2021秦皇岛一中高二下学期第一次月考数学试卷含答案

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秦皇岛市第一中学2020-2021学年第二学期第一次月考高二数学试卷 注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 。将答案涂写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试时间120分钟，满分150分。一、选择题（本题有12小题，每题5分。每小题只有一个正确答案）1．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为　　A．1 B． C． D．2．命题：“，”的否定为　　A．， B．， C．， D．，3．已知等差数列的前项和为，公差为3，若，，成等比数列，则　　A．25 B．30 C．35 D．404．在中，若，且三角形面积为，则最小边长为　A．3 B．6 C．9 D．125．、两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局队获胜的概率是外，其余每局比赛队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．则队以获得比赛胜利的概率为　　A． B． C． D．6．已知，且，则曲线在点处的切线方程为　A． B． C． D．7．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是　　A． B． C． D．288．设，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是　A．， B．， C． D．，9．一个盒子内装有3个红球，4个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是　　A． B． C． D．10．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有　　A．72种 B．108种 C．36种 D．144种11．在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是　　A． B． C． D．12．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是　　A． B． C． D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则　　．14．从1，3，5中任取2个数字，从2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数有　 　个15．在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的半径为　　．16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，给出有关数列的四个命题：①数列是等比数列；②数列是递增数列；③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．其中真命题的序号是　 　（请写出所有真命题的序号）．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬” 于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图所示的频率分布直方图.（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在（1）的条件下，从全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，求的分布列与方差．附表及公式：，18.（12分）在①，②，③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角，，所对的边分别是，，，设的面积为，已知______．（1）求角的值；（2）若，点在边上，为的平分线，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知数列满足，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和为20．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：，若，则；，．21.（12分）如图1，平面四边形，点在边上，，且是边长为2的正方形．沿着直线将折起，使平面平面（如图，已知，分别是棱，的中点，是棱上一点．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为时，求锐二面角的余弦值．22.（12分）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，椭圆上异于顶点的动点满足直线与的斜率之积为．（1）求椭圆的方程．（2）过点的直线与椭圆交于，，，两点，其中，点与不重合）在轴上，直线，分别与轴交于，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．数学答案一、选择题1——5 ACCDA 6——10 BBBBD 11——12 CA二、填空题13. 1 14. 36 15. 16. 　②④　11．【解答】以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可设，0，，由，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，0，，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，可得，，，，，由，可得，则，当时，线段长度的最小值为．故选：．12．【解答】双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，，由，得，可得，即为，化为，由题意可得△，即有，即，则．由，可得．故选：．16.【解答】解：由题意，得图1中的线段为，，图2中的正六边形边长为，；图3中的最小正六边形的边长为，图4中的最小正六边形的边长为，由此类推，，为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，因为，即存在最大的正数使得对任意的正整数，都有即④正确，③错误，故填②④17.【解答】（1）将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，根据频率分布直方图补全列联表：，有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：数学期望．方差18.【解答】（1）选①，则由余弦定理可得：，整理可得，可得，因为，所以．选②，可得，即，所以，因为，可得．选③，可得：，可得，可得：，因为，，，所以，可得．（2）因为，所以即所以19.【解答】（1）证明：因为数列满足，所以，整理得，即（常数）．所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，即．所以20.【解答】（1）．故，易知．．又．故．（2）由题意一位市民得分高于或低于的概率各为．该市民参与活动获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100．；；；；．故的分布列为：所以．故该市民参与活动获赠话费的数学期望为41.25元．21.【解答】（1）证明：因为平面平面，，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，2，，，，，0，，，0，，，1，，，2，，，1，，，0，，，1，平面的法向量为，0，，设直线与平面所成的角，，所以，，解得，设平面和平面的法向量分别为，，，，，，，令，，，，，，，令，，，，1，，所以锐二面角的余弦值为．22.【解答】（1）设，，则①由，得，即②结合①②得．又由右焦点，得，所以，，所以椭圆的方程为．（2）设存在定点，使得恒成立．显然直线的斜率不为0，故设直线，消去得，△，即由题意可知，存在且不为0，则．要使恒成立，只需，即，故．所以在轴上存在定点，使得恒成立．男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828组别，，，，，，，频数212202524134赠送话费的金额（单位：元）2050概率男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100  0 1 2    20405070100