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江苏省南京市第十二初级中学2022-2023学年七年级上学期10月份月考数学试题(含答案)
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这是一份江苏省南京市第十二初级中学2022-2023学年七年级上学期10月份月考数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京市第十二初级中学2022-2023学年七年级上学期
10月份月考数学试题（含答案与详细解析）
一、选择题（本题共6小题，每小题2分）
1．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（+1）+（﹣2）＝1 B．（﹣1）﹣（+2）＝1
C．（﹣3）÷（﹣）＝1 D．（﹣1）2018＝1
2．（2分）点A在数轴上表示+2，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．5 D．﹣1 或3
3．（2分）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．23和32 B．（﹣2）2和﹣22
C．﹣33和（﹣3）3 D．（）2和
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．正分数、零、负分数统称分数
C．零不是自然数，但它是有理数
D．一个有理数不是整数就是分数
5．（2分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）
A．b＜a B．|b|＞|a| C．a+b＞0 D．ab＜0
6．（2分）观察如图小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放下去，那么第10个图形中小黑点的个数是（ ）
A．111 B．110 C．91 D．92
二、填空题（本题共10题，每小题2分）
7．（2分）﹣5的相反数是 ，的倒数为 ．
8．（2分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨 ．
9．（2分）如果一个数的平方等于，那么这个数是 ．
10．（2分）比较大小：﹣π ﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
11．（2分）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ．
12．（2分）已知|a|＝5，|b|＝2，且a+b＜0 ．
13．（2分）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5 ．
14．（2分）在﹣和之间的整数是 ．
15．（2分）在纸面上有一数轴，折叠纸面，使数﹣3表示的点与数7表示的点重合 表示的点重合．
16．（2分）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后 ．
三、解答题（共68分）
17．请把下列各数填入相应的集合中：
，5.2，0，，﹣22，﹣0.3030030003…，﹣．
正数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
18．计算：
（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；
（2）（﹣7）÷（﹣）×（﹣）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣24）；
（4）﹣14﹣×﹣[2﹣（﹣3）2]．
19．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来．
﹣（﹣5），﹣1.5，0，﹣2，．
20．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，+13，﹣10，+3，﹣13
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
21．有8筐萝卜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下：
第一筐
第二筐
第三筐
第四筐
第五筐
第六筐
第七筐
第八筐
1.2
﹣3
0.8
﹣0.5
1
﹣1.5
﹣2
﹣1
回答下列问题：
（1）这8筐萝卜中，最接近标准重量的这筐萝卜重 千克；
（2）这8筐萝卜中，有两筐萝卜的重量相差最大，这两筐萝卜重量相差 千克；
（3）若这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得多少元？
22．如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．
（1）填空：A→C（ ， ）；C→B（ ， ）；
（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从A处去Q处的行走路线依次为：（+3，+1），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图2上标出点Q的位置．
23．规定一种新运算法则：a⊗b＝a2﹣ab．例如：2⊗3＝22﹣2×3＝﹣2．请用上述运算法则计算下面各式的值．
（1）（﹣3）⊗（﹣4）；
（2）4⊗（2⊗9）．
24．数学老师布置了一道思考题，计算：（﹣）÷（﹣）
小华是这样做的：（﹣）÷（﹣）＝﹣÷﹣（﹣）÷＝﹣
小明的解法：原式的倒数为：（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6
所以（﹣）÷（﹣）＝
（1）请你判断： 同学的解答正确．
（2）请你运用上述两位同学中的正确解法解答下面的问题，计算：（﹣）÷（﹣+）．
25．在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？
（2）填空：
①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为 ；
②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为 ；
（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数，请说明理由．
