2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期8月月考数学试题含解析

这是一份2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期8月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期8月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.【详解】，，,故选：C2．函数的部分图像大致为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为，定义域为R所以所以为奇函数，且，排除AB；当时，，即，排除D故选：C.3．“”是“函数的定义域为R”的（       ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断.【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.i.时，对任意恒成立；ii. 时，只需，解得：；所以.记集合,.因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.故选：B.4．已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，因为，则，，可得，由已知、，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.5．已知，则（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用诱导公式化简后由商数关系弦化切，代入已知计算．【详解】.故选：D．6．已知函数，不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】确定函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性和单调性化简不等式，然后再构造新函数，利用函数的单调性得不等式的解集．【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，在上递增，则可得在上单调递增，可以变为，即，所以，，记，在上是增函数，且，所以的解集为，故选：C．7．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（       ）（）A．分 B．分 C．分 D．分【答案】B【分析】由可求得，将，，代入中，可求得增加分数，由此可得结果.【详解】由题意得：，；，该学生在高考中可能取得的总分约为分.故选：B.8．已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（　　）A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）【答案】A【分析】将题意转化为函数与函数在区间上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对数函数的不等式解法求解即可【详解】函数在区间上恰有8个零点，则函数与函数在区间上有8个交点由知，是R上周期为2的函数，作函数与函数在区间上的图像如下， 由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则；故，解得；故选：A．9．下列有关命题的说法正确的是（       ）A．若集合中只有两个子集，则B．的增区间为C．若终边上有一点，则D．函数是周期函数，最小正周期是【答案】D【分析】对于A，对方程中的是否为0分类讨论.对于B，先求此复合函数的定义域，再根据同增异减原则求增区间.对于C，根据点P坐标，求出，再利用诱导公式求解.对于D，画出函数图像即可判断.【详解】若集合只有两个子集，则集合只有一个元素，若，方程，得，满足一个元素的要求.若，即判别式，解得，所以或1，A错误.由得，所以函数的定义域为，在上递增，根据复合函数同增异减原则，增区间为，B错误.， 所以，C错误.的图像如下图所示： 最小正周期T=2π，D正确.故选：D 二、多选题10．已知点是角终边上一点，则（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答.【详解】因点是角终边上一点，则，于是得，A正确；，当时，，当时，，B不正确；又，则，C正确，D不正确.故选：AC11．已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，若，则下列结论正确的是（       ）A．是偶函数 B．C．的图象关于点对称 D．【答案】ABC【分析】由，得到，得出是周期为4的周期函数.根据函数的图象变换，得到函数的关于对称，得出函数为偶函数.结合，根据.进而求得，得到函数关于中心对称，即可判断.【详解】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；对于选项B：由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，可得，则，所以B正确；又因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；所以，所以，所以D错误.故选：ABC12．定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（       ）A．在处取得极大值，极大值为B．有两个零点C．若在上恒成立，则D．【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析即可判断作答.【详解】，由得：，即，令，而，则，即有，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在处取得极大值，A正确；显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确；，，令，，当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，因此，当时，，所以，C正确；因函数在上单调递增，而，则，又，则，即，D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 三、填空题13．已知，且，则____.【答案】1.4【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.【详解】解：，两边平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案为：.14．