福建省福州市福州四中桔园洲中学2022-2023学年九年级上学期第二次适应性数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市福州四中桔园洲中学2022-2023学年九年级上学期第二次适应性数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（上）第二次适应性数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．
3．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
4．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠ADC＝20°，则∠B等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
5．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
6．若AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，则点C一定在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O外 C．⊙O上 D．⊙O内或⊙O上
7．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48
C．48（1﹣x）2＝36 D．48（1+x）2＝36
8．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE＝CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
9．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
10．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
二、填空题（共6小题）
11．一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是　 　．

12．半径为2的圆中，180°的圆心角所对的弧的弧长是 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点A′与点B之间的距离是 　 　．

14．在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，若c是此方程的一个实数根，则b﹣c的值是 　 　．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②3a+b＞0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有 　 　．

16．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是　 　．

三、解答题（共9小题）
17．解方程：x2﹣x﹣7＝0．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0无解，求m的取值范围．
19．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．

20．某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是 　 　；
（2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，把△CBA绕着点C顺时针旋转，使点B的对应点D落在AC边上，得到△CDE．
（1）作出△CDE（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接AE，求∠AED的度数．

22．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求x的取值范围；
（2）当x＝10时，求该商品的销售量；
（3）求当售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？并求出最大的月利润．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，AC＝8，求AE．

24．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为边AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，F是BD的中点，连接FC，FE．

（1）如图1，判断FC与FE有何数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在△ABC内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明．

25．设抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）与直线l：y＝kx﹣4（k＞0）交于A，B两点（点B在点A的右侧）．
（1）如图，若点A（，﹣），且a+c＝﹣1，
①求抛物线Γ与直线的解析式；
②求△AOB的面积；
（2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A，O，C三点共线时，求实数c的值．


2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（上）第二次适应性数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
圆能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠ADC＝20°，则∠B等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理解答．
【解答】解：由圆周角定理得，∠B＝∠ADC＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定义．
6．若AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，则点C一定在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O外 C．⊙O上 D．⊙O内或⊙O上
【分析】利用圆周角定理得到AB所对的圆周角为90°，然后利用∠ACB＝90°可判断点与圆的位置关系．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴AB所对的圆周角为90°，
而∠ACB＝90°，
∴点C在⊙O上．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
7．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48
C．48（1﹣x）2＝36 D．48（1+x）2＝36
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：依题意得三月份的营业额为36（1+x）2，
∴36（1+x）2＝48．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律
8．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE＝CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，利用正方形性质求出即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，O为正方形的中心，
∴OD＝OC，OD⊥OC，
∴∠DOC＝90°，
由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，
则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，
故选：D．

【点评】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
9．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【分析】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面积公式即可求解．
方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．
【解答】解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD＝S
则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC+S△COD+S△DOA
＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；

方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．

【点评】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出OA＝6．
10．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【分析】把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得4a+b＝，根据对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，所以，解得或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m，得到a＝，所以或，即可解答．
【解答】解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
16a+4b+3＝4，
∴16a+4b＝1，
∴4a+b＝，
∵对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，
∴
∴，
∴||≤1，
∴或a，
把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：
4a+2b+3＝m
2（2a+b）+3＝m
2（2a+﹣4a）+3＝m
﹣4a＝m，
a＝，
∴或，
∴m≤3或m≥4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是根据点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，得到．
二、填空题（共6小题）
11．一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是　　．

【分析】根据矩形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，
∴一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．半径为2的圆中，180°的圆心角所对的弧的弧长是 　2π　．
【分析】将n＝180，r＝2代入弧长公式l＝进行计算即可．
【解答】解：，
故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点A′与点B之间的距离是 　1　．

【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，
∴CA＝AA′＝1，
∴A′B＝AB﹣AA′＝2﹣1＝1，
即点A'与点B之间的距离为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，若c是此方程的一个实数根，则b﹣c的值是 　1　．
【分析】把x＝c代入x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，得c2﹣bc+c＝0，进而求出b﹣c的值．
【解答】解：在关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）中，c是此方程的一个实数根，
∴c2﹣bc+c＝0，
∴c（c﹣b+1）＝0，
∵c≠0，
∴c﹣b+1＝0，
∴b﹣c＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了整体思想．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②3a+b＞0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有 　①③④　．