26．概率学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③ 、（﹣）③ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）的圈4次方＝ ；
（﹣）的圈6次方＝ ；
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝ ；
（5）算一算：24÷23+（﹣8）×2③．
江苏省南京市第十二初级中学2022-2023学年七年级上学期
10月份月考数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，每小题2分）
1．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（+1）+（﹣2）＝1 B．（﹣1）﹣（+2）＝1
C．（﹣3）÷（﹣）＝1 D．（﹣1）2018＝1
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣1；
B、原式＝﹣1﹣8＝﹣3；
C、原式＝﹣3×（﹣6）＝9；
D、原式＝1，
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2分）点A在数轴上表示+2，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．5 D．﹣1 或3
【分析】根据平移的性质，结合数轴的特点，计算求得点B所表示的实数．
【解答】解：点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B．
故选：A．
【点评】考查了数轴，根据A点平移的单位数，计算出点B所表示的实数．
3．（2分）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．23和32 B．（﹣2）2和﹣22
C．﹣33和（﹣3）3 D．（）2和
【分析】根据各个选项中的数据可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵23＝7，32＝6，8≠9，
∵（﹣7）2＝4，﹣52＝﹣4，故选项B不符合题意，
∵﹣33＝﹣27，（﹣3）8＝﹣27，故选项C符合题意，
∵，，故选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确有理数乘方的计算方法．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．正分数、零、负分数统称分数
C．零不是自然数，但它是有理数
D．一个有理数不是整数就是分数
【分析】根据有理数分类判断即可．
【解答】解：A．正有理数，故本选项不合题意；
B．正分数和负分数统称分数；
C．零是自然数，故本选项不合题意；
D．一个有理数不是整数就是分数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，整数和分数统称有理数；有理数也可以分为正有理数、0和负有理数．
5．（2分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）
A．b＜a B．|b|＞|a| C．a+b＞0 D．ab＜0
【分析】根据图示，可得b＜﹣1，0＜a＜1，再根据绝对值的含义和求法，以及有理数的加减乘除的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵b＜﹣1，0＜a＜6，
∴b＜a，
∴选项A不符合题意；
∵b＜﹣1，0＜a＜8，
∴|b|＞1，0＜|a|＜8，
∴|b|＞|a|，
∴选项B不符合题意；
∵b＜﹣1，0＜a＜5，
∴a+b＜0，
∴选项C符合题意；
∵b＜﹣1，4＜a＜1，
∴ab＜0，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴的特征，以及绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
6．（2分）观察如图小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放下去，那么第10个图形中小黑点的个数是（ ）
A．111 B．110 C．91 D．92
【分析】根据图形的变化先写出前几个图形中小黑点的个数，然后据此即可解答．
【解答】解：第1个图形中小黑点的个数是：0×7+1＝1；
第8个图形中小黑点的个数是：1×2+8＝3；
第3个图形中小黑点的个数是：2×3+1＝8；
第4个图形中小黑点的个数是：3×8+1＝13；
第个5图形中小黑点的个数是：2×5+1＝21；
…
所以第10个图形中小黑点的个数是：7×10+1＝91．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
二、填空题（本题共10题，每小题2分）
7．（2分）﹣5的相反数是 5 ，的倒数为 ﹣ ．
【分析】根据相反数及倒数的定义，即可得出答案．
【解答】解：﹣5的相反数是5，﹣的倒数是﹣．
故答案为：5，﹣．
【点评】本题考查了倒数及相反数的知识，熟练倒数及相反数的定义是关键．
8．（2分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨 8.2×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8200000用科学记数法表示为8.2×103．
故答案为：8.2×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）如果一个数的平方等于，那么这个数是 ± ．
【分析】根据乘方的定义解决此题．
【解答】解：．
∴这个数是±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键．
10．（2分）比较大小：﹣π ＜ ﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先比较π和3.14的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”即可比较﹣π＜﹣3.14的大小．
【解答】解：因为π是无理数所以π＞3.14，
故﹣π＜﹣3.14．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
11．（2分）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ﹣2 ．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是0或负数．
