湖南省长沙市雅礼中学2018—2019学年八年级上学期期中数学试题

2018-2019-1雅礼集团期中考试

八年级 数学试卷

一、选择题：

1. 下列图形中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的概念求解.

【详解】根据轴对称图形的概念求解，A不是轴对称图形，故本选项错误；B不是轴对称图形，故本选项错误；C是轴对称图形，故本选项正确；D不是轴对称图形，故本选项错误,故本题C为正确答案.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,掌握一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴是解决本题的关键.

2. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，以及幂的乘方进行计算即可．

【详解】A． ，故此选项错误；

B．，故此选项错误；

C．，故此选项正确；

D．，故此选项错误；

故选：C．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法运算法则，以及乘方的运算，掌握同底数幂的乘法、除法的运算法则是解题的关键．

3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据点P关于x轴的对称点的特征可知，横坐标不变，纵坐标变为相反数，因此可得结果．

【详解】点关于x轴的对称点为（3，-1），

故选：A．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内，点P关于x轴对称的点坐标的特征，熟记关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为相反数的特征是解题的关键．

4. 已知等腰三角形的两边长分别为4,6，则它的周长为（      ）

A. 14 B. 16 C. 8或12 D. 14或16

【答案】D

【解析】

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为4和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：（1）当4是腰时，4+4>6,符合三角形的三边关系，
周长=4+4+6=14；
（2）当6是腰时4+6>6,，符合三角形的三边关系，
周长=4+6+6=16．
故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

5. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据因式分解的概念，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，对照选项判定即可．

【详解】根据因式分解的概念，可以判断A、B、C均不符合因式分解的概念，都是错误选项，D符合因式分解的概念，所以D是正确选项，

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分解的概念，理解因式分解的概念是解题的关键．

6. 如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若长为12，长为8，则的长为(    )

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由ED垂直平分AB，可知EA=EB，数据代入计算EC=AC-AE即可．

【详解】∵ED垂直平分AB，AC=12cm，BE=8cm，

∴EA=EB，

∴EC=AC-AE=12-8=4（cm），

故选：C．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

7. 若中不含项，那么的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，再根据题意列式计算即可．

【详解】

＝x2＋2x−ax−2a

＝x2＋（2−a）x−2a，

由题意得，2−a＝0，

解得a＝2，

故选：B．

【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

8. 从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别根据正方形及平行四边形面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．

【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高为a−b，

∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积＝a2−b2，乙的面积＝（a＋b）（a−b）．

即：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．

所以验证成立的公式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2−b2＝（a＋b）（a−b）．

9. 如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使两点分别落在点处．若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

依据平行线的性质，即可得到∠DEF＝∠BFE＝，进而得出∠DED'＝2∠DEF＝140，依据邻补角即可得到∠AED'的度数．

【详解】∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠BFE＝70，

由折叠可得，∠DED'＝2∠DEF＝140，

∴∠AED'＝180°−140°＝40°，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

10. 如图，等腰的底边长为4，腰长为6，垂直平分，点为直线上一动点，则的最小值为（    ）

A. 10 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据垂直平分，可知点B关于直线EF的对称点为点A，则AC与直线EF的交点即为使取得最小值时的点P，最小值即为AC的长度．

【详解】∵垂直平分，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，则AC即为的最小值，

∴最小值为6，

故选：B．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．

11. 如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，若，则的度数是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

和均为等边三角形，可得CA=CB，CD=CE，可证∠ACD=∠BCE，从而可证△ACD≌△BCE，得出∠DAC=∠EBC即可．

【详解】∵和均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴ACD≌△BCE（SAS），

∴∠EBC=∠DAC=∠CAE=25°，

故选：C．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．

12. 如图所示，在平面直角坐标系中，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到．以此类推，则旋转第2017次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知，在Rt中，可以计算出点的坐标为（1，），由旋转的性质可知，点的横坐标4×2-1=7，纵坐标为，点的横坐标为4×4-1，纵坐标为，由图形规律，依次类推，可以得出点的横坐标为4×2018-1，纵坐标为，计算即可得出结果．

【详解】在Rt中，

∵，AB=4，到轴距离为

∴横坐标为4××=1，点的坐标为（1，），

根据旋转的性质可以得出点的横坐标4×2-1=7，纵坐标为，

由图形规律可得，点的横坐标为4×4-1，纵坐标为，

……，

依次类推，可得点的横坐标为4×2018-1=8071，纵坐标为，

∴点的坐标为（8071，），

故选：B．

【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，坐标点在图形规律中的应用，掌握坐标在图形中的规律问题是解题的关键．,

