吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案

吉林省顶级名校2022届高三上学期期中考试

数学试卷(文科)

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

    1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信

       息条形码粘贴区。

    2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书

       写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

   在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，，，（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，若，则（    ）

A．2 B．  C．6 D．

3．已知l、m是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“” 的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件  C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为，，，，，各等级人数所占比例依次为：等级15%，等级40%，等级30%，等级14%，等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取1000人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（    ）

A．275 B．400 C．550 D．450

5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二条限 C．第三象限 D．第四象限

7．在中，，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

8．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知球，过其球面上，，三点作截面，若点到该截面的距离是球半径的一半，且，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（    ）

A．     B．     C．      D．

                        第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．已知数列的前项和为，若，，则___________；

14．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______；

15．已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为_____；

16．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.

三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。

（一）必考题：第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

17.（本题满分12分）设等差数列的公差为，，为的等比中项.（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本题满分12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

（1）求，，，的值；

（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.

19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点.

（1）求证：AE∥平面PBC；

（2）求三棱锥P－EBC的体积.

20.（本题满分12分）已知函数（）．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）函数在区间上满足，求a的取值范围．

21.（本题满分12分）已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋＝0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝4，证明：直线AB过定点,，并求出该定点.

（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.

（1）求直线的直角坐标方程，及曲线的普通方程；

（2）若点，求的值.

23.（本题满分10分） 选修4－5: 不等式选讲 

已知函数.

（1）解不等式;

（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.

数学试卷(文科)参考答案

一、选择题

二、填空题

13.  8              14.  6           15. .          16. 32

三、解答题

17. （1）（2）

【详解】

解：（1），为与的等比中项，

，即，

由，所以，

∴数列的通项公式为.

（2）由（1）得，，

.

18. （1），，，；（2）.

【详解】

（1）由频率分布表可得

内的频数为，

内的频率为

内的频率为0.04

（2）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，

设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、

从中任取2人的所有基本事件为：

，，，，，，，，，，，，，，共15个.

至少一人来自第5组的基本事件有：

，，，，，，，，共9个.

所以.所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.

19. （1）证明见解析；（2）.

【详解】

(1)如图，取PC的中点F，连接EF，BF，

∵PE＝DE，PF＝CF，

∴EF∥CD，CD＝2EF，

∵AB∥CD，CD＝2AB，

∴AB∥EF，且EF＝AB.

∴四边形ABFE为平行四边形，∴AE∥BF.

∵BF⊂平面PBC，AE平面PBC.

故AE∥平面PBC.

(2)由(1)知AE∥平面PBC，

∴点E到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相等，

∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.

如图，取AB的中点O，连接PO，

∵PA＝PB，∴OP⊥AB.

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP⊂平面PAB，

∴OP⊥平面ABCD.

∵△PAB为等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，

∴OP＝1.

∵四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，

∴梯形ABCD的高为1，

∴S△ABC＝×2×1＝1.

故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.

20. （1）；（2）递减区间为，；递增区间为；（3）.

【详解】

解：（1）若，则，，

所以，即切线的斜率等于—2；

又，切点为；

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2）的定义域为，   

（），   

当或时，，在和上单调递减；

当时，，在单调递增；

所以的递减区间为，；递增区间为；

（3）①当，即时，在上单调递增，，

解得，因此；

②当，即时，在上单调递减，上单调递增，

，解得，因此；   

③当时，定义域是，但在要有定义，故排除；

④当，在上单调递减，

，与矛盾，因此无解；

综上所述，a的取值范围为．

21. （1）＋y2＝1.（2）见解析

【解析】

(1)∵等轴双曲线离心率为，∴椭圆C的离心率e＝.

∴e2＝＝，∴a2＝2b2.

∵由x－y＋＝0与圆x2＋y2＝b2相切，得

b＝1，∴a2＝2.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明 ①若直线AB的斜率不存在，设方程为x＝x0，则点A(x0，y0)，B(x0，－y0)．

由已知＝4，得x0＝－.

此时AB方程为x＝－.

②若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m，依题意m≠±1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由已知k1＋k2＝4，可得＋＝4，

∴＋＝4，即2k＋(m－1) ＝4，将x1＋x2，x1x2代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，

∴m＝－1.故直线AB的方程为y＝kx＋－1，即y＝k－1.

∴直线AB过定点.

综上，直线AB过定点.

22. （1）；；（2）2.

【详解】

（1）由，得，

将代入，

所以直线的直角坐标方程为，

由，消去参数得，所以曲线的普通方程为.

（2）显然点在直线：上，直线的参数方程为（为参数），代入曲线可得，即，

设，对应的参数分别为，，则，，

∴.

23. （1）；（2）.

【详解】

解：(1)①当时，，

所以

②当时，，

所以

③当时，，

所以

综上，不等式的解集为

(2)原式即

由绝对值三角不等式，，

即

，即