故答案为：﹣2（答案不唯一）
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了相反数．
12．（2分）已知|a|＝5，|b|＝2，且a+b＜0 10或﹣10 ．
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应情况，然后相乘即可得解．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2，
∴a＝±7，b＝±2，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣7时，b＝2或﹣2，
ab＝（﹣6）×2＝﹣10，
ab＝（﹣5）×（﹣8）＝10，
a＝5不符合．
综上所述，ab的值为10或﹣10．
故答案为：10或﹣10．
【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．
13．（2分）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5 1 ．
【分析】将5输入，按照运算程序得结果为（﹣3），再将﹣3输入，按照运算程序得结果为1．
【解答】解：∵[5﹣（﹣1）]÷（﹣7）
＝﹣6÷2
＝﹣2，
[﹣3﹣（﹣1）]÷（﹣5）
＝（﹣2）÷（﹣2）
＝8．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
14．（2分）在﹣和之间的整数是 ﹣2，﹣1，0 ．
【分析】根据有理数大小比较，即可解答．
【解答】解：∵﹣＜﹣6＜﹣1＜0＜，
∴在﹣和之间的整数是﹣7，0，
故答案为：﹣2，﹣3，0．
【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较是解题的关键．
15．（2分）在纸面上有一数轴，折叠纸面，使数﹣3表示的点与数7表示的点重合 1 表示的点重合．
【分析】找出中点表示的数，再观察表示3与几点关于这个中点对应便可．
【解答】解：如图．
由图可知：数﹣3表示的点与数7表示的点关于数7表示的点对称．
∴数3表示的点与数1表示的点重合．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查实数在数轴上对应的点，熟练掌握实数在数轴上对应的点是解决本题的关键．
16．（2分）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后 ．
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解．
【解答】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，
…
则跳动n次后，即跳到了离原点的处，
则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为．
故答案为：．
【点评】考查了数轴，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
三、解答题（共68分）
17．请把下列各数填入相应的集合中：
，5.2，0，，﹣22，﹣0.3030030003…，﹣．
正数集合：{ ，5.2，，2005 …}；
分数集合：{ ，5.2，，﹣ …}；
整数集合：{ 0，﹣22，2005 …}；
有理数集合：{ ，5.2，0，，﹣22，2005，﹣ …}．
【分析】根据有理数的分类，可得答案．
【解答】解：，5.2，0，，2005，﹣．
正数集合：{，5.5，，…}；
分数集合：{，5.2，，﹣；
整数集合：{7，﹣22，…}；
有理数集合：{，8.2，0，，2005，﹣．
故答案案为：，5.5，；
，5.2，，﹣；
3，﹣22；
，7.2，0，，2005，﹣．
【点评】本题考查了有理数以及正数和负数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．计算：
（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；
（2）（﹣7）÷（﹣）×（﹣）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣24）；
（4）﹣14﹣×﹣[2﹣（﹣3）2]．
【分析】（1）先化简符号，再计算；
（2）把除化为乘，再根据分数乘法法则计算；
（3）用乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝27﹣18+7﹣32
＝﹣16；
（2）原式＝﹣7×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（3）原式＝18+20﹣15
＝23；
（4）原式＝﹣1﹣×（2﹣3）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则和运算律．
19．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来．
﹣（﹣5），﹣1.5，0，﹣2，．
【分析】准确在数轴上找到各数对应的点，即可解答．
【解答】解：把上列各数在数轴上表示如图所示：
∴﹣2＜﹣1.5＜3＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
20．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，+13，﹣10，+3，﹣13
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：（1）根据题意：规定向东为正，向西为负：则（+15）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（﹣12）+（+3）+（﹣13）+（﹣17）＝﹣25千米，
故小王在出车地点的西方，距离是25千米；
（2）这天下午汽车走的路程为|+15|+|﹣3|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|﹣17|＝87，若汽车耗油量为0.6升/千米，
故这天下午汽车共耗油34.8升．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量．
21．有8筐萝卜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下：
第一筐
第二筐
第三筐
第四筐
第五筐
第六筐
第七筐
第八筐
1.2
﹣3
0.8
﹣0.5
1
﹣1.5
