(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.6《直线与椭圆》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.6《直线与椭圆》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，直线与椭圆的位置关系，弦长及中点弦问题，命题点1弦长问题，∴a2＝4b2，命题点2中点弦问题，x＋2y－3＝0，又∵x1＋x2＝2，即x＋2y－3＝0等内容，欢迎下载使用。

1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ 0；直线与椭圆相切⇔Δ 0；直线与椭圆相离⇔Δ 0.
2.弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
或|AB|＝_______________＝______________________，k为直线斜率且k≠0.
(1)通径的长度为 .(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4).(e为椭圆的离心率)(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则 .
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝ .(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝ .(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为 .
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)(2)直线y＝x与椭圆 ＋y2＝1一定相交.(　　)(3)直线y＝x－1被椭圆 ＋y2＝1截得的弦长为 .(　　)(4)过椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝ .(　　)
1.直线y＝x＋1与椭圆 的位置关系是A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断
消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交.方法二　(优解)直线过点(0,1)，而0＋ ＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.
2.已知斜率为1的直线l过椭圆 ＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为
由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为( ，0)，则直线l的方程为y＝x－ ，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消y得，5x2－8 x＋8＝0，
3.已知椭圆 (a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为_________.
所以b＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，
TANJIUHEXINTIXING
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： .试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；
消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.当Δ>0，即－3 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
(2)有且只有一个公共点.
当Δ＝0，即m＝±3 时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
A.相交 B.相切C.相离 D.有3个公共点
判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
跟踪训练1　已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3，所以m＝ .
由0(2)若直线l：y＝kx＋ 与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围.
例2　(2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C： (a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝ .(1)求椭圆C的方程；
∴a2＝8，b2＝2.
(2)直线l的斜率为 ，直线l与椭圆C交于A，B两点.若|AB|＝ ，求直线l的方程.
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2.∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
例3　已知P(1,1)为椭圆 内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为____________.
方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
已知直线l与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1).(1)求直线l的方程；
由斜率公式可知kOP＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2).代入椭圆方程得到，
∴直线l的方程为3x＋4y－7＝0.
(2)求△OAB的面积.
将直线方程与椭圆方程联立，可得21x2－42x＋1＝0，Δ＝422－4×21>0，
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
跟踪训练2　(1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C： ，过点 的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为A.3x－2y－2＝0 B.3x＋2y－4＝0C.3x＋4y－5＝0 D.3x－4y－1＝0
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即3x＋2y－4＝0.
(2)已知椭圆E： 的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝______.
由题意得c2＝a2－b2＝4－3＝1，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以A与B关于原点对称，又AF1，BF2都与x轴垂直，所以设A(－1，y1)，B(1，－y1)，
例4　已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为 ，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；
解得a2＝4，b2＝1.
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为 (O为坐标原点)，求直线l的方程.
由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
整理得(3t－1)(t－3)＝0，
(2020·天津)已知椭圆 (a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；
由已知可得b＝3，记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，
(2)已知点C满足 ，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y＝kx－3.
消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
跟踪训练3　已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 求直线l的方程.
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1
KESHIJINGLIAN
1.直线y＝x＋2与椭圆 有两个公共点，则m的取值范围是A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.
2.已知椭圆M： (a＞b＞0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又c＝3，a2＝b2＋c2.联立解得a2＝18，b2＝9.
3.(多选)已知椭圆 与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝ ，则实数m的值为A.－1 B.1 C.－2 D.2
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得m＝±1，满足题意.
4.已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆 截得的最大弦长是A.2 B.C.4 D.不能确定
直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
5.(多选)设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为D.若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝ ＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点 ，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，
得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，
6.(多选)已知椭圆C： (a>b>0)的左、右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有A.△ABF2的周长为4a
由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c，0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
由过焦点的弦中通径最短，
即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，
7.已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C： 交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为 ，则k＝____.
得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1,0)，
8.与椭圆 有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为_____.
因为所求椭圆与椭圆 ＋y2＝1有相同的焦点，
因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，
即a2＝5或a2＝1(舍).
9.已知椭圆M： (a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为 ，且过点 .(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程.
设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵线段PQ的中点恰为点N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.
即3x＋4y－7＝0.
10.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点 ，且离心率为 .F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－ )(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
由题设可知，A在E外，B在E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在l上的四点A，B，C，D满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8 k2x＋12k2－4＝0，
又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正数k使|AC|＝|BD|.
11.(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆 中，过点M(4 ，0)的所有“好弦”的长度之和为A.120 D.260
由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝4 ，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x＝4 时，
当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.
12.(2022·江南十校模拟)已知椭圆C： ＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为
由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，
13.(2022·兰州质检)已知P(2，－2)是离心率为 的椭圆 (a>b>0)外一点，经过点P的光线被y轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是
设过点P的直线斜率为k，则直线方程为y＋2＝k(x－2)，即y＝kx－2k－2，则反射后的切线方程为y＝－kx－2k－2，
得(3＋4k2)x2＋16k(k＋1)x＋16k2＋32k＋16－3a2＝0，∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，∴Δ＝[16k(k＋1)]2－4(3＋4k2)(16k2＋32k＋16－3a2)＝0，化简得4a2k2＋3a2＝16k2＋32k＋16，
14.(多选)已知O为坐标原点，椭圆T： 的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是
D.△AOB面积的最大值为3
对于A，易知当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，由椭圆T的方程知F(1,0)，
所以|AB|的最小值为3，故A错误；对于B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，x1≠x2，x0≠0，因为M为线段AB的中点，
又点A，B在椭圆T上，
对于C，易知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为x＝my＋1，代入椭圆T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
因为函数y＝3t＋ 在t∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，△AOB的面积取得最大值，且最大值为 ，故D错误.
15.(多选)已知F1，F2是椭圆C1： (a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若 ，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是
∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，∴AF1⊥EF2.设|F2A|＝2t，
∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t.∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B(0，±b).
|F1F2|＝2c，∵|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，
设A(x，y)，易得M(－a，0)，N(a，0)，
16.已知直线l经过椭圆C： (a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上.
若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，∴直线l的斜率存在.设l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN).将直线m的方程代入椭圆方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，
由|MN|2＝4|AB|得t＝0，