2021运城高三上学期期末考试数学（文）试题含答案
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数学（文）试题
2021.1
本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线桓）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数z在复平面内对应的点是，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中两台机床每天生产出的次品数分别是：
甲 | 0 | 4 | 2 | 1 | 3 | 0 | 2 | 2 | 0 | 1 |
乙 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 |
、分别表示甲乙两组数据的平均数，、分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在某歌唱比赛决赛前，要从实力相当的甲、乙、丙、丁4位选手中选取一位与评委进行同台热身演唱，当4位选手被询问是谁与评委同台热身演唱时，
甲说：“是丁与评委进行同台热身演唱．”
乙说：“是丁或甲与评委进行同台热身演唱．”
丙说：“是我与评委进行同台热身演唱．”
丁说：“不是甲或乙与评委进行同台热身演唱．”
若这4位选手中只有2位选手说的是真话，则与评委进行同台热身演唱的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．已知直线上存在点P，满足过P点作圆的两条切线，切点分别为A，B，且，则实数k的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知正方体的边长为3，M为边上靠近B的三等分点，过M且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
9．在平行四边形中，，若，则（ ）
A．4 B． C． D．
10．已知是函数的一个极大值点，若方程在上有且只有一个实根，则实数t的取值范围（ ）
A． B． C． D．
11．已知等比数列满足，若是数列的前n项和，且，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，若线段交双曲线于点P，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x，y满足约束条件则的最大值为__________．
14．曲线在点处的切线方程为___________．
15．若等差数列的前n项和为，，则________．
16．若正四棱锥的底面边长和高均为8，M为侧棱的中点，则四棱锥外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本题满分12分）
某市教育局为指导学生适应高中的学习和生活、选择适合自己的高考科目，定期举办高中生涯规划讲座．市教科院为了了解高中生喜欢高中生涯规划讲座是否与性别有关，在该市随机抽取100名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表：
| 喜欢高中生涯规划讲座 | 不喜欢高中生涯规划讲座 | 合计 |
男生 |
| 10 |
|
女生 | 20 |
|
|
合计 |
|
|
|
已知从这100名学生中随机抽取到喜欢高中生涯规划讲座的学生概率为0.7．
（1）根据已知条件完成列联表，并判断是否有99%的把握认为喜欢高中生涯规划讲座与性别有关？
（2）从上述男生中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生抽取2人，求恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的概率．
附：，其中．
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
18．（本题满分12分）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求C；
（2）若的面积为，D为的中点，求的最小值．
19．（本题满分12分）已知矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点，l为平面与平面的交线．
（1）证明：；
（2）若，求B到平面的距离．
20．（本题满分12分）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
21．（本题满分12分）已知A，B分别为椭圆的左右顶点，E为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的右焦点，E与F关于直线对称，的面积为，过的直线交椭圆C于两点M，N（异于A，B两点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线与的交点P在一条定直线上．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，曲线的参数方程为（为参数，），点P是上一点，其板坐标为．设射线与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点．
（1）求m的值，并写出曲线的极坐标方程；
（2）求的最小值．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对于恒成立，求实数a的取值范围．
运城市2021年高三期末调研测试
数学（文）参考答案
一、1-5 CACCB 6-10 CDABD 11-12 BC
二、13．21 14． 15．2021 16．
三、
17．解：（1）由及已知数据得，补全的列联表如下：
| 喜欢高中生涯规划讲座 | 不喜欢高中生涯规划讲座 | 合计 |
男生 | 50 | 10 | 60 |
女生 | 20 | 20 | 40 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
3分
5分
所以有99%的把握认为喜欢高中生涯规划讲座与性别有关． 6分
（2）由分层抽样知，抽取的6人中，喜欢高中生涯规划讲座的男生有5人，不喜欢高中生涯规划讲座的男生有1人，记5名喜欢高中生涯规划讲座的男生为a，b，c，d，e，1名不喜欢高中生涯规划讲座的男生为A， 7分
则从这6名学生抽取2人的所有基本事件为，共15种， 9分
其中，恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的事件有，共10种， 11分
所以恰好抽到2名喜欢高中生涯规划讲座的男生的概率． 12分
18．解：（1）由正弦定理得， 1分
即， 2分
故 3分
而，所以 4分
所以，即，所以 6分
（2）由题意知，得， 8分
在中，由余弦定理得
，
当且仅当且，即时取等号． 11分
所以的最小值为． 12分
19．（1）由题设知，，且平面平面，
所以平面， 3分
又平面，平面平面，所以． 5分
（2）过点M作于H，因为平面平面，交线为，平面，所以平面． 7分
又因为平面，所以平面，故．
因为M为上异于C，D的点，且为直径，所以． 9分
因为，所以，
，，．设B到平面的距离为h，
又，所以，所以． 12分
20．（1）当时， 1分
2分
当时，单调递增； 3分
当时，单调递减． 4分
（2） 5分
当时，单调递增，不合题意； 6分
当时，，单调递增；
，单调递减； 7分
8分
令得 9分
10分
11分
当时，有两个零点 12分
21．（1）由 2分
得， 4分
5分
（2）由题可知，直线与x轴不重合，设为 6分
由得∴ 7分
由椭圆的对称性可知，交点必在一条垂直于x轴的直线上 8分
直线，即 ① 9分
直线，即 ② 10分
联立①②得： 11分
直线与的交点P在定直线上． 12分
22．解：（1）P的直角坐标为， 1分
将曲线的参数方程化为普通方程： 2分
因为P在上，所以，解得 3分
所以曲线的普通方程为．
由得，
曲线的极坐标方程为 5分
（2）曲线化为极坐标方程为 6分
设A的极坐标为，B的极坐标为，
所以．
7分
8分
，当且仅当等号成立． 9分
所以的最小值为． 10分
23．解：（1）当时，函数 1分
当，解得，即； 2分
当，解得，即； 3分
当，解得，即不存在x； 4分
综上，不等式的解集为 5分
（2）由题，可得
因为，所以不等式可化为对恒成立． 7分
即对恒成立， 8分
所以且， 9分
解得．
故实数a的取值范围是． 10分
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