﹣2
﹣1
回答下列问题：
（1）这8筐萝卜中，最接近标准重量的这筐萝卜重 24.5 千克；
（2）这8筐萝卜中，有两筐萝卜的重量相差最大，这两筐萝卜重量相差 4.2 千克；
（3）若这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得多少元？
【分析】（1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量；
（2）与标准重量比较，判断出8筐萝卜中最重的并求出其重量，然后判断出最轻的并计算其重量，求其差即得；
（3）先求出8筐萝卜的总质量，再根据“总价＝单价×数量”计算即可．
【解答】解：（1）该组数据中，﹣0.5的绝对值最小，是第8筐，
这筐萝卜重25﹣0.5＝24.7（千克）．
故答案是24.5；
（2）最重的一筐是第1筐，重量是25+5.2＝26.2（千克）；
最轻的一筐是第3筐，重量是25﹣3＝22（千克）；
最重的一筐比最轻的一筐重：26.2﹣22＝7.2（千克）
故答案是4.8；
（3）1.2﹣3+0.8﹣7.5+1﹣3.5﹣2﹣6＝﹣5（千克），
（25×8﹣4）×2＝390（元）．
答：这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得390元．
【点评】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．
22．如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．
（1）填空：A→C（ +3 ， +4 ）；C→B（ ﹣2 ， ﹣1 ）；
（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从A处去Q处的行走路线依次为：（+3，+1），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图2上标出点Q的位置．
【分析】（1）根据题意，向上向右为正，向下向左为负，进而得出答案；
（2）根据甲虫的行走路线，借助网格求出总路程即可；
（3）结合各点变化得出其位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得出：A→C（+3，+4），﹣6）
故答案为：+3，+4，﹣5；
（2）∵甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，
∴甲虫走过的路程为：1+3+4+1+1+3+2+4＝16；
（3）如图8所示：
【点评】此题主要考查了新概念，利用定义得出各点变化规律求出是解题关键．
23．规定一种新运算法则：a⊗b＝a2﹣ab．例如：2⊗3＝22﹣2×3＝﹣2．请用上述运算法则计算下面各式的值．
（1）（﹣3）⊗（﹣4）；
（2）4⊗（2⊗9）．
【分析】（1）根据a⊗b＝a2﹣ab，用﹣3的平方减去﹣3与﹣4的积，求出（﹣3）⊗（﹣4）的值是多少即可．
（2）根据a⊗b＝a2﹣ab，求出2⊗9的值是多少，进而求出4⊗（2⊗9）的值是多少即可．
【解答】解：（1）因为a⊗b＝a2﹣ab，
所以（﹣3）⊗（﹣3）
＝（﹣3）2﹣（﹣8）×（﹣4）
＝9﹣12
＝﹣2；
（2）4⊗（2⊗5）
＝4⊗（23﹣2×9）
＝6⊗（4﹣18）
＝4⊗（﹣14）
＝22﹣4×（﹣14）
＝16+56
＝72．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
24．数学老师布置了一道思考题，计算：（﹣）÷（﹣）
小华是这样做的：（﹣）÷（﹣）＝﹣÷﹣（﹣）÷＝﹣
小明的解法：原式的倒数为：（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6
所以（﹣）÷（﹣）＝
（1）请你判断： 小明 同学的解答正确．
（2）请你运用上述两位同学中的正确解法解答下面的问题，计算：（﹣）÷（﹣+）．
【分析】（1）观察解答过程，根据有理数运算律可得答案；
（2）仿照小明的解答可解得答案．
【解答】解：（1）小明同学的解答正确，
故答案为：小明；
（2）原式的倒数是：
（﹣+）÷（﹣）
＝（﹣+）×（﹣24）
＝﹣8+5﹣9
＝﹣13，
∴（﹣）÷（﹣+．
【点评】本题考查考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算的法则．
25．在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？
（2）填空：
①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为 ；
②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为 1或﹣3 ；
（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数，请说明理由．
【分析】（1）根据有理数的概念求出a，再根据非负数的性质列式求出b、c的值，然后写出A、B、C三点表示的数即可；
（2）①设点D表示的数为x，然后表示出点D到点A、C的距离并列出方程求解即可；
②设点E表示的数为y，然后列出绝对值方程求解即可；
（3）设点F表示的数为z，然后列出绝对值方程，再求解即可．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a＝﹣1，
由题意得，b+4＝2，
解得b＝﹣4，c＝2，
所以，点A、B、﹣8、2；
（2）①设点D表示的数为x，
由题意得，x﹣（﹣1）＝2﹣x，
解得x＝，
所以，点D表示的数为；
②设点E表示的数为y，
由题意得，|y﹣（﹣1）|＝4，
所以，y+1＝2或y+2＝﹣2，
解得y＝1或y＝﹣3，
所以，点E表示的数为1或﹣3；
故答案为：；1或﹣4．
（3）设点F表示的数为z，
∵F到点A的距离为|z﹣（﹣1）|，到点B的距离为|z﹣（﹣4）|，
∴|z﹣（﹣5）|＝2|z﹣（﹣4）|，
所以，z+7＝2（z+4）或z+5＝﹣2（z+4），
解得z＝﹣4或z＝﹣3，
所以，点F表示的数为﹣7或﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，数轴上两点间的距离的表示，准确列出方程是解题的关键．
26．概率学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③ 、（﹣）③ ﹣2 ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 C ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）的圈4次方＝ （﹣）2 ；
