河南省实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（每小题2分，共10个小题，共20分）
1．（2分）下列方程是一元二次方程（　　）
A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
2．（2分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．（2分）把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
4．（2分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．（2分）根据下列表格的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
6．（2分）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．20
7．（2分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠0 D．a＜2且a≠0
8．（2分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．
10．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（　　）

A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
二、填空题、（每小题5分，共5个小题，共15分）
11．（5分）如果，那么的值为 　 　．
12．（5分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　 　．
13．（5分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝　 　．

14．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　 　．

15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H，若，则的值 　 　．

三、解答题（本答题共8个小题，满分75分）
16．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣3＝0．
17．（16分）解下列方程
（1）x（2x﹣7）＝2x
（2）x2﹣2x+4＝0
（3）（y+2）2＝（3y﹣1）2
（4）2y2+7y﹣3＝0．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP∥AC，交BA的延长线于点P，∠P＝90°．求证：四边形AECF是菱形．

19．（8分）进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有 　 　人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．
20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．
（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）①当t＝　 　s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝　 　s时，四边形DEBF为矩形；

22．（9分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　 　件，每天共盈利 　 　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，请你利用学过的Δ判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出k的值？
23．（11分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）试探究CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当点E从A点运动到C点时，则点G运动的路径长为 　 　．


河南省实验中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共10个小题，共20分）
1．（2分）下列方程是一元二次方程（　　）
A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
【解答】解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3，
整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+＝4是分式方程，故错误；
D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选：D．
【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．（2分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】菱形与矩形都是平行四边形，故平行四边形的性质二者都具有，因此A，B，C都不能选，对角线中二者不同的是：菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选D答案．
【解答】解；∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，
∴二者都具有，故此三个选项都不正确，
由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形及矩形的性质，关键是需要同学们熟记二者的性质．
3．（2分）把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故选：C．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2分）下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故C错误，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定，解题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理．
5．（2分）根据下列表格的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2．
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（2分）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
＝0.2，
解得：a＝20，
经检验：a＝20是原分式方程的解，
答：a的值约为20；
故选：D．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7．（2分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠0 D．a＜2且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×2≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×2≥0，
解得a≤2且a≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2分）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，由矩形的性质及30°角的直角三角形的性质可求解AB＝，OE＝，AE＝，结合折叠的性质可求解AD的长，进而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF，进而求解D点坐标．
【解答】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，

∵四边形AOCB为矩形，
∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，
∵∠BAC＝30°，
∴AC＝12，OC＝AB＝，
由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB＝，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝，AE＝，
∴ED＝，
∵DF∥y轴，
∴∠EDF＝∠EAO＝30°，
∴EF＝，DF＝3，
∴OF＝OE+EF＝，
∴D点坐标为（，﹣3），
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，点的坐标的确定，勾股定理，30°角的直角三角形，矩形的性质等知识的综合运用．
10．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（　　）

A．6 B．6.4 C．7.2 D．8
【分析】当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为BC，则6＝×AB×（BC），解得AB•BC＝24，而AB+BC＝10，即可求解．
【解答】解：从图象看，当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为BC，
∴△AOP的面积＝×AB×（BC）＝6，解得AB•BC＝24①，
而从图②看，AB+BC＝10②，
由①②并解得AB＝6，BC＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题、（每小题5分，共5个小题，共15分）
11．（5分）如果，那么的值为 　　．
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，
∴﹣1＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．（5分）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（5分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝　4　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出DF，进而求出EF．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，DE＝2，AC＝15，
∴＝，
解得：DF＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　1　．

【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF•DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴，
∴OC2＝OF•OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，并延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H，若，则的值 　　．

【分析】首先利用已知条件证明△BCE≌△CDG，然后连接EH．根据HF2+FE2＝DH2+DE2，求出DE即可解决问题；
【解答】解：∵△BFE是由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
在△BCE和△CDG中，
，
∴△BCE≌△CDG（AAS）；
如图，连接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，BC＝CD，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵＝，
设CE＝2x，则BC＝CD＝3x，FE＝CE＝2x，
∴DE＝CD﹣CE＝x，
设HF＝HG＝a，
∴DH＝DG﹣HG＝2x﹣a，
∴由折叠可知∠BFE＝∠BCE＝90°，
∴∠EFH＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴a2+（2x）2＝（2x﹣a）2+x2，
∴x＝4a或0（舍弃），
∴DH＝2x﹣a＝7a，
∴＝＝．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本答题共8个小题，满分75分）
16．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣3＝0．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，求出a2+3a＝3，最后把a2+3a＝3代入化简的结果，即可求出答案．
【解答】解：原式＝[+]•
＝（+）•
＝•
＝，
由a2+3a﹣3＝0得a2+3a＝3，
∴原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（16分）解下列方程
（1）x（2x﹣7）＝2x
（2）x2﹣2x+4＝0
（3）（y+2）2＝（3y﹣1）2
（4）2y2+7y﹣3＝0．
【分析】（1）首先去括号，进而利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法直接解方程即可；
（3）利用平方差公式因式分解进而求出方程的根即可；
（4）直接利用公式法解方程得出即可．
【解答】解：（1）x（2x﹣7）＝2x
整理得：2x2﹣9x＝0
x（2x﹣9）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4.5；

