2021沁阳一中高二下学期期末密集练（二）数学（理）试题含答案

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沁阳市第一中学高二年级下学期期末密集练理科数学试题（二）时间：120分钟 分数：150分 一、单选题(共12题，每题5分，共60分)1．已知复数，是z的共轭复数，若·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（ ）A．-2 B．-1 C．1 D．22．利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 （ ）A． B． C． D．3．“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．4．在中，已知的平分线,则的面积为（ ）A． B． C． D．5．在平行四边形中，，，，E为的中点，则（ ）A． B． C． D．6．在四面体ABCD中，，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）　　A．2π B．3π C．6π D．8π7．设函数，则不等式的解集为A． B． C． D．8．设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且，为坐标原点，若的面积分别为，则（ ）A．36 B．48 C．54 D．649．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）A． B． C． D．10．等差数列前项和为，已知则（ ）A． B．C． D．11．已知椭圆，其长轴长为4，且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为（ ）A． B． C． D．12．，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若向量，则的单位向量的坐标是______．14．在的展开式中，项的系数是____________.15．如图是一个三角形数阵，满足第行首尾两数均为，表示第行第个数，则的值为__________．16．已知函数，，若，则的取值范围为______.三、解答题(共70分)17．(本题10分)三内角成等差数列，对边分别为.证明：.18．(本题12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA＝tanB＝tanC．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为15，求a的值．19．(本题12分)如图,已知四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,点是棱的中点,点在棱上,且,//平面.（1）求实数的值;（2）求二面角的余弦值.20．(本题12分) 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率.21．(本题12分)如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．22．(本题12分)已知函数f(x)=ln x+ax2-2x,（a∈R,a≠0）(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与x轴平行,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤ax在x∈[,+∞)上恒成立,求a的取值范围.高二理科数学密集训练（二）答案1．A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此，所以且则.故选：A2．D【分析】根据“”变到“”变化规律确定选项.【详解】因为时，左边为,时左边为,因此应增乘的因式是，选D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析求解能力，属基本题.3．D【分析】先确定“，”为真命题时的范围，进而找到对应选项.【详解】若命题“，”为真命题，则，则是的充分不必要条件，故选：D．4．D【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线 ，即 则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.5．C【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算可得；【详解】解：由，，，所以，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属于中档题．6．C【分析】先利用勾股定理得出是直角三角形，且BC为斜边，并可计算出的外接圆直径为BC，然后由平面ABC可得出此时四面体ABCD的体积取最大值，再利用公式可得出外接球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】，由勾股定理可得，所以是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为，当，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为．故选C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于选择合适的模型计算球体的半径，属于中等题．7．B【分析】∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题．【详解】∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，令t=log2x，所以，=﹣t，则不等式f（log2x）+f（）≥2可化为：f（t）+f（﹣t）≥2，即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，又∵f（1）=2+=1，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，在R上为偶函数，∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，解得，x∈[，2]，故选B．【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．8．B【详解】试题分析：由题意可知，设，则，由得，即，又在抛物线上，所以，，所以，故选B.考点：1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、抛物线的标准方程与性质、三角形面积公式，中档题.向量与圆锥曲线的相关知识融合，是最近高考命题的热点，解题思路上由向量运算得到坐标之间的关系或几何元素之间的关系，然后再根据圆锥曲线相关的知识经过运算求解.9．