（﹣）的圈6次方＝ （﹣）4 ；
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝ （）n﹣2 ；
（5）算一算：24÷23+（﹣8）×2③．
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
（3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝（）n﹣2；
（5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序．
【解答】解：（1）2③＝2÷6÷2＝，
（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）＝﹣7．
故答案为：，﹣4；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除；故选项A说法正确；
B、因为多少个1相除都是4，1ⓝ都等于1；故选项B说法正确；
C、5④＝3÷3÷7÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则 3④≠4③；故选项C说法错误；
D、负数的圈奇数次方，则结果是负数，相当于偶数个负数相除．故选项D说法正确；
故答案为：C；
（3）∵将6④写成幂的形式为，2④＝2÷6÷2÷2＝6×××＝2×（）3＝（）2，
∴（﹣3）的圈5次方＝（﹣）6，
5的圈5次方＝（）3；
的圈6次方＝（﹣）4．
故答案为：（﹣）2，（﹣）4；
（4）aⓝ＝a÷a÷a÷•••÷a＝a××ו••×）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2；
（5）24÷23+（﹣5）×2③
＝24÷8+（﹣6）×
＝7﹣4
＝﹣1．
【点评】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．
江苏省南京市第十二初级中学2022-2023学年七年级上学期
10月份月考数学试题（含答案与详细解析）
一、选择题（本题共6小题，每小题2分）
1．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（+1）+（﹣2）＝1 B．（﹣1）﹣（+2）＝1
C．（﹣3）÷（﹣）＝1 D．（﹣1）2018＝1
2．（2分）点A在数轴上表示+2，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．5 D．﹣1 或3
3．（2分）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．23和32 B．（﹣2）2和﹣22
C．﹣33和（﹣3）3 D．（）2和
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．正分数、零、负分数统称分数
C．零不是自然数，但它是有理数
D．一个有理数不是整数就是分数
5．（2分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）
A．b＜a B．|b|＞|a| C．a+b＞0 D．ab＜0
6．（2分）观察如图小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放下去，那么第10个图形中小黑点的个数是（ ）
A．111 B．110 C．91 D．92
二、填空题（本题共10题，每小题2分）
7．（2分）﹣5的相反数是 ，的倒数为 ．
8．（2分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨 ．
9．（2分）如果一个数的平方等于，那么这个数是 ．
10．（2分）比较大小：﹣π ﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
11．（2分）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ．
12．（2分）已知|a|＝5，|b|＝2，且a+b＜0 ．
13．（2分）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5 ．
14．（2分）在﹣和之间的整数是 ．
15．（2分）在纸面上有一数轴，折叠纸面，使数﹣3表示的点与数7表示的点重合 表示的点重合．
16．（2分）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后 ．
三、解答题（共68分）
17．请把下列各数填入相应的集合中：
，5.2，0，，﹣22，﹣0.3030030003…，﹣．
正数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
18．计算：
（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；
（2）（﹣7）÷（﹣）×（﹣）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣24）；
（4）﹣14﹣×﹣[2﹣（﹣3）2]．
19．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来．
﹣（﹣5），﹣1.5，0，﹣2，．
20．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，+13，﹣10，+3，﹣13
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
21．有8筐萝卜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下：
第一筐
第二筐
第三筐
第四筐
第五筐
第六筐
第七筐
第八筐
1.2
﹣3
0.8
﹣0.5
1
﹣1.5
﹣2
﹣1
回答下列问题：
（1）这8筐萝卜中，最接近标准重量的这筐萝卜重 千克；
（2）这8筐萝卜中，有两筐萝卜的重量相差最大，这两筐萝卜重量相差 千克；
（3）若这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得多少元？
22．如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．
（1）填空：A→C（ ， ）；C→B（ ， ）；
