2022-2023学年浙江省名校协作体高三上学期适应性联合考试数学试题含答案

2022学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题

高三年级数学学科

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷．

选择题部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 已知向量满足，，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（       ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

4. 已知复数z满足，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 若，则的最大值是（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】B

6. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

8. 已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．

9. 同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

10. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则下列正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ACD

11. 已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（    ）

A. 当劣弧的弧长最短时， B. 当劣弧的弧长最短时，

C. 直线的方程为 D. 直线的方程为

【答案】BD

12. 如图，在中，，，，设点在上的射影为，将绕边任意转动，则有（    ）

A. 若为锐角，则在转动过程中存在位置使

B. 若为直角，则在转动过程中存在位置使

C. 若，则在转动过程中存在位置使

D. 若，则在转动过程中存在位置使

【答案】AC

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 的展开式中的常数项为_______．

【答案】1120

14. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．

【答案】

15. 以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________

【答案】##

16. 设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.

【答案】

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求在区间［0，］上的最值.

【答案】（1）（kZ）   

（2）最大值为1，最小值为-.

【解析】

【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；

（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.

【小问1详解】

=.

因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），

令（kZ），得（kZ）.

所以的单调递增区间为（kZ）.

【小问2详解】

因为x∈［0，］，所以2x＋.

当2x＋=，即x＝时，最大值为1，

当2x＋=，即x＝时，最小值为-.

18. 已知数列满足.

（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简，再推导出等于一个常数，即可求解；

（2）结合第一问，先求出数列的满足的规律，然后再求和.

【小问1详解】

由已知有：

 所以，

，

其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列.

所以，得.

【小问2详解】

由（1）知：，

，

所以

.

19. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面是的中点，且为等边三角形，平面平面.

（1）设直线，求点到平面PDC的距离；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）延长，交于点发现直线，通过图象关系可得点到平面PDC的距离是点到平面PDC的距离的2倍，通过建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面PDC的距离的2倍，继而得到结果；

（2）通过向量法求解二面角的余弦值，继而求出正弦值

【小问1详解】

延长，交于点直线，

在底面中，，得为中位线，

所以为中点，

因为分别为中点，所以为的中位线，

得，所以点到平面PDC的距离是点到平面PDC的距离的2倍，

易得是等边三角形，，

取中点中点为，连接，

所以在中，，解得，

所以，所以

因为平面平面平面平面，，平面，所以平面则以为原点如图建立直角坐标系，

由题意得

，

设平面PDC的法向量

由得，令，则，

所以

所以点到平面PDC的距离为，

所以点到平面的距离是；

【小问2详解】

由（1）得：，

设平面法向量

由得，令，则，

则

设平面PBE法向量，

由得，令，则，

则

设二面角P-BE-D的平面角为

因此，二面角的正弦值是

20. 为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：

（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；

（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.

（参考数据：若X~，则，，.）

【答案】（1）51    （2）分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】（1）根据正态分布的规律以及计算公式求解即可；

（2）Y的可能取值为1，2，3，4，再由超几何分布概率的计算方法求出对应的概率即可求解

【小问1详解】

由已知，得，，

所以

因为

所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.

【小问2详解】

由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且

所以Y的分布列为

所以

21. 抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，

（1）若面积为，求的值及圆的方程

（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.

【答案】（1），圆的方程为   

（2）

【解析】

【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出.

【小问1详解】

由对称性可知：，

设，由焦半径可得：，

，

解得：

圆的方程为：

【小问2详解】

由题意得：直线的斜率一定存在，其中，

设关于直线的对称点为，

则，解得：，

联立与得：，

设，

则，

则，

则

，

解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，

所以

，

【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.

22. 已知函数．

（1）当时，证明；

（2）若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用切线放缩可得，且等号不同时成立，则结论可证；

（2）多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化问题为，再由即可得解.

【小问1详解】

当时，，定义域为，

设，则，

所以函数单调递增，在上单调递减，所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，，当且仅当时等号成立，

所以，且等号不同时成立，所以；

【小问2详解】

函数，，

若存在极值点，则，所以，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

由，不妨设，

若，则；

若，由可得，则，

所以，即对恒成立，

令，则，

则

，

设，则，

，

令，，

则，

，

令，

则，

令，则，

当时，令，

则

，

设，

所以，所以，

所以当时，，单调递增，，单调递增，

，单调递增，，单调递减，，

，符合题意；

当时，，存在，单调递减，，

，，单调递增，，，

不符合题意；

所以，由单调递增可得.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化不等关系.