【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，结合图象当x＝﹣1时，y＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④根据二次函数的性质对进行判断．
【解答】解：∵函数图象与x轴有2个交点，
则b﹣4ac＞0，
故①正确；
由图象可知：当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝3a+c＝0，
∵3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，
故②错误；
函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，
函数与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0），
则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故③正确；
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故④正确．
结论正确有：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0），二次项系数α决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数α共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b24ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，腰长为6，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，连接DE，则DE的最小值是　2　．

【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．
【解答】解：如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．

∵BE∥AC，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∵∠EBC+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠EOD＝2∠EAD，
∴∠EOD＝2∠C＝定值，
∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，
∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，
∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，
∴BJ＝CJ＝4，
∴AJ＝＝＝2，
∵OK⊥DE，
∴EK＝DK，
∵AB＝6，
∴OE＝OD＝3，
∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，
∴sin∠EOK＝sin∠C＝，
∴＝，
∴EK＝，
∴DE＝2，
∴DE的最小值为2．
故答案为2．
【点评】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共9小题）
17．解方程：x2﹣x﹣7＝0．
【分析】利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣x﹣7＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）
＝1+28
＝29＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0无解，求m的取值范围．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝﹣4m+8＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝16﹣4（m+2）＝﹣4m+8＜0，
解得m＞2．
故m的取值范围为m＞2．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
19．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点．

【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即D为的中点．
【点评】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠AOD＝∠COD是解此题的关键．
20．某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是 　　；
（2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道，
∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况．
∴P（选择A）＝．
故答案为：；
（2）由题意列树状图得，

由上图可以看出，
甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况，
其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种，
∴P（甲乙两人选择的通道相同）＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，把△CBA绕着点C顺时针旋转，使点B的对应点D落在AC边上，得到△CDE．
（1）作出△CDE（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接AE，求∠AED的度数．

【分析】（1）根据旋转的性质即可作出△CDE；
（2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可求∠AED的度数．
【解答】解：（1）如图，△CDE即为所求；

（2）∵△CBA绕着点C顺时针旋转得到△CDE．
∴△CBA≌△CDE．AC＝EC，
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°，∠DEC＝∠BAC＝40°，
∵AC＝EC，
∴∠AEC＝∠CAE＝（180°﹣∠ACE）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°，
∴∠AED＝∠AEC﹣∠DEC＝55°﹣40°＝15°．

答：∠AED的度数为15°．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
22．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求x的取值范围；
（2）当x＝10时，求该商品的销售量；
（3）求当售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？并求出最大的月利润．
【分析】（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40），即可求解；
（2）把x＝10代入销售量的代数式210﹣10x中进行计算便可；
（3）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）
＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）由题意得，涨价后的销售数量为：210﹣10x，
当x＝10时，210﹣10x＝110；
（3）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，AC＝8，求AE．

【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD，连接DE，证△DCA∽△EDA，得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；

（2）解：在Rt△ADC中，AC＝8，CD＝6，
由勾股定理得：AD＝10．
连接DE，
∵AE为直径，
∴∠EDA＝∠C＝90°，
∵∠CAD＝∠EAD，
∴△DCA∽△EDA，
∴＝，
∴＝，
AE＝12.5．


【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
24．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为边AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，F是BD的中点，连接FC，FE．

（1）如图1，判断FC与FE有何数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在△ABC内部，判断（1）中的结论是否还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明．

【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
（2）如图，取AB中点M，AD中点N，连接CM、FM、EN、NF，正面△CMF≌△FNE（SAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）相等且垂直．
理由：如图1中，

∵∠ACB＝90°，
在Rt△DBC中，
∵F是BD的中点，
∴CF＝BD，
∵DE⊥AB，
∴EF＝BD，
∴FE＝FC；
∴点B，C，D，E在以F为圆心，FC为半径的圆上．
∵CA＝CB，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵，
∴∠EFC＝2∠ABC＝90°，
∴FE＝FC且FE⊥FC；