（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从A处去Q处的行走路线依次为：（+3，+1），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图2上标出点Q的位置．
23．规定一种新运算法则：a⊗b＝a2﹣ab．例如：2⊗3＝22﹣2×3＝﹣2．请用上述运算法则计算下面各式的值．
（1）（﹣3）⊗（﹣4）；
（2）4⊗（2⊗9）．
24．数学老师布置了一道思考题，计算：（﹣）÷（﹣）
小华是这样做的：（﹣）÷（﹣）＝﹣÷﹣（﹣）÷＝﹣
小明的解法：原式的倒数为：（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6
所以（﹣）÷（﹣）＝
（1）请你判断： 同学的解答正确．
（2）请你运用上述两位同学中的正确解法解答下面的问题，计算：（﹣）÷（﹣+）．
25．在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？
（2）填空：
①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为 ；
②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为 ；
（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数，请说明理由．
26．概率学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③ 、（﹣）③ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）的圈4次方＝ ；
（﹣）的圈6次方＝ ；
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝ ；
（5）算一算：24÷23+（﹣8）×2③．
江苏省南京市第十二初级中学2022-2023学年七年级上学期
10月份月考数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，每小题2分）
1．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（+1）+（﹣2）＝1 B．（﹣1）﹣（+2）＝1
C．（﹣3）÷（﹣）＝1 D．（﹣1）2018＝1
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣1；
B、原式＝﹣1﹣8＝﹣3；
C、原式＝﹣3×（﹣6）＝9；
D、原式＝1，
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2分）点A在数轴上表示+2，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．5 D．﹣1 或3
【分析】根据平移的性质，结合数轴的特点，计算求得点B所表示的实数．
【解答】解：点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B．
故选：A．
【点评】考查了数轴，根据A点平移的单位数，计算出点B所表示的实数．
3．（2分）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．23和32 B．（﹣2）2和﹣22
C．﹣33和（﹣3）3 D．（）2和
【分析】根据各个选项中的数据可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵23＝7，32＝6，8≠9，
∵（﹣7）2＝4，﹣52＝﹣4，故选项B不符合题意，
∵﹣33＝﹣27，（﹣3）8＝﹣27，故选项C符合题意，
∵，，故选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确有理数乘方的计算方法．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．正分数、零、负分数统称分数
C．零不是自然数，但它是有理数
D．一个有理数不是整数就是分数
【分析】根据有理数分类判断即可．
【解答】解：A．正有理数，故本选项不合题意；
B．正分数和负分数统称分数；
C．零是自然数，故本选项不合题意；
D．一个有理数不是整数就是分数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，整数和分数统称有理数；有理数也可以分为正有理数、0和负有理数．
5．（2分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ）
A．b＜a B．|b|＞|a| C．a+b＞0 D．ab＜0
【分析】根据图示，可得b＜﹣1，0＜a＜1，再根据绝对值的含义和求法，以及有理数的加减乘除的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵b＜﹣1，0＜a＜6，
∴b＜a，
∴选项A不符合题意；
∵b＜﹣1，0＜a＜8，
∴|b|＞1，0＜|a|＜8，
∴|b|＞|a|，
∴选项B不符合题意；
∵b＜﹣1，0＜a＜5，
∴a+b＜0，
∴选项C符合题意；
∵b＜﹣1，4＜a＜1，
∴ab＜0，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴的特征，以及绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
6．（2分）观察如图小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放下去，那么第10个图形中小黑点的个数是（ ）
A．111 B．110 C．91 D．92
【分析】根据图形的变化先写出前几个图形中小黑点的个数，然后据此即可解答．
【解答】解：第1个图形中小黑点的个数是：0×7+1＝1；
第8个图形中小黑点的个数是：1×2+8＝3；
第3个图形中小黑点的个数是：2×3+1＝8；
第4个图形中小黑点的个数是：3×8+1＝13；
第个5图形中小黑点的个数是：2×5+1＝21；
…
所以第10个图形中小黑点的个数是：7×10+1＝91．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
二、填空题（本题共10题，每小题2分）
7．（2分）﹣5的相反数是 5 ，的倒数为 ﹣ ．
【分析】根据相反数及倒数的定义，即可得出答案．
【解答】解：﹣5的相反数是5，﹣的倒数是﹣．
故答案为：5，﹣．
【点评】本题考查了倒数及相反数的知识，熟练倒数及相反数的定义是关键．
