………………………4分（2）当命题为真时，.解得.…………………………………………………………………………………………6分∵“或”为真命题、“且”为假命题，∴真假或假真.…………………………………………………………………………………7分∴若真假，则解得或.…………………………9分若假真，则解得.………………………………………………11分∴实数的取值范围是.…………………………………………………………12分19.解：（1）设该校高二学生的总数为，由题意，解得，所以该校高二学生总数为600人.………………………………………………………………………………3分（2）由题意，解得，………………………………………………………………………4分，………………………………………………………………………………5分.……………………………………………………………………………………………6分（3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件，记5名高二学生中女生为，，男生为，，，从中任选3人有以下情况：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，基本事件共有10个，它们是等可能的，……………………………………………………………8分事件包含的基本事件有6个，故，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为.…………………………………………………12分20.解：（1）由表中数据得，，…………2分，，……4分所以，………………………………………………6分，……………………………………………………………………8分所以.……………………………………………………………………………………9分（2）当时，，………………………………………………11分当气温为10℃时，用电量为.………………………………………………………………12分21.解：（1）圆，圆心，半径；圆，圆心，半径.…………………………………2分因为圆与圆有3条公切线，所以圆与圆相外切，所以，………………4分即，解得.………………………………………………………………………6分（2）由（1）可知，圆，圆心，半径.因为直线与圆相交，弦长是2，所以圆心到直线的距离，……………………………10分即，解得或.………………………………………………………………12分22.解：（1）解：由题意得，离心率，所以.因为，所以，…………………………………………………………………………1分所以椭圆的方程为，………………………………………………………………………2分将点代入椭圆方程得，所以.…………………………………………………………………………………………………3分所以椭圆的方程为.………………………………………………………………………4分（2）证明：根据题意设直线的方程为，代入得，………………………………………………………………5分，所以.…………………………………6分设，，则，，.……………………………………………8分所以线段的中点为的坐标为.……………………………………………9分所以直线的斜率为，……………………………………………10分所以，即直线的斜率与直线的斜率的乘积是定值.………………12分 分组频数频率50.1070.14120.240.2080.16合计501气温（℃）34567用电量（）2.5344.56
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