河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）理科数学试卷（含答案）

联考2022—2023学年高三测评（一）

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

3.若，则（    ）

A.    B.    C.-2    D.2

4.命题：“”，命题：“”，则下列命题为真命题的是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.在中，已知，则的面积等于（    ）

A.4    B.    C.    D.

6.函数（其中为自然对数的底数）的大致图象是（    ）

A.    B.

C.    D.

7.定义在上的奇函数满足，若当时，，则（    ）

A.-6    B.6    C.-8    D.8

8.设，则的大小关系是（    ）

A.    B.

C.    D.

9.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ）

A.3    B.6    C.9    D.15

10.在中，三个内角所对的边分别为，且，若，则（    ）

A.2    B.4    C.    D.8

11.若定义在区间上的函数，对区间内的任意，都有成立，则称为区间上的平增函数.已知是定义域为的平增函数，且满足：①；②.则的值为（    ）

A.1    B.    C.2    D.4

12.函数有两个零点，则的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.函数的定义域为_______.

14.若，则_______.

15.在中，角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为_______.

16.三棱锥的三视图如图所示，且其外接球的半径为4，则三棱锥的体积的最大值为_______.

三､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知幂函数是偶函数.

（1）求函数的解析式；

（2）函数，若的最大值为15，求实数的值.

18.（12分）已知函数的最大值为.

（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；

（2）求使成立的的取值集合.

19.（12分）在中，内角的对边分别为，且______.

在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

（1）求角的大小；

（2）若角的内角平分线交于，且，求的最小值.

20.（12分）在锐角中，内角所对的边分别为，且

（1）求；

（2）若的外接圆的半径为1，求的取值范围.

21.（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：.

22.（12分）已知函数存在两个极值点，其中为自然对数的底数.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

参考答案

普高联考2022—2023学年高三测评（一）

理科数学

1.D  【解析】由解得，则，又，故.故选D.

2.A  【解析】，且，故选A.

3.D  【解析】，故选D.

4.A  【解析】因为，所以，则对任意的恒成立，因此命题为假命题.构造函数，则，则在上为增函数，又，所以当时，，即，因此命题为真命题.所以为真命题，故选A.

5.B  【解析】由正弦定理得，所以，

因为，所以.故选B.

6.B  【解析】对任意的，故函数的定义域为，排除选项.

当时，；当时，，排除选项.

因为，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，排除D选项.故选B.

7.C  【解析】因为，所以，又，所以，所以，所以是周期为4的函数，因此.故选.

8.C  【解析】因为，所以，即，即，

又，所以.因为，所以，即，即.所以，故选.

9.B  【解析】由题知，因为是函数图象的一条对称轴，则，所以，又，所以的最小值为6，故选B.

10.A  【解析】由正弦定理，得，又，所以，整理得，所以，又，所以.由余弦定理，得，则.故选A.

11.C  【解析】因为，

所以函数的图象在上关于对称，令可得.

又因为，所以，

因为是定义域为的平增函数，，

所以当时，.

因为函数的图象关于对称，

所以当时，也有，所以，故选.

12.D  【解析】有两个零点方程有两个不同的根.令，则，

当时，单调递减；当时，单调递增.

所以，即.

由，得，令，

则，则在上是减函数，且.

所以复合函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为，所以要使函数有两个零点，则只需，故选D.

13.  【解析】由题知解得即，所以函数的定义域为.

14.  【解析】方法一

.故答案为.

方法二令，则，所以.故答案为.

15.  【解析】由余弦定理可得，化简得，则，又，所以，又，即，当且仅当时取等号，所以的面积，故答案为.

16.  【解析】由三视图知三棱锥如图所示，且，设为外接圆的圆心，半径为，由，得

由题知平面，设，三棱锥外接球的球心为，则平面，且，则，由得，所以.则三棱锥的体积.

设，则，

令，得，当时，单调递增，当，时，单调递减，所以当时，有最大值，，此时有最大值.

17.（1）由题知，即，解得或.

当时，，不是偶函数，舍去，

当时，，是偶函数，满足题意，所以.

（2）由（1）知，且图象的对称轴为，所以在上是增函数，则，解得或，又，所以.

18.（1）

由，得，所以，

则的最小正周期为.

令，得，

所以的单调递增区间为.

（2）因为，所以，

所以，解得，

所以使成立的的取值集合为.

19.（1）选择①：

，即

由正弦定理得，

在中，，则，

又，且，所以，则.

选择②：

，由三角形的面积公式及数量积的运算知，即

又，且，所以，则.

选择③：

，即，

所以..

在中，，所以.

（2）由（1）知，则，且，

即，

化简得，即.

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9.

20.（1）在中，，

整理得，

即，

所以，

因为，所以，

即，所以，

又因为，所以，

所以，解得.

（2）由（1）知，则，即，

又在锐角中，，故.

由正弦定理得，即，

则

因为，则，所以，

所以的取值范围为.

21.（1）的定义域为，

.

令，则，

当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）

则即，即.

令，则，

令，则，

所以在上单调递增.

所以存在唯一的，使得，.

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以

所以，则.

22.（1）由题知.

存在两个极值点等价于方程有两个不相等的实根，又，只需，即，

则实数的取值范围为.

（2）由（1）知，不妨设，则，

可变形为，则且，

所以.

设函数，则，

设，则当时，，所以在上单调递增，

又，则当时，，即，

所以在上单调递增，又，则当时，，

所以当时，.

因此

.

又，

令，则，

所以在上单调递增，，从而.

综上可得，.