2021福州福清西山学校高中部高三12月月考数学试题含答案

这是一份2021福州福清西山学校高中部高三12月月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月月考高三数学试卷(满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}，，则(　　)A.    B.     C.     D. 2. “”是“”的(　　)A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件3. 若复数满足，则在复平面上对应的点位于(　　)A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限  D. 第四象限4. 已知为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是(　　)A.             B. C.      D.5．三个数的大小关系是(　　)A．  B．     C．   D．6. 如图，是单位圆O的直径，点是半圆弧上的两个三等分点，则＝(　　)A. 1        B.         C.         D. 7. 已知等于(　　)A.         B.       C.      D. 8． 若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为(　　)    A．            B．              C．              D．  二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是(　　)A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31，32]内B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少10.已知函数，则下列结论正确的是(　　)A．函数是周期函数                 B．函数在上有4个零点C．函数的图象关于对称       D．函数的最大值为11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是(　　)A. 是等比数列              B. 当C. 当       D. 12. 记函数与的定义域的交集为I，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有(　　)A.      B. C.       D.第Ⅱ卷(非选择题　共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知若，则＝______．14. _______．                         .15.设椭圆的焦点为，点在椭圆上，若为直角三角形，则的面积为_______．16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：当时，试确定使得需要________步雹程；若，则所有可能的取值所构成的集合_______．(本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知正三棱柱的底面边长为2，点分别为棱与的中点．(1) 求证：直线∥平面；(2) 若该正三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的余弦值． 18. (本小题满分12分)在①② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知的三边所对的角分别为.若，________，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．(本小题满分12分)记数列的前项和为，若，且．（1）求证：数列为等比数列；（2）求的表达式． 20．(本小题满分12分)已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和. 21．（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆，点为上的动点，三点共线，直线的斜率分别为．（1）证明：；（2）当直线过点时，求的最小值；（3）若，证明：为定值．  22. (本小题满分12分)已知函数．(1) 当时，求的最小值；(2) 若对任意恒有不等式成立．①求实数的值；②求证：.
福清西山学校高中部2020-2021学年度第一学期月考高三数学试卷答案选择题：题号123456789101112答案ABBCDCBAABDACDABCBD  四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．    2           14.                            .    ．       16.   9   {1，8，10，64} (本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)(1) 证明：取BB1中点D，连接ED，FD，.....(1分)在平行四边形BCC1B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点，所以ED∥CB.在△B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点，所以FD∥A1B.........(3分)又ED，FD⊂平面EFD，ED∩FD＝D，所以平面EFD∥平面A1BC.又EF⊂平面EFD，所以EF∥平面A1BC.......(5分)(2) 解：设AA1＝h，VABCA1B1C1＝S△ABC·h＝×4h，所以h＝2，即h＝2......(6分)因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角．因为CC1⊥平面A1B1C1，所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角．.......(8分)因为EC1＝，FC1＝，所以EF＝，所以cos∠EFC1＝＝，即EF与平面ABC所成角的余弦值为.......(10分) 18. (本小题满分12分)解：选①：由sin B＋cos B＝2得sin(B＋)＝1，所以B＝.(2分)选②：由cos 2B＋cos B－2＝0得2cos2B＋cos B－3＝0，解得cos B＝，所以B＝......(2分)选③：由b2－a2＝c2－ac得c2＋a2－b2＝ac，得cos B＝＝＝，所以B＝......(2分)因为＝＝，所以sin C＝......(4分)所以C＝或C＝......(6分)当C＝时，A＝.又a＝4，所以b＝2，c＝2......(7分)所以面积S＝×2×2＝2......(9分)当C＝时，A＝，所以A＝B.又a＝4，所以b＝4......(9分)所以面积S＝×4×4×＝4..........(12分)19．(本小题满分12分)（1）因为，故，..........(2分)则，则，..........(4分)故，故是以4为首项，2为公比的等比数列；.......(6分)（2）由（1）可知，，故，故..........(8分)..........(10分)．.........(12分)20．(本小题满分12分)【解析】（1）当时，，解得；当时，，..........(2分)，..........(3分)两式相减可得，，..........(4分)解得，易知也符合上式，综上所述，，..........(6分)（2）依题意：，下面先求数列的前项和；，，两式相减可得，，..........(8分)即..........(10分)所以，..........(11分)化简可得，，故...........(12分) 21．（本小题满分12分）【解】（1）由题知关于原点对称，则可设．因为点在椭圆上，所以，所以，所以．    …… 2分（2）设直线，代入可得，，所以，因此，      …… 4分因为，所以．  设，则，等号当仅当时取，即时取等号．          所以的最小值为8．                         …… 7分（3）不妨设，由，，所以． 8分将直线的方程为代入可得，，即．因为，所以方程可化为．所以，即，所以，即.......10分所以．… 12分  22. (本小题满分12分)  (1) 解：(解法1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．...(1分)由题意f′(x)＝(x＋1)(ex－)＝(x＋1)，令xex－a＝0，得a＝xex，令g(x)＝xex，g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在x∈(0，＋∞)上为增函数，且g(0)＝0，所以a＝xex有唯一实根，即f′(x)＝0有唯一实根，设为x0，即a＝x0ex0，......(3分)所以f(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，所以f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－a(ln x0＋x0)＝a－aln a．.....(5分)(解法2)f(x)＝xex－a(ln x＋x)＝eln x＋x－a(ln x＋x)(x＞0)．设t＝ln x＋x，则t∈R.记φ(t)＝et－at(t∈R)，故f(x)最小值即为φ(t)最小值．..........(3分)φ′(t)＝et－a(a＞0)，当t∈(－∞，ln a)时，φ′(t)＜0，φ(t)单调递减，当t∈(ln a，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增，所以f(x)min＝φ(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a，所以f(x)的最小值为a－aln a．.........(5分)(2) ①解：当a≤0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；.........(6分)当a＞0时，由(1)可知f(x)min＝a－aln a.设φ(a)＝a－aln a(a＞0)，所以φ′(a)＝－ln a，当a∈(0，1)时，φ′(a)＞0，φ(a)单调递增，当a∈(1，＋∞)时，φ′(a)＜0，φ(a)单调递减，所以φ(a)max＝φ(1)＝1，即a－aln a≤1..........(7分)由已知f(x)≥1恒成立，所以a－aln a≥1，所以a－aln a＝1，所以a＝1..........(8分)②证明：由①可知xex－ln x－x≥1，因此只需证x2＋x＞2ln x＋2sin x.因为ln x≤x－1，只需证x2＋x＞2x－2＋2sin x，即x2－x＋2＞2sin x．......(10分)当x＞1时，x2－x＋2＞2≥2sin x，结论成立；当x∈(0，1]时，设g(x)＝x2－x＋2－2sin x，g′(x)＝2x－1－2cos x，当x∈(0，1]时，g′(x)显然单调递增．g′(x)≤g′(1)＝1－2cos 1＜0，故g(x)单调递减，g(x)≥g(1)＝2－2sin 1＞0，即x2－x＋2＞2sin x.综上，结论成立．.........(12分)