二、填空题

13. 分解因式：____．

【答案】．

【解析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，

先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．

考点：提公因式法和应用公式法因式分解．

14. 计算：__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据积的乘方的逆运算，可得计算可得结果．

【详解】原式，

故答案为：．

【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算的运算法则，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．

15. 若是关于的完全平方式，则的值是___________．

【答案】

【解析】

【分析】

当二次项系数为1时，完全平方式满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即（）2＝9，由此可求m的值．

【详解】根据完全平方公式，得

（）2＝9，

解得m＝±6，

故答案为：±6．

【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解，难度适中．

16. 如图，在中，，，垂直平分交于点，，则的长为__________．

【答案】4

【解析】

【分析】

由垂直平分可得BE=AE，利用外角的性质可得∠AEC=30°，在Rt△ACE中，求出AE=2AC=4即可．

【详解】∵垂直平分，

∴EB=EA，∠EAB=，

∴∠AEC=30°，AE=2AC=4，

∴BE=4，

故答案为：4.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，等边等角的应用，掌握垂直平分线性质的应用是解题的关键．

17. 如图，在中，，为边上的高，是上一点，且，则的度数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意知，BD⊥AC，在Rt△BDC中，，可以求出∠DBE的度数，利用△BDE是等腰三角形，可求出的度数．

【详解】∵为边上的高，，

∴∠BDC=90°，∠DBC=90°-50°=40°，

又∵，

∴∠BED=∠BDE=（180°-40°）=70°，

故答案为：70°．

【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质，等腰三角形两个底角相等的性质，掌握三角形的相关性质是解题的关键．

18. 如图，在等腰直角中， ，的角平分线与的外角平分线交于点，分别交和的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则下列结论:①；②；③为等腰直角三角形:④．其中正确的结论有__________．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

利用等腰直角三角形的内外角平分线的性质得到∠AFB=45°，再利用FH⊥AD易证△FAB≌△FGB，△DFG≌△HFA，从而进行判定．

【详解】∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC外角平分线，

∴∠AFB=∠ACB=45°，故①正确；

∵FH⊥AD，

∴∠AFB=∠BFG=45°，

又∵FB=FB，∠ABF=∠FBG，

∴△FAB≌△FGB，

∴FG=FA，

利用角的计算可知，∠FAE=∠FEA=67.5°，

∴FA=FE，

∴FE=FG，故②正确；

∵∠DFG=∠HFA=90°，

FG=FA，易证∠FGD=∠FAH，

∴△DFG≌△HFA，

∴DF=FH，

∴△DFH为等腰直角三角形，故③正确；

由△DFG≌△HFA可得DG=AH，

由△FAB≌△FGB可得BG=AB，

∵BD=DG+GB，BD=AH+AB，故④错误，

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的内外角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形的角平分线的性质是解题的关键．

三、解答题

19. （1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据单项式和多项式的乘法计算，完全平方公式的计算，最后进行合并同类项的计算即可．

（2）根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法的运算法则，以及幂的乘方的运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．

【详解】解：（1）原式，

，

故答案为：；

（2）原式，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法法则，完全平方公式的运算法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及乘方的运算法则，合并同类项的运算法则，掌握整式的运算法则是解题的关键．

20. 先化简，再求值：，其中，．

【答案】；7

【解析】

【分析】

先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，再利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可得到化简结果，然后把x、y值代入计算即可．

【详解】解：原式，

，

将，代入

得原式，

故答案为：；7．

【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，合并同类项的应用，多项式除以单项式的运算法则，掌握整式乘法公式的运算法则是解题的关键．

21. 如图，在平面直角坐标系中有三个点，，．

（1）连接、、三点，请在图中作出关于轴对称的图形；

（2）写出点的坐标并求的长度；

（3）求的面积．

【答案】（1）见解析；（2），；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据轴对称的性质，分别作出点、、关于y轴的对称点、、，然后连接成即可；

（2）根据点的坐标可以得出点的坐标，从图中可以得出长度即可；

（3）利用割补法，把三角形所在图形补成是一个长方形的，用长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可．

【详解】解：（1）分别作出点、、关于y轴的对称点、、，连接成，如图所示即为所求：

（2）根据图形可知，点，线段，

故答案：，；

（3）利用割补法可得，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了网格图中作三角形的轴对称图形，坐标系里点的坐标表示，三角形的面积求法，掌握网格图中的作图方法和坐标表示是解题的关键．

