2020泸县二中高三下学期第四次学月考试数学（文）试题含答案

2020年春四川省泸县第二中学高三第四学月考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则

A． B． C． D．

2．设是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数的值为  

A． B． C． D．

3．已知向量，，则

A．-14 B．-4 C．4 D．14

4．在正项等比数列中，若，，则其前3项的和

A．3 B．6 C．13 D．24

5．一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是

A．甲同学三个科目都达到优秀 B．乙同学只有一个科目达到优秀

C．丙同学只有一个科目达到优秀 D．三位同学都达到优秀的科目是数学

6．函数的图象大致为

A．B．C．D．

7．执行如图所示的程序框图，令，若，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

8.已知圆的半径为2，在圆内随机取一点，则过点的所有

弦的长度都大于的概率为

A．        B．     C．      D．

9．已知是双曲线的左、右焦点，设双

曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于

A．       B．       C．       D．

10．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为

A． B． C． D．

11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为

A． B． C． D．

12．已知函数，则

A． B．

C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，，若，则的值为_____．

14．已知实数x、y满足，则目标函数的最小值为_____________．

15．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点F，且与C相交于不同的两点A，B（A在第一象限），则________.

16．已知平面内一正六边形的边长为，中心为点将该正六边形沿对角线折成二面角，则当二面角的平面角余弦值为时，三棱锥的外接球表面积为______．

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（I）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；

（II）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在内的概率.

18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（I）求角的大小；

（II）若为的中点，且，求的最大值.

19．（12分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.

（I）求证：；

（II）若，则当三棱锥的体积取最大值

时，求多面体的体积.

20．（12分）已知函数

（I）当时，求的单调区间;

（II）当时,求的最小值

21．（12分）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（I）证明：直线AB过定点：

（II）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点.轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（I）求和的直角坐标方程；

（II）若与恰有4个公共点，求的取值范围.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等.

（I）求实数值；

（II）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.

2020年春四川省泸县第二中学高三第四学月考试

文科数学参考答案

1-5：CDBCC   6-10:ADCBB    11-12:AB

13．1   14．   15．2  16．

17．解：（1）由频率分布直方图得频率为：

，

的频率为：，

∴中位数为：.

（2）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，

中的学生人数为人，编号为，

中的学生人数为人，编号为，

任意抽取2人的所有基本事件为，，，共15个，恰有一人身高在内包含的基本事件有，，，共8个，

∴恰有一人身高在内的概率.

18．（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

19．解：（1）设，的半径分别为，，

因为圆台的侧面积为，所以，可得.

因此，在等腰梯形中，，，.

如图，连接线段，，，

在圆台中，平面，平面，所以.

又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）由题意可知，三棱锥的体积为，

又在直角三角形中，，

所以当且仅当，

即点D为弧的中点时，有最大值.

过点C作交于点M，

因为平面，平面，

所以，平面，平面，，

所以平面.

又，则点C到平面的距离，

所以四棱锥的体积.

综上，当三棱锥体积最大值时，多面体

20．解：当时，

由，解得，由，解得

故在上为减函数在上为增函数.

当时，在上为增函数

当时，在上为减函数，在上为增函数，

当时，在上为减函数，

综上所述，当时，

当时，

当时，

21．(1)证明：设,,则．又因为，所以.则切线DA的斜率为，

故，整理得.设，同理得.

,都满足直线方程.

于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立．所以直线恒过定点.

（2）由（1）得直线的方程为.由，可得，

于是

.

设分别为点到直线的距离，则.

因此，四边形ADBE的面积.

设M为线段AB的中点，则，

由于，而，与向量平行，所以，解得或.

当时，；当时因此，四边形的面积为3或.

22．(1)曲线的参数方程为(为参数),则,得,

故的直角坐标方程为;

由,得,

故的直角坐标方程为.

(2)因为与恰有4个公共点,则,

当和相切时,此时与恰有2个公共点,

圆的圆心到直线的距离,解得;

当与恰有3个公共点时,此时圆过点,解得;

故当与恰有4个公共点时,的取值范围为.

23．（1）由，得或，即或    

∴不等式的解集为

∴不等式的解集为

从而1、3为方程的两根，解得，

（2） 的定义域为，

由柯西不等式可得：

当且仅当，时等号成立，，此时