（2）成立；
证明：如图，取AB中点M，AD中点N，连接CM、FM、EN、NF，

∵DF＝FB，AM＝MB，∠AED＝∠ACB＝90°
∴FM＝AD，EN＝AD，CM＝NF＝AB，
∵∠CMF+∠FMB＝90°，∠ENF+∠DNF＝90°，
又∵NF∥AB，FM∥AD，
∴∠DNF＝∠DAB＝∠FMB，
∴∠CMF＝∠ENF，
∴△CMF≌△FNE（SAS），
∴CF＝FE，∠MCF＝∠NFE，
∵FN∥AB，CM⊥AB，
∴FN⊥CM，
∴∠FCM+∠CFN＝90°，
∴∠CFN+∠NFE＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴CF⊥EF，
即FC＝FE，CF⊥FE．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
25．设抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）与直线l：y＝kx﹣4（k＞0）交于A，B两点（点B在点A的右侧）．
（1）如图，若点A（，﹣），且a+c＝﹣1，
①求抛物线Γ与直线的解析式；
②求△AOB的面积；
（2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A，O，C三点共线时，求实数c的值．

【分析】（1）①将点A坐标代入直线解析式中，即可得出直线l的解析式，将点A坐标代入抛物线解析式中得出a+c＝﹣①，
结合a+c＝﹣1，即可得出结论；
②利用三角形的面积的计算方法即可得出结论；
（2）设出A（m，mk﹣4），B（b，bk﹣4）（b＞m），得出C（﹣b，bk﹣4），进而求出直线AC的解析式为y＝kx+﹣4，
判得出mbk＝2（m+b）①，再由点A，B在抛物线上，得出am2+c＝mk﹣4②，ab2+c＝bk﹣4③，由①②③即可得出结论．
【解答】解：（1）①将点A（，﹣）代入直线l：y＝kx﹣4（k＞0）中，
得k﹣4＝﹣，
∴k＝3，
∴直线l的解析式为y＝3x﹣4；

将点A（，﹣）代入抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）中，
得，a+c＝﹣①，
∵a+c＝﹣1②，
联立①②解得，a＝2，c＝﹣3，
∴抛物线Γ的解析式为y＝2x2﹣3；

②如图1，直线l与x轴的交点记作点D，
由①知，直线l的解析式为y＝3x﹣4，
∴D（，0），
∴OD＝，
由①知，抛物线Γ的解析式为y＝2x2﹣3，直线l的解析式为y＝3x﹣4，
联立得，，
解得，或，
∴B（1，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝OD•|yA|﹣OD•|yB|＝OD•（|yA|﹣|yB|）＝××（﹣1）＝1；

（2）如图2，
∵点A，B在直线l：y＝kx﹣4上，
∴设点A（m，mk﹣4），B（b，bk﹣4）（b＞m），
∵点C是点B关于y轴的对称点，
∴C（﹣b，bk﹣4），
∴直线AC的解析式为y＝kx+﹣4，
∵点A，O，C三点共线，
∴直线AC过原点，
∴﹣4＝0，
∴mbk＝2（m+b）①，
∵点A（m，mk﹣4）在抛物线Γ：y＝ax2+c上，
∴am2+c＝mk﹣4②，
∵点B（b，bk﹣4）在抛物线Γ：y＝ax2+c上，
∴ab2+c＝bk﹣4③，
②﹣③得，am2﹣ab2＝mk﹣bk，
∴k＝a（m+b）④，
联立①④得，abm＝2，
②×b﹣③×m得，abm2+bc﹣（ab2m+cm）＝bmk﹣4b﹣（bmk﹣4m），
∴abm（m﹣b）﹣（m﹣b）c＝4（m﹣b），
∴abm﹣c＝4，
∴c＝abm﹣4＝2﹣4＝﹣2．


【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形的面积的计算方法，轴对称的性质，处理am2+c＝mk﹣4②，ab2+c＝bk﹣4③，这三个式子是解本题的关键．