2023届河南省豫北名校普高联考高三上学期测评（一）数学（文）试题含答案

2023届河南省豫北名校普高联考高三上学期测评（一）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接由交集的定义写出结果．

【详解】，又，故．

故选：D．

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由特称命题的否定是全称命题，得出结果．

【详解】命题“，”的否定为“，”，

故选：A．

3．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算性质分析判断.

【详解】由，得，

所以，

当，且时，不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．若，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系可得，化弦为切结合已知即可得解.

【详解】解：

.

故选：D.

5．在中，已知，，，则的面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三角形内角和为可求得，由此可得，代入三角形面积公式即可求得结果.

【详解】，，，

.

故选：B.

6．定义在上的奇函数满足，若当时，，则（    ）

A． B．6 C． D．8

【答案】C

【分析】由奇函数满足，可推出是周期为4的函数，求解即可得出答案．

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以，

所以是周期为4的函数，

因此．

故选：C．

7．如图是函数的图象的一部分，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象可确定最小正周期，由此可得；根据可求得；由可求得，由此可得.

【详解】由图象可知：最小正周期，；

又，，

解得：，又，，，

，，.

故选：B.

8．函数（其中为自然对数的底数）的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的定义域、函数值的符号变化以及函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的，，故函数的定义域为，排除C选项；

当时，；当时，，排除A选项；

因为，当时，且不恒为零，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，排除D选项.

故选：B.

9．设，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数运算可将化为和，由、可比较出大小关系.

【详解】，，；

，，；

.

故选：C.

10．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，，则c＝（    ）

A．2 B．4 C． D．8

【答案】A

【分析】由正弦定理，结合条件，得，进一步求出，利用余弦定理求出.

【详解】由正弦定理，及，

得，又，

所以，

整理得，所以，

又，所以．

由余弦定理，得，则．

故选：A．

11．若定义在区间D上的函数，对区间D内的任意，，都有成立，则称为区间D上的平增函数．已知是定义域为的平增函数，且满足：①，；②，．则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】由条件①，可以得到函数的图象在上关于对称，；由条件②，结合“平增函数”这个信息，可以推出时，，时，也有，从而得出答案．

【详解】因为，

所以函数的图象在上关于对称，令可得．

又因为，所以，

因为是定义域为的平增函数，，

所以当时，．

因为函数的图象关于对称，

所以当时，也有，

所以，

故选：C．

12．已知函数，其中为自然对数的底数，若时，函数有2个零点，则实数a的可能取值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知方程有两个实数根，令，则的图象与直线有两个交点，结合导数分析函数的单调性与极值情况即可解决问题．

【详解】由题意可知方程有两个实数根，

令，则的图象与直线有两个交点，．

（1）若在上恒成立，所以在上单调递减，

的图象与直线至多只有一个交点，不合题意；

（2）若，当时，，当时，，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以当时，取得极大值，也是最大值，为．

当时，，当时，，

所以要使的图象与直线有两个交点，只需．

，当时，，当时，，

所以，

设，则，

所以在上单调递增，而，

所以的解为，而，

故选：D．

二、填空题

13．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】由题意，利用偶次根式、对数函数的性质，列出不等式组求解．

【详解】由题知，解得，即，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

14．若，则________.

【答案】

【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则B＝______．

【答案】

【分析】由余弦定理可得，化简得，从而求得．

【详解】由余弦定理可得，化简得，

则，

又，所以，

故答案为：．

16．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为______．

【答案】6

【分析】根据图象变换规律得到，再由是函数图象的一条对称轴，得出，即可得出答案．

【详解】由题知，

因为是函数图象的一条对称轴，

则，

所以，

又，所以的最小值为6．

故答案为：6．

三、解答题

17．已知幂函数是偶函数．

(1)求函数的解析式；

(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）根据幂函数的特征，得，解得或，检验是偶函数，得出答案；

（2）求出，利用的单调性，得，求解即可．

【详解】(1)由题知，即，解得或．

当时，，不是偶函数，舍去，

当时，，是偶函数，满足题意，

所以．

(2)由（1）知，且图象的对称轴为，

所以在上是增函数，

则，

解得或，

又，所以．

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间；

(2)求使成立的的取值集合．

【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，由可得最小正周期；令可解得单调递增区间；

（2）将不等式化为，由此可得，解不等式即可求得结果.

【详解】(1)，的最小正周期；

令，解得：，

的单调递增区间为.

(2)由得：，

，解得：，

使得成立的的取值集合为.

19．在中，内角的对边分别为，且______．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．

(1)求角的大小；

(2)若角的内角平分线交于，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得，进而得到；若选③：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由可求得，进而得到；

（2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】(1)若选条件①，由正弦定理得：，

，，，则，

又，.

若选条件②，由得：，

，则，又，.

若选条件③，由得：，

，即，

又，，.

(2)

，，

即，，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

20．已知是函数的极大值点．

(1)求实数的值；

(2)求函数在上的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知，从而求出，然后检验即可；

（2）由（1）知，结合的单调性，得出在上的最大值．

【详解】(1)由题知，且，

解得．

所以，

令，解得或．

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增，

所以是函数的极大值点，故．

(2)由（1）知，

且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，且，

所以在上的最大值为．

21．在锐角中，．

(1)求；

(2)若的外接圆的圆心为O，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，结合已知条件可以得出，从而求出；

（2）由求出外接圆的半径，运用平面向量数量积的运算写出的表达式，结合三角函数的恒等变换、值域的求法求解即可．

【详解】(1)在中，，

整理得，

即

所以，

因为，所以，

即，所以，

又因为，所以，

所以，解得．

(2)由（1）知，则，则，即，

又在锐角中，故．

因为为的外接圆圆心，

所以，，．

设的外接圆的半径为，

则，解得．

∴，

∴

．

因为，所以，则，

所以，

所以的取值范围为．

22．已知函数，且曲线在点处的切线方程为．

(1)求a，b的值，并求函数的单调区间；

(2)证明：．

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先利用切线方程求出，再利用导数判断函数的单调性；（2）利用分析法转化为只需证明.利用导数判断单调性，求出的最小值，判断出，即可证明.

【详解】(1)的定义域为(0,+∞)，,则.

又,则曲线在点处的切线方程为,即,

所以解得：.

所以,且.

令,解得：；令,解得：.

所以的单调递减区间为,单调递增区间为.

(2)由（1）知,x>0.则要证，只需,只需.

令,则..

令,则，所以在(0,+∞)上单调递增.

而，所以存在唯一的,使得.

当时,单调递减；当时, 单调递增.

所以

所以,即.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4) 利用导数证明不等式．