2021宜春上高二中高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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上高二中2022届高二数学期末试卷（理）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某学校社团为了了解“早餐与健康的关系”，选取某班的60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，……，60，选取的这6名学生的编号可能是（）A.1，2，3，4，5，6 B.6，16，26，36，46，56 C.1，2，4，8，16，32 D.3，9，13，27，36，542.某工厂利用随机数学对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本标号是（）A.623 B.368 C.253 D.0723.抛物线的焦点坐标为（.）A. B. C. D.4.下列说法错误的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“若，则”的逆否命题为“若，则”C.命题，使得，则，均有D.若为假命题，则，均为假命题5.已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.6.在上随机地取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.8.在空间中，，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则9.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图。1号到13号同学的成绩依次是，，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A.6 B.7 C.10 D.1610.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.11.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（）A.内切 B.外切 C.相交 D.相离12.已知、是双曲线：的左右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为A. B.2 C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当时，y的估计值为：____________14.已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率____________15.知直线m过抛物线的焦点，且交抛物线于A、B两点，交其准线l于点C。若，，则|____________16.已知在直四棱柱，，，，，则异面直线与所成角的大小为_____________三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知双曲线：与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程，（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求实数的值18.随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机，某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照分成6组，制如图所示的频率分布直方图（1）求图中的值（2）求这100个数据的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；（3）利用分层抽样从手机价格在和的人中抽取6人，并从这6人中抽取2人进行访谈，求抽取的2人的手机价格在不同区间的概率.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，点、分别是棱BC、PD的中点（1））求证：平面；（2）若平面平面，求直线与面所成角的正弦值.20.如图，在三棱柱中，侧面是；棱形，且，平面平面，，，为的中点（1）求证：（2）求二面角的余弦值.21.已知抛物线的焦点为，直线斜率为1，直线与抛物线交于、两点，与轴交于点.（1）若，求直线方程（2）若，求.22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，是椭圆上的一个动点，当是椭圆的上顶点时，的面积为1.（1）求椭圆的方程（2）设斜率存在的直线，与椭圆的另一个交点为.若存在，使得，求的取值范围高二数学（理）期末试卷答案一、选择题二、填空题13. 213.514. 15. 216.三、解答题17.①②由得设，则，则中点代入18题：（1）由题意知，解得（2）平均数为.前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，故中位数落在第四组.设中位数为，则，解得.所以平均数约为3720，中位数约为3750.（3）由图知手机价格在和的人数之比为1：2，故利用分层抽样抽取的6人中，来自范围内的有2人，设为，，来自范围内的有4人，设为，，，.则从这6人中抽取2人的结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有，，，，，，，，共8种.，，故抽取的2人手机价格在不同区间的概率.19题：（1）证明：取的中点为Q，连结NQ，BQ，又点N是PD的中点，则，且，又点M是BC的中点，底面ABCD是矩形，则，且∴，且，∴四边形MNQB是平行四边形，，且，∴，且，∴四边形MNQB是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）过点作，交AB于点E，作，交CD于点F，连结EF，则，，，∴平面，又平面，平面平面，∵，，，∴，，，，∵平面平面，∴，取的中点为，连结，则，，以О为原点，OM，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，设平面的一个法向量则取，得，设直线MN与平面PCD所成角为，则，∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为.20题：【解析】（1）如图，连接，，在矩形中，，为的中点，所以.因为，，所以为正三角形.又为的中点，所以又平面平面，平面平面，平面所以平面.又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.（2）取的中点E，连接OE，则，所以OA，OB，OE两两垂直，如图，以坐标原点，分别为，，为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则即，令，得是平面的一个法向量.同理可求得平面的一个法向量为，则，由图知二面角为锐二面角.所以二面角的余弦值为.21.由得由得 ∴方程为②由消得得又得代入①得，代入②得 22题：（1）由题可知椭圆离心率，当为椭圆的上顶点时，的面积为1.∴解得故椭圆的方程为，（2）设，，线段PQ的中点为.由（1）设直线PQ的方程为.（分斜率或讨论的值）当时，符合题意.当时，把代入，得，∴，，∴，，即.∵，∴直线为线段的垂直平分线，∴，则.两直线垂直，斜率乘积为-1.∴，∴.245682050607080123456789101112BBDDCBDCBCCB