2021西宁海湖中学高二下学期开学考试数学（文理）试题含答案

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西宁市海湖中学2020—2021学年度第二学期高二数学(文理） 3月开学测试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人：第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．直线的斜率是，直线经过点，，，则a的值为（ ）A． B．1 C． D．2．直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则（ ）A．， B．，C．， D．，3．命题“对，”的否定为（ ）A．， B．，C．， D．，4．抛物线的焦点坐标为（ ）A． B． C． D．5．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）A． B．C． D．6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则7．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要8．已知命题：是偶函数，命题：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D．9．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．10．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A． B．C． D．11．曲线与曲线的（ ）.A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等12．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上一点，若，则的面积是（ ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．14．已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是________；15．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________；16．若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是________________.解答题17．回答下列各题.（共10分）（1）求经过点的抛物线的标准方程.（2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程.18．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（共12分）（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．19．已知圆：，直线过点.（共12分）（1）若直线与圆相切，求直线的方程.（2）若直线与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程.20．已知焦点在轴的抛物线经过点.（共12分）（1）求抛物线的标准方程.（2）过焦点作直线，交抛物线于，两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.21如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为与的中点.（共12分）（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为．（共12分）（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．高二数学参考答案第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．直线的斜率是，直线经过点，，，则a的值为（ ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】求出的斜率，根据直线平行可得斜率相等即可求出.【详解】直线经过点，，，，，解得.故选：C.2．直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】将直线方程化为截距式方程即可得出.【详解】由可得，即，，.故选：B.3．命题“对，”的否定为（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用全称命题“，”的否定是特称命题“，”，直接得到结果即可.【详解】根据全称命题“，”的否定为“，”，可知命题“对，”的否定为 “，”.故选：C.4．抛物线的焦点坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把抛物线方程化为标准方程后得焦参数，可得焦点坐标．【详解】抛物线方程为，，，焦点为.故选：D.5．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圆的方程确定圆心和半径，求得圆心关于原点对称点的坐标后，半径不变，可得其关于原点对称的圆的方程.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，圆心关于原点对称的点的坐标为，则圆关于原点对6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A．若，，则B．若，，则C．若，则D．若，，则【答案】D【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案.【详解】对于A，若，，则或或与相交但不垂直或，故A不正确；对于B，若，，则或与异面，故B不正确；对于C，若，则或，故C不正确；对于D，若，，则，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是解题关键.称的圆的方程为.故选：B.7．“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解方程，再利用充分条件和必要条件的定义判断【详解】方程的解集为或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8．已知命题：是偶函数，命题：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的判断可得命题p是真命题，利用不等式的解法可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断可得选项.【详解】因为，所以函数是偶函数，所以是真命题，是假命题，又，解得，满足，所以是真命题，是假命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题，故选：A.9．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点为Q，可得即为所求异面直线所成的角，求出各边长，利用余弦定理即可求出.【详解】如图，不妨设.取的中点为Q，连接，则且，故四边形为平行四边形，∴，∴即为所求异面直线所成的角.在中，，，则.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.【详解】2a＝所以，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为故选：B11．曲线与曲线的（ ）.A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】根据椭圆与双曲线的方程，分别计算焦距，即可求解.【详解】因为，所以表示焦点在轴上的双曲线，其半焦距，椭圆的半焦距，即两条曲线的焦距相等.