D【分析】分两种情况讨论：第球投进和第球投不进，利用独立事件的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】分以下两种情况讨论：（1）第球投进，其概率为，第球投进的概率为；（2）第球投不进，其概率为，第球投进的概率为.综上所述：第球投进的概率为，故选D.【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查对立事件概率公式的应用，解题时要注意对事件进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.10．B【详解】试题分析：因为两式相加得 ，故所以，又两式相减，易得，，故，选B.考点：等差数列点评：本题多项式为载体考查等差数列，关键是能结合等式合理变形得出，从而求解，属中档题.11．B【分析】根据题意求得椭圆方程，再将目标式转化为关于的函数，求得的最大值，即可求得目标式的最小值.【详解】由椭圆，其长轴长为4且离心率为，∴，，，解得，，∴椭圆的标准方程为．不妨设，由对称性可得，则，再设点，则，可得，点，，∵，∴当时，的最大值为16．因此的最小值为．故选：B.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中向量问题的最值，本题的难点在于设出角度，将问题表述为函数关系，属综合中档题.12．D【分析】作出函数的图像，然后令，则可得为函数图像与的交点的横坐标，根据图像可得的范围，同时,可得,即可得答案.【详解】由作出函数的图像如下:不妨设,则，即，则，所以,又由图可知，则，故选：D.【点睛】本题考查分段函数，对数运算性质及数形结合思想，正确画出函数图像和熟练掌握对数函数的图像是解决本题的关键，属于中档题.13．【解析】试题分析：因,而,故的单位向量是,应填．考点：向量的坐标形式等有关知识的综合运用．14．【分析】由题意结合二项式定理可得的通项公式为，分别令、，求和即可得解.【详解】由题意，因为的通项公式为，令，则；令，则；所以的展开式中，项的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，掌握公式是解题关键，属于基础题.15．4951【解析】分析：计算前5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．详解：设第n行的第2个数为an，由图可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1，a5=11=1+2+3+4+1…归纳可得an=1+2+3+4+…+（n-1）+1=+1，故第100行第2个数为：，故答案为4951点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．16．【分析】根据函数的定义域结合函数的图象，分 ，，， ，五种情况讨论求解.【详解】函数的图象如图所示：当时，，所以，因为，所以，成立，此时，，当时，，所以，因为，所以，成立，此时，，当时，，所以因为，所以，解得，此时，，当时，，所以，因为，所以，即，解得或，此时，，当时，，所以，因为，所以，即，解得，此时，，综上：的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数与不等式问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.17．【分析】利用分析法，要证只需证，再根据三角形内角和定理，等差中项，余弦定理即可求证；【详解】（1）要证，只需证，即证：，即证，即：又因的三个内角，，成等差数列，故.由余弦定理可，即：，故，所以成立.18．（1）；（2）.【分析】（1）根据题意可得到，，利用三角恒等变换，可知求解，即可求解角的大小.（2）利用正弦定理得出，代入三角形的面积公式，即可求解的值．【详解】（1）由题可知：，则，．在中，．则，解得，或，当时，，则，均为钝角，与矛盾，故舍去，故，则．（2）由可得，，则，所以，．在中有，则，则．得，所以．【点睛】本题考查了正弦定理以及面积公式的应用，熟练掌握公式，审清题意，属中档题.19．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）若线面平行，则线线平行，所以连结，连结，可得，根据，可得比例关系，和平行线比例关系可得；（Ⅱ）根据长度以及垂直关系可证明平面，所以以点为原点建立如图坐标系，分别求两个平面的法向量，根据求值.试题解析：（Ⅰ）连接，设，则平面平面，//平面，//， ∽，，，；（Ⅱ），又，，，平面， 以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，设平面的法向量，则，，令，得，即所求二面角的余弦值是．20．（1）；（2）.【分析】先计算出两人租车超过三小时，不超过四小时的概率.（1）甲、乙两人所付租车费用相同有三种情况，即三种情况，分别用相互独立事件概率计算公式求概率，然后相加，求得“甲、乙两人所付租车费用相同的概率”.（2）甲、乙两人所付的租车费用之和为4元分成三种情况：甲元乙元，甲元乙元，甲元乙元.分别利用相互独立事件概率计算公式求概率，然后相加，求得“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率”.【详解】甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1-,1-租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况.付0元的概率为p1=,付2元的概率为p2=,付4元的概率为p3=则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为p=p1+p2+p3=(2)设甲、乙两人所付的费用之和为ξ元,则ξ=4表示两人的租车费用之和为4元,其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元;②2元、2元;③4元、0元.所以可得P(ξ=4)=,即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率为【点睛】本小题主要考查相互独立事件的识别以及相互独立事件概率的计算，考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.21．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴，故．（2）由（1）知椭圆方程可化简为．①易求直线的斜率为，故可设直线的方程为：．②由①②消去得．∴，．于是的面积，∴．因此椭圆的方程为，即22．（1）单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.（2）-4-4ln 2≤a