22. 如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB=DE．

（1）求∠BDE的度数；

（2）求证：△CED为等腰三角形．

【答案】（1）∠BDE=120°；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等边对等角得到∠E=∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，求得∠DBC=30°，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）根据三角形的外角的性质得到∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，根据等角对等边即可得到结论．

【详解】（1）∵DB=DE，∴∠E=∠DBE．

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．

∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠DBC=30°，∴∠E=∠DBE=30°，∴∠BDE=180°－∠DBE－∠E=120°；

（2）∵∠ACB=60°，∠E=30°，∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE，∴△CED是等腰三角形．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

23. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有一张，边长分别为， 的长方形卡片4张，边长为的正方形卡片4张，用这9张卡片拼成一个大正方形．

(1)求这个正方形的边长(用含，的式子表示)；

(2)已知拼成的大正方形边长为5，， 求的值．

【答案】（1）；（2）13

【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式的逆运算，把面积相加即可得出，可以得出大正方形的边长；

（2）把已知数值代入（1）中的等式，解出即可．

【详解】解：（1），所以这个正方形边长为：；

故答案为：；

（2）由题意知

又∵

∴，

故答案为：13．

【点睛】本题考查了完全平方公式的逆运算法则，已知数值求代数式的值，掌握完全平方公式的逆运算法则是解题的关键．

24. 如图，直线一侧有一等腰，其中，．直线过顶点．分别过点，作，．垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，满足．延长，交于点．

(1)证明:；

(2)求证:；

(3)若，求线段的长度．

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，只要证明即可；

（2）如图1，作作于K，通过证明得到，进而证明即可得出结论；

（3）通过证明，可得AO=BD，结合平分且，可知AG是线段BD的垂直平分线，由已知即可求出结果．

【详解】解：(1)证明:，直线过顶点

∴

又∵

∴

∴

∴

∴在和中．

∴（）

∴

（2）证明：如图，作

∵平分

∴

又∵

∴（）

∴

又∵

∴

∴

（3）∵

∴

又，，

∴（ASA），

∴；

∵平分且，

∴，

∴，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质应用，线段垂直平分线的性质应用，掌握几何图形的判定和性质内容是解题的关键．

25. 阅读材料：如果一个数平方等于，记为记，这个数叫做虚数单位，那么形如(为实数)的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．

（1）填空：              ；              ．

（2）求的共轭复数：

（3）已知，其中为正整数，求的值；

【答案】（1）-i，1；（2）；（3）3或-3.

【解析】

【分析】

（1）将拆成，将拆成，再将代入即可求出答案；

（2）先化简，再根据共轭复数的定义计算即可得出答案；

（3）根据“”求出a和b的值，再将a和b的值代入要求的式子中即可得出答案.

【详解】解：（1），

（2）

∴的共轭复数是

（3）

∴ab-1=1，a+b=3

解得：a=1，b=2或a=2，b=1

①当a=1，b=2时

②当a=2，b=1时

∴的值为3或-3.

【点睛】本题考查的主要是整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解决本题的关键.

26. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，为等边三角形，，分别为， 边上的动点，点，点同时从点出发，若以个单位每秒的速度从点向点运动，点以2个单位每秒的速度从点向点运动，设运动时间为．

(1)如图1，已知点的坐标为，且满足，求点坐标:

(2)如图1．连接，交于点，请问当为何值时，；

(3)如图2，为边上的中点，，在运动过程中，，，三点是否能构成使的等腰三角形，若能，试求:①运动时间；②此时四边形的面积:若不能．请说明理由．

【答案】（1）；（2）当时，；（3）能，①；②

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得a、b的值，即可求出点A的坐标；

（2）根据等边三角形的性质可得AO=BO=AB=6，，从而可证得，可得OP=AQ，即可求t的值；

（3）过点作，，连接，通过证明，，可得OF=BE，DF=DE，PF=EQ，可得AP+AQ=2AF，可求t的值，根据三角形面积公式可求四边形APDQ的面积．

【详解】解：（1）

解得：

∴，

故答案为：；

（2）∵是等边三角形，点

∴

∵

∴

∴，且，

∴（）

∴

∴

∴

∴当时

，

故答案为：；

（3）如图，过点作，，连接

∵是等边三角形，是中点，点

∴，，

又∵

∴（）

∴，

∵

∴

∴

∵，

∴（）

∴

∵，，

∴

∴，

∴

∵

∴

∴

∴当时,，，是所构成的等腰三角形

∵

∴

∴

，

故答案为：能，①；②．

【点睛】本题考查了非负数的性质应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式的应用，掌握全等三角形的判定和性质应用是解题的关键．

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