数列满足，且，则数列的前12项的和为__________．【答案】42【分析】利用递推公式得到两个子数列，一个等差数列，一个常数列，再分组进行求解.【详解】当为奇数时，化为，即是首项为1，公差为2的等差数列；当为偶数时，化为，即相邻两项之和为2；则数列的前12项和为．故答案为：42.15．设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是___________．【答案】【分析】不等式等价于，利用函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】因为是偶函数，所以等价于，又在上单调递减，所以在上单调递增．由得，或，又，所以，由得，由得，故解集为.故答案为：.16．已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．【答案】【分析】先化简函数的解析式，再转化为两函数图象的交点去判断函数有4个零点时t的取值范围.【详解】设，则，则，设，则，则，则，则，函数图象如下： 由，可得，或，由，可得，或，或，则仅有一根，又，，则，解之得，故答案为：. 四、解答题17．已知，均为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1），再用两角差的余弦公式计算；（2），再利用两角和的正弦公式计算.【详解】(1)因为，均为锐角，所以．又，，所以，．所以(2)根据第（1）问可知18．在数列中，，(1)设，求证：；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）依题意将转化为，将代入即可得到，结论成立；（2）根据第（1）问，运用累加法得到，进而求出；（3）根据第（1）、（2）问知，，，则，运用分组转化求和以及错位相减求和，得出数列的前项和.【详解】(1)由条件可知：，，，，；(2)由第（1）问可知，，当时，，当时，，当时，，当时，，以上各式相加，得，，，，即；(3)由第（1）、（2）问知，，，则，设数列的通项公式，前项和为，则，，两式相减，得，，数列的前项和.19．已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数a，使方程有两个不同的实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当时，无极值；当时，有极小值，无极大值；（2）存在，.【分析】(1)对函数求导,根据a的不同取值范围,进行分类讨论得出函数的单调区间,求出函数的极值；(2)根据(1)中函数的单调性,进行分类讨论,结合函数的极值的大小、,最后求出a的取值范围.【详解】解：（1）由题意知的定义域为，.①当时，，所以函数在上单调递减，此时函数无极值②当时，令，得.当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增.此时，函数有极小值，为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值.（2）假设存在实数a，使得方程有两个不同的实数根，即函数有两个不同的零点.①当时，由（1）知函数在上单调递减，所以方程不存在两个不同的实数根.②当时，.因为，所以由（1）知.，令，则，所以在上单调递减，所以，所以.此时，函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个不同的零点.③当时，，，此时函数仅有一个零点.④当时，，因为，所以由（1）知.令函数，则，当时，，单调递增，所以当时，，所以，则.又，所以函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个不同的零点综上所述，当时，函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.属于难题.20．已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用可得，从而可求及.（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.【详解】(1)时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，所以，(2)当时，，原式成立．当时， 所以．21．已知函数（1）若直线为的切线，求的值．（2）若，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）0；（2）【分析】（1）设切点为，则可得且，构建新函数，讨论其单调性后可得及．（2）原不等式等价于，构建新函数，其导数为，就和分类讨论的零点、符号及其的单调性后可得实数的取值范围.【详解】（1）设切点为，，∴，令，则，当时，，在上为增函数；       当时，，在上为减函数；所以，所以，又，所以．（2），恒成立，．令，．，,当时，，所以在上为增函数，， ①若，则当时，故在上为增函数，故时，有即恒成立，满足题意.②若，因为为上的增函数且，，令，其中，，所以在为增函数，所以，故存在，使得且时，，在为减函数，故当时，，矛盾，舍去.综上可得：．【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 含参数的函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.22．已知函数，其导函数为.（1）讨论函数在定义域内的单调性；（2）已知，设函数.①证明：函数在上存在唯一极值点；②在①的条件下，当时，求的范围.【答案】（1）减区间为；增区间为；（2）①证明见解析；②.【分析】（1）求导后发现的正负由决定，利用导数研究单调递增，又，从而逐层回推，得到的单调性；（2）①求得，令，利用导数研究，即单调性，利用零点存在定理得到存在，使得，由此得到的单调性，从而证明结论；②先求得，，利用导数研究单调性，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）的定义域为：，，设，则，当时，；，，所以，单调递增，又，所以上，上所以，的减区间为，增区间为；（2）①，，令，则令，，由，，，所以，在递减；在递增.即：在递减；在递增.又，所以，存在，使得，从而有，在递减；在递增，在定义域内有唯一的零点.②证明：，在递增，，所以，，，设，，在递减，则的取值范围为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，求取值范围问题，难度较大，关键难点在于多次求导和结合相关函数的零点判定有关单调性和取值范围，考查推理、计算能力.