（2）x2﹣2x+4＝0
配方得：（x﹣1）2＝﹣3，
故此方程无实数根；

（3）（y+2）2＝（3y﹣1）2
（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0
[（y+2）+（3y﹣1）][（y+2）﹣（3y﹣1）]＝0，
整理得：（4y+1）（﹣2y+3）＝0
解得：y1＝﹣，y2＝；

（4）2y2+7y﹣3＝0
b2﹣4ac＝49﹣4×2×（﹣3）＝73，
故y＝，
则y1＝，y2＝．
【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法分解因式，熟练记忆公式是解题关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP∥AC，交BA的延长线于点P，∠P＝90°．求证：四边形AECF是菱形．

【分析】首先根据平行四边形的性质可得CB∥AD，CB＝AD．AB∥CD，再根据中点定义可得CE＝AF，进而可证明四边形AFCE是平行四边形，然后再证明四边形CDPA是矩形，可得∠DCA＝90°，再根据直角三角形的性质可证明CF＝AF，进而可证出四边形AECF是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，CB＝AD．AB∥CD，
∵E、F分别是边BC，AD的中点，
∴CE＝CB，AF＝AD．
∴CE＝AF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵∠P＝90°，AB∥CD，CB∥AD，
∴四边形CDPA是矩形，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ADB中
∵F为AB的中点，
∴AF＝CF＝DF，
∵四边形CFAE是平行四边形，
∴四边形CFAE是菱形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
19．（8分）进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有 　300　人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．
【分析】（1）由选择“支付宝”支付的人数除以所占百分比求出本次调查参与的人数，即可解决问题；
（2）由某假期该商场进行购物支付的总人数乘以选择“刷脸或现金”这种支付方式的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的情况，其中甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的情况有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查参与的人数为：60÷25%＝240（人），
则用“银行卡”支付的人数为：240﹣60﹣40﹣60＝80（人），
将条形统计图补充完整如下：

（2）1800×＝300（人），
即若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有300人会选择“刷脸或现金”这种支付方式，
故答案为：300；
（3）画树状图如下：

共有16种等可能的情况，其中甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的情况有4种，
∴甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．
（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC是等腰三角形？
【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；
（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
∴无论k取何值时方程总有两个实数根．
（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：
x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，
∵AB、AC是方程的两个实数根，
∴AB≠AC，
∵BC＝5，
∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，
∴k＝3或4，
故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．
【点评】此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）①当t＝　10　s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝　　s时，四边形DEBF为矩形；

【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论；
（2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值；
②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论．
【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF＝DC＝2tcm．
∵AE＝2tcm，DF＝2tcm，
∴AE＝DF．
又∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
（2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝60﹣4t，
解得t＝10，
∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60﹣4t＝4t，
解得t＝．
即当t＝时，四边形DEBF为矩形，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（9分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 　40　件，每天共盈利 　1800　元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，请你利用学过的Δ判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出k的值？
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，
当天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝k，
整理得到：2x2﹣70x+k﹣1500＝0．
则Δ＝b2﹣4ac＝4900﹣4×2（k﹣1500）＝16900﹣8k≥0，
解得k≤2112.5．
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
23．（11分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）试探究CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当点E从A点运动到C点时，则点G运动的路径长为 　4　．

【分析】（1）作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，先由四边形ABCD是正方形证明∠BCA＝∠DCA＝45°，则EK＝EL，再证明△FEK≌△DEL，得DE＝FE，即可证明矩形DEFG是正方形；
（2）由∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，CD＝AD，GD＝ED，证明△CDG≌△ADE，得CG＝AE，则CE+CG＝AC为定值，再根据勾股定理求出AC的长即可；
（3）由（2）可知△CDG≌△ADE（SAS），由全等三角形的性质得CG＝AE，再由正方形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，
当点F在边BC上时，如图1，当点F在边BC的延长线上时，如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴EK＝EL，
∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，
∴四边形EKCL是矩形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠KEL＝∠FED＝90，
∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，
∴△FEK≌△DEL（ASA），
∴DE＝FE，
∴矩形DEFG是正方形．
（2）解：CE+CG的值是定值，
理由：∵∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
∵CD＝AD，GD＝ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
∴CE+CG的值是定值，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，
∴AC＝＝4，
∴CE+CG＝4，
∴这个定值是4．
（3）解：由（2）可知△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠DCG的大小始终不变，
∴点G的运动轨迹是线段，
∵△CDG≌△ADE，
∴CG＝AE，
∵AB＝2，
∴AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
∴AC＝AD＝4，
∴点E从A点运动到C点时，AE＝4，
∴CG＝AE＝4，
故答案为：4．


【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．