2021滑县实验学校高二下学期4月月考理科数学试题（理普）含答案

2020-2021学年度滑县实验学校高二4月月考数学理科试卷（理普）

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知复数为纯虚数，则（    ）

A．2 B．4 C．-16 D．-4

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（    ）

A． B．1 C． D．

4．若函数在处的导数值等于其在处的函数值的2倍，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

5．若复数(是虚数单位)，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限        B．第二象限       C．第三象限        D．第四象限

6．等于（    ）

A． B． C． D．

7．按数列的排列规律猜想数列…的第10项是（　　）

A． B． C． D．

8．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数f（x）＝|lnx|，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a+5b的取值范围是（    ）

A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（6，+∞） D．[6，+∞）

10．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且两人安排在同一个地区，两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（    ）

A．86种 B．64种 C．42种 D．30种

11．设随机变量的分布列为，、、、、，且，则的值为（    ）

A．               B．             C．              D．

12．若存在实数x，y满足，则（    ）

A．  B．0 C．1 D．

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．的展开式中的系数为，则______

14．__________．

15．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数为5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则已知事件发生的条件下事件发生的概率______.

16．已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．

三、解答题

17．已知复数，且为纯虚数.

（1）求复数；

（2）若，求复数以及模.

18．已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项.

（1）求展开式的第2项；

（2）若的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值.

19．已知函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是

（1）求a 、b的值；

（2）求函数的极值.

20．4个男同学，3个女同学站成一排.

（1）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

21．已知为实数，函数

（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；

（2）若，对任意，，不等式恒成立，求的最小值．

22．某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是、、.且各轮问题能否正确回答互不影响.

（1）求该选手被淘汰的概率；

（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为，求的分布列和数学期望.

参考答案

1．B

【分析】

分子分母同乘，化简整理，可得，根据z为纯虚数，实部为零，即可得答案.

【详解】

因为为纯虚数，

所以，，解得.

故选：B.

2．D

【分析】

通过解不等式分别求出集合A，B，再求出.

【详解】

解不等式得，则；

解不等式得，则.

所以，.

故选：D.

3．D

【分析】

直接利用导数求切线斜率即可.

【详解】

设切线的斜率为，由，则，则有.

故选：D.

4．B

【分析】

求得导函数，由已知列出方程,求解即可得解.

【详解】

解：因为，所以，

解得，

故选:B．

5．D

【分析】

化简复数，得到共轭复数，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】

由复数，可得其共轭复数，

则在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

6．B

【分析】

根据定积分的几何意义可知，的几何意义是以为圆心，1为半径的单位圆在轴上方部分（半圆）的面积，即可求出．

【详解】

的几何意义是以为圆心，1为半径的单位圆在轴上方部分（半圆）的面积．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查定积分的几何意义的理解和应用，属于容易题．

7．D

【分析】

根据数列，归纳一般规律求解.

【详解】

根据题意，数列的第1个数为，有，

数列的第2个数为，有，

数列的第3个数为，有，

……

依此类推，数列的第10项为，

故选：D．

8．B

【分析】

根据题意可得对于恒成立，结合二次函数的图象即可求解.

【详解】

由题意可得: 对于恒成立，

由二次函数的性质可得：，

即，解得：，

所以的取值范围是：，

故选：B.

9．C

【分析】

由f（a）＝f（b）得出，利用对勾函数的单调性求出a+5b的取值范围即可．

【详解】

函数，又因为0＜a＜b，故0＜a＜1，b＞1，

又知道f（a）＝f（b），∴﹣lna＝lnb，即，∴设t＝a+5b＝a+，

∴t′＝1﹣＝，∵0＜a＜1，∴t′＜0，∴t在（0，1）上单调递减，t＞1+5＝6，即a+5b＞6，

故选：C．

10．D

【分析】

分两类①当两个地区各分2人另一个地区分1人，②当两个地区各分1人另一个地区分3人结合排列组合知识得出答案.

