2021昆山柏庐高级中学、周高级中学高二下学期第二次阶段检测数学试题含答案

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昆山市柏庐高级中学2020-2021学年度第二学期高二年级第二次阶段检测单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）A． B．C． D．答案：A2. 展开式的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】D写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项求解结果．【详解】展开式的通项公式为，当，即时，常数项为：，故答案选D．3. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为(　　)A.0.7 B.0.4 C.0.6 D.0.3答案　C4. 已知函数f（x）＝4x﹣3ln|x|，则f（x）的图象大致为（　　）A． B． C． D．答案：A5. 某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1【答案】D6．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　A．， B．， C． D．答案：D7. 定义在R上的函数满足及,且在上有,则 (　　)A.eq \f(9,4) B.eq \f(1,4) C. D.答案：D解析: (1)因为函数f(x)的定义域是R,,所以函数f(x)是奇函数.又,所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x),所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x),故函数f(x)是以4为周期的奇函数,所以.因为在上有,所以,故, 故选D.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，．已知，则函数的值域为　　A． B．， C．，， D．，0，答案：C多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分）9. 已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有(    )A. a2+b2≥(a+b)22 B. a+1a≥2C. 若1a>1b，则abd【答案】AD10. 下列说法正确的是（ ）A. 对于独立性检验，的观测值越大，判定“两变量有关系”的把握越大B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1C. 随机变量，若，，则D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，【答案】AD11．下列函数中，是奇函数或者增函数的是　　A． B． C． D．答案：解：根据题意，依次分析选项：对于，，，其定义域为，不是奇函数，设，则，在区间上，为增函数，且，在区间，为减函数，则在区间上是减函数，不符合题意；对于，，在区间上是增函数，符合题意，对于，，其定义域为，，是偶函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意，对于，，有，解可得或，函数的定义域为或，有，函数为奇函数，符合题意，故选：．12．已知定义在R上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）A． B． C． D．答案 CD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知，则________.答案： 14. 用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有_______种涂法【答案】72先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为、、、，然后给、面；给面，分与相同色、与不同色，利用乘法原理可得结论．【详解】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为、、、，然后给面涂色，有3种；给面涂色，有2种；给面，若与相同色，则面可以涂2种；若与不同色，则面可以涂1种，所以共有．故答案为：72．已知，得______.若，则______.【答案】 (1). 1 (2). 利用赋值法解决即可.【详解】令可得令可得令可得因为所以，，结合可解得故答案为：1；.函数的递增区间为 ；若，则函数零点的取值范围是 .答案 四、解答题本题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知f(x)=x2+6x+9x+1(x>-1)．(1)解不等式f(x)≥9； (2)求f(x)的最小值．【答案】 解：(1)由x>-1可得x+1>0，故x2+6x+9x+1≥9可得，x2+6x+9≥9x+9，即x2-3x≥0，解得x≤0或x≥3， ___________2分又∵x>-1，∴-1-1可得x+1>0， 由基本不等式可得，f(x)=x2+6x+9x+1=(x+3)2x+1=[(x+1)+2]2x+1=x+1+4x+1+4，_____7分≥2(x+1)⋅4x+1+4=8，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时取等号， __________9分因此函数f(x)取得最小值8． __________10分18. 已知的图象在x＝2处的切线与直线2x＋3y＋1＝0平行(1)求a的值； （2）若关于x的方程在[1，3]上有两个不相等的实数根，求m的范围．解：（1）由f（x）＝ln（x+1）﹣ax，得， __________1分∵函数f（x）的图象在x＝2处的切线与直线2x+3y+1＝0平行，∴， ∴． __________4分（2）由（1）知，f（x）＝ln（x+1）﹣x，∴由，得m＝3ln（x+1）﹣x， __________5分令 g（x）＝3ln（x+1）﹣x，则 ，∴当1≤x＜2时，g'（x）＞0；当2＜x≤3时，g'（x）＜0，又g'（2）＝0， ∴g（x）在（1，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减，∴g（x）max＝g（2）＝3ln3﹣2， __________8分∵g（1）＝3ln2﹣1，g（3）＝3ln4﹣3， __________9分∴g（1）﹣g（3）＝（3ln2﹣1）﹣（3ln4﹣3）＝2﹣3ln2，由，得g（1）﹣g（3）＜0，g（1）＜g（3），_______11分∴m的取值范围为[3ln4﹣3，3ln3﹣2）． __________12分19. 已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.解析： （1）因为的解集为，所以的根为，2，所以，，即，；所以； __________2分（2），化简有，整理，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，__________6分综上总结： __________7分（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，则有，所以，， __________9分因为对于任意的都有，即求，转化为，_______10分而，， 所以此时可得， __________11分所以M的最小值为. __________12分20．（2020·江苏常州市·高二期中）党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）请写出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝销售－成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【详解】当时，； _____2分当时，；_____4分所以. __________5分（2）当时，，当时，； __________7分当时，.（当且仅当即时，“＝”成立） __________10分因为所以，当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元. __________11分答：（1）2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为.当时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元. ______12分21. 某大学为了解数学专业研究生招生情况，对近五年的报考人数进行统计，得到如下数据：（1）求y关于x的线性回归方程，并预测2020年（按x＝6计算）的报考人数；（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N（μ，σ2）.根据往年统计数据，μ＝385，σ2＝225. 录取总分在400分以上的人，请预测2020年该专业录取的-人数（最后结果四舍五入，保留整数）．参考公式：，其中．参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544， P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．解：（1） ————1分 ————2分， ________3分 ________4分 ________5分∴y关于x 的线性回归方程为． ________7分当2020年即时，人即预测2020年的报考人数为208人； ________8分（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布N（385，152），则 ________9分P（X＞400）＝． ________11分直接录取人数为208×0.1587＝33.01≈33人． ________12分22. 已知函数．（1）证明: 递增； （2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的范围．解：（1）∵∴ ————1分 令则 ————3分当时，，在上单调递增，且． ∴当时，，即． ————5分∴在上单调递增； （2）∵λ＞0，x＞1时，lnx＞0，∴不等式f（）lnx≥x2﹣1可化为f（）≥x2-1ln x，即f（）≥f（x）.∵∈（1，+∞），由（1）知，f（x）在（1，+∞）上单调递增，故只需≥x在（1，+∞）上恒成立． ————6分两边同时取自然对数，得λx≥lnx，即λ≥ln x x恒成立．令φ(x)=ln x x（x＞1）， 则φ'(x)=1-ln x x2， ————9分当x∈（1，e）时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，当x∈（e，+∞）时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减．∴φ(x)最大值为1e， ————11分故λ的取值范围是[，+∞）． ————12分年份20152016201720182019x12345报考人数y3060100140170