故选：C12．已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上一点，若，则的面积是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：在中利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式求得结果；方法二：利用焦点三角形面积公式可直接求得结果.【详解】方法一：由椭圆方程知：，，设，，由椭圆定义知：，在中，由余弦定理得：，，.故选：D.方法二：由椭圆焦点三角形面积公式可知：.故选：D.【点睛】结论点睛：椭圆焦点三角形面积.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明13．若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．【答案】【分析】由条件可得所求直线的斜率为，然后利用点斜式写出答案即可.【详解】设所求直线的斜率为k，依题意又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为，即故答案为：14．已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是________；【答案】 【详解】抛物线C：的焦点为，可得，则抛物线C的方程是.由M为FN的中点，在轴上，的横坐标为0，的横坐标为2，得M的横坐标为1，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，是抛物线上的点，是抛物线的焦点，抛物线C：的准线方程为,，.故答案为：；6.【点睛】本题考查根据焦点坐标求抛物线的标准方程中的参数，利用抛物线的定义(焦半径公式)15．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为（ ）【答案】【分析】根据双曲线的一条渐近线的方程为，得到，然后由求解,【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，所以双曲线的离心率，16．若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是________________.【答案】【分析】根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为2，结合弦长公式，可求得，代入方程，即可得答案.【详解】因为的焦点为（0,1），所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r，则圆心（0,1）到直线的距离，所以弦长，解得，故该圆的标准方程为：，故答案为：三、解答题17．回答下列各题.（1）求经过点的抛物线的标准方程.（2）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，，代入点坐标，即可求得答案；（2）设方程为，根据题意可得，即可求得a，b，c的值，代入方程，即可得答案.【详解】（1）由于点在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：；若，代入点坐标，解得，故求得抛物线方程为：，故所求抛物线方程为或.（2）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为.由题意，得，解得，，，所以焦点在轴上的双曲线的方程为.18．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）说明与垂直后，由线面垂直的判定定理得证线面垂直．（2）先证明AE⊥平面PAB．从而得证面面垂直．【详解】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．（2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB．因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE．【点睛】易错点睛：本题考查证明线面垂直与面面垂直，解题关键是掌握线面垂直与面面垂直的判定定理．解题时要注意定理的条件要一一列举出来，不能简略，否则解题过程不完整，出现错误．19．已知圆：，直线过点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程.（2）若直线与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）设直线的方程为，根据直线与圆相切，由求解.（2）设直线的方程为：，由，利用圆心到的距离求解.【详解】（1）设直线的方程为：，则， 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离等于半径，即，所以：，又∵也满足题意，故切线的方程为或.（2）设直线的方程为：，则，因为，所以圆心到的距离，即：，即 ，解得 或，∴或，故直线的方程为或.20．已知焦点在轴的抛物线经过点.（1）求抛物线的标准方程.（2）过焦点作直线，交抛物线于，两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可设抛物线方程为：（），再将点代入抛物线的方程中得到p的值，最后写出抛物线的方程即可；（2）设的方程为，，，联立直线与抛物线的方程可得，由韦达定理可得，再由直线中点的纵坐标为可得，进而求出m的值，最后写出直线的方程即可.【详解】（1）由题意可设抛物线方程为：（），∵抛物线过点，∴，∴；（2）设的方程为，，，则由，，所以，由题意，，故，即直线的方程为.【点睛】方法点睛：对于第二问，有两种方法：方法一：设点，，根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程；方法二：设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理和中点的纵坐标，即可求得直线的方程.21如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先连接，，根据题中条件，得到，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）先由题中条件，得到平面，再根据，即可根据题中数据求出结果.【详解】（1）如图，连接，.因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点；又因为为的中点，所以；又平面，平面，所以平面.（2）因为在直三棱柱中，，，，平面，平面，所以平面，又，为的中点，所以到平面的距离为.又的面积为，所以.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系的常用方法：（1）利用定理和性质进行证明：在证明线面、面面位置平行或垂直关系时，一般根据线面、面面平行或垂直的判定定理及性质，即可证明；（2）利用空间向量的方法进行证明：利用空间向量的方法，分别求解直线的方向向量、平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示，即可证明.22．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）．【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出，进而可求出椭圆的方程；（2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系和弦长公式可求得结果【详解】解：（1）设椭圆的方程为．由题意得解得，所以，所以椭圆的方程为；（2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为，由消去，得，则，，，得，所以 因为，所以当时，.