【详解】

①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有种；

②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有种.

故满足条件的分法共有种.

故选：D

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于在分类的基础上，先选后排，最后由分类加法计数原理得出不同的分配方法总数.

11．A

【分析】

由题意可知，利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.

【详解】

由题意可知，则.

故选：A.

12．C

【分析】

令，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令，结合基本不等式，求得，进而得到，求得的值，即可求解.

【详解】

令函数，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当，可得，

令函数，则，当且仅当时取等号，

又由，所以，

所以，所以．

故选：C.

【点睛】

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

13．

【分析】

利用二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】

其通项公式为，

令，则，则，解得.

故答案为：

14．

【分析】

直接利用定积分运算法则求解即可．

【详解】

．

故答案为

【点睛】

本题考查了定积分，关键是求解被积函数的原函数，属于基础题．

15．

【分析】

先求出所有可能的事件的总数，及事件，事件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案．

【详解】

解：设为掷红骰子得的点数，为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立一一对应的关系，则共有36种基本事件，事件：蓝色骰子的点数为5或6，有以下基本事件：，，，，，，，，，，，共12个；

事件：两骰子的点数之和大于8，有以下基本事件：，，，，，，，，，共10个；

故，，

所以

故答案为：

16．

【分析】

根据极值点的定义，将极值问题转化为导函数的零点问题，然后利用分离参数法即可求解．

【详解】

由题意得，因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点．由得，即，令，则，易知函数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，又当时，，当时，，所以要使有两个零点，需，即．

故答案为：

17．（1）;（2），

【分析】

(1)将表示为的形式，结合纯虚数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入化简为的形式，结合复数的模长公式即可求解.

【详解】

(1)将代入得，因为为纯虚数,所以 解得，所以复数.

(2)由(1)知，所以，.

【点睛】

本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.

18．（1）；（2）

【分析】

（1）由可推出，从而可推出常数项为，从而可求得，进而求出答案；

（2）展开式中二项式系数最大的项是中间项，从而有，从而得出结论．

【详解】

解：（1）由得，，

令为常数项，则，

，常数项．

又展开式的各项系数之和等于，

由题意得，，

展开式的第二项为；

（2）由二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项是中间项，

，．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．

19．（1）；（2）答案见解析．

【分析】

（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出，．

（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值．

【详解】

（1）因为函数的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是，

所以切线斜率是，且，

求得，即点

又函数，则

所以依题意得

解得

（2）由（1）知

所以

令，解得或

当，或；当，

所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是

所以当变化时，和变化情况如下表：

所以，

20．（1）720种；（2）1440种；（3）960种.

【分析】

（1）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序；

（2）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔；

（3）先把甲、乙捆绑成一个整体，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，按分步计数原理求的结果．

【详解】

（1）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有；

（2）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有；

（3）先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中， 按分步计数原理不同的排法有，（种）．

【点睛】

本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）函数的图象上有与轴平行的切线，即有实数解，利用判别式大于等于零解出的取值范围；

（2）由可得值，令解出方程根，得出函数的单调性和最值，代入不等式可得的取值范围，进而得出的最小值．

【详解】

（1）．

由题意知有实数解．

，即或．故

（2），，即．

，令得，．

则在单调递减，在单调递增，

当时，，，，

，．

故，时，

所以，即的最小值为．

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是将恒成立，转化为求的最大值，即求，代入不等式可得参数的最小值，考查了学生转化思想和计算能力，属于中档题．

22．（1）；（2）分布列见解析；期望为.

【分析】

（1）设“该选手能正确回答第轮问题”为事件，则“该选手被淘汰”为事件，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；

（2）由题意的可能值为1，2，3，表示前轮均答对问题，而第次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望．

【详解】

（1）设“该选手能正确回答第轮问题”为事件，

“该选手被淘汰”为事件.

则，，.

∴该选手被淘汰的概率是

（2）的可能取值为1，2，3.

，

，

.

∴的分布列为

∴.

【点睛】

本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．