8．（2分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨 8.2×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8200000用科学记数法表示为8.2×103．
故答案为：8.2×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（2分）如果一个数的平方等于，那么这个数是 ± ．
【分析】根据乘方的定义解决此题．
【解答】解：．
∴这个数是±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键．
10．（2分）比较大小：﹣π ＜ ﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先比较π和3.14的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”即可比较﹣π＜﹣3.14的大小．
【解答】解：因为π是无理数所以π＞3.14，
故﹣π＜﹣3.14．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
11．（2分）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ﹣2 ．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是0或负数．
故答案为：﹣2（答案不唯一）
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了相反数．
12．（2分）已知|a|＝5，|b|＝2，且a+b＜0 10或﹣10 ．
【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应情况，然后相乘即可得解．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2，
∴a＝±7，b＝±2，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣7时，b＝2或﹣2，
ab＝（﹣6）×2＝﹣10，
ab＝（﹣5）×（﹣8）＝10，
a＝5不符合．
综上所述，ab的值为10或﹣10．
故答案为：10或﹣10．
【点评】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．
13．（2分）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5 1 ．
【分析】将5输入，按照运算程序得结果为（﹣3），再将﹣3输入，按照运算程序得结果为1．
【解答】解：∵[5﹣（﹣1）]÷（﹣7）
＝﹣6÷2
＝﹣2，
[﹣3﹣（﹣1）]÷（﹣5）
＝（﹣2）÷（﹣2）
＝8．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
14．（2分）在﹣和之间的整数是 ﹣2，﹣1，0 ．
【分析】根据有理数大小比较，即可解答．
【解答】解：∵﹣＜﹣6＜﹣1＜0＜，
∴在﹣和之间的整数是﹣7，0，
故答案为：﹣2，﹣3，0．
【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较是解题的关键．
15．（2分）在纸面上有一数轴，折叠纸面，使数﹣3表示的点与数7表示的点重合 1 表示的点重合．
【分析】找出中点表示的数，再观察表示3与几点关于这个中点对应便可．
【解答】解：如图．
由图可知：数﹣3表示的点与数7表示的点关于数7表示的点对称．
∴数3表示的点与数1表示的点重合．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查实数在数轴上对应的点，熟练掌握实数在数轴上对应的点是解决本题的关键．
16．（2分）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后 ．
【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解．
【解答】解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，
…
则跳动n次后，即跳到了离原点的处，
则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为．
故答案为：．
【点评】考查了数轴，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．
三、解答题（共68分）
17．请把下列各数填入相应的集合中：
，5.2，0，，﹣22，﹣0.3030030003…，﹣．
正数集合：{ ，5.2，，2005 …}；
分数集合：{ ，5.2，，﹣ …}；
整数集合：{ 0，﹣22，2005 …}；
有理数集合：{ ，5.2，0，，﹣22，2005，﹣ …}．
【分析】根据有理数的分类，可得答案．
【解答】解：，5.2，0，，2005，﹣．
正数集合：{，5.5，，…}；
分数集合：{，5.2，，﹣；
整数集合：{7，﹣22，…}；
有理数集合：{，8.2，0，，2005，﹣．
故答案案为：，5.5，；
，5.2，，﹣；
3，﹣22；
，7.2，0，，2005，﹣．
【点评】本题考查了有理数以及正数和负数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．计算：
（1）27﹣18+（﹣7）﹣32；
（2）（﹣7）÷（﹣）×（﹣）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣24）；
（4）﹣14﹣×﹣[2﹣（﹣3）2]．
【分析】（1）先化简符号，再计算；
（2）把除化为乘，再根据分数乘法法则计算；
（3）用乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式＝27﹣18+7﹣32
＝﹣16；
（2）原式＝﹣7×（﹣）×（﹣）
＝﹣；
（3）原式＝18+20﹣15
＝23；
（4）原式＝﹣1﹣×（2﹣3）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则和运算律．
19．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来．
﹣（﹣5），﹣1.5，0，﹣2，．
【分析】准确在数轴上找到各数对应的点，即可解答．
【解答】解：把上列各数在数轴上表示如图所示：
∴﹣2＜﹣1.5＜3＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
20．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，+13，﹣10，+3，﹣13
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：（1）根据题意：规定向东为正，向西为负：则（+15）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（﹣12）+（+3）+（﹣13）+（﹣17）＝﹣25千米，
故小王在出车地点的西方，距离是25千米；
（2）这天下午汽车走的路程为|+15|+|﹣3|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|﹣17|＝87，若汽车耗油量为0.6升/千米，
故这天下午汽车共耗油34.8升．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量．
21．有8筐萝卜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如下：
第一筐
第二筐
第三筐
第四筐
第五筐
第六筐
第七筐
第八筐
1.2
﹣3
0.8
﹣0.5
1
﹣1.5
﹣2
﹣1
回答下列问题：
（1）这8筐萝卜中，最接近标准重量的这筐萝卜重 24.5 千克；
（2）这8筐萝卜中，有两筐萝卜的重量相差最大，这两筐萝卜重量相差 4.2 千克；
（3）若这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得多少元？
【分析】（1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量；
（2）与标准重量比较，判断出8筐萝卜中最重的并求出其重量，然后判断出最轻的并计算其重量，求其差即得；
（3）先求出8筐萝卜的总质量，再根据“总价＝单价×数量”计算即可．
【解答】解：（1）该组数据中，﹣0.5的绝对值最小，是第8筐，
这筐萝卜重25﹣0.5＝24.7（千克）．
故答案是24.5；
（2）最重的一筐是第1筐，重量是25+5.2＝26.2（千克）；
最轻的一筐是第3筐，重量是25﹣3＝22（千克）；
最重的一筐比最轻的一筐重：26.2﹣22＝7.2（千克）
故答案是4.8；
（3）1.2﹣3+0.8﹣7.5+1﹣3.5﹣2﹣6＝﹣5（千克），
（25×8﹣4）×2＝390（元）．
答：这批萝卜以2元/千克全部售出，可售得390元．
【点评】本题考查了有理数的运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．
22．如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，向下向左为负．例如：从A到B记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．
（1）填空：A→C（ +3 ， +4 ）；C→B（ ﹣2 ， ﹣1 ）；
（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从A处去Q处的行走路线依次为：（+3，+1），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图2上标出点Q的位置．
【分析】（1）根据题意，向上向右为正，向下向左为负，进而得出答案；
（2）根据甲虫的行走路线，借助网格求出总路程即可；
（3）结合各点变化得出其位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得出：A→C（+3，+4），﹣6）
故答案为：+3，+4，﹣5；
（2）∵甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，
∴甲虫走过的路程为：1+3+4+1+1+3+2+4＝16；
（3）如图8所示：
【点评】此题主要考查了新概念，利用定义得出各点变化规律求出是解题关键．
23．规定一种新运算法则：a⊗b＝a2﹣ab．例如：2⊗3＝22﹣2×3＝﹣2．请用上述运算法则计算下面各式的值．
（1）（﹣3）⊗（﹣4）；
（2）4⊗（2⊗9）．
【分析】（1）根据a⊗b＝a2﹣ab，用﹣3的平方减去﹣3与﹣4的积，求出（﹣3）⊗（﹣4）的值是多少即可．
（2）根据a⊗b＝a2﹣ab，求出2⊗9的值是多少，进而求出4⊗（2⊗9）的值是多少即可．
【解答】解：（1）因为a⊗b＝a2﹣ab，
所以（﹣3）⊗（﹣3）
＝（﹣3）2﹣（﹣8）×（﹣4）
＝9﹣12
＝﹣2；
（2）4⊗（2⊗5）
＝4⊗（23﹣2×9）
＝6⊗（4﹣18）
＝4⊗（﹣14）
＝22﹣4×（﹣14）
＝16+56
＝72．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
24．数学老师布置了一道思考题，计算：（﹣）÷（﹣）
小华是这样做的：（﹣）÷（﹣）＝﹣÷﹣（﹣）÷＝﹣
小明的解法：原式的倒数为：（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6
所以（﹣）÷（﹣）＝
（1）请你判断： 小明 同学的解答正确．
（2）请你运用上述两位同学中的正确解法解答下面的问题，计算：（﹣）÷（﹣+）．
【分析】（1）观察解答过程，根据有理数运算律可得答案；
（2）仿照小明的解答可解得答案．
【解答】解：（1）小明同学的解答正确，
故答案为：小明；
（2）原式的倒数是：
（﹣+）÷（﹣）
＝（﹣+）×（﹣24）
＝﹣8+5﹣9
＝﹣13，
∴（﹣）÷（﹣+．
【点评】本题考查考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算的法则．
25．在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．
（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？
（2）填空：
①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为 ；
②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为 1或﹣3 ；
（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数，请说明理由．
【分析】（1）根据有理数的概念求出a，再根据非负数的性质列式求出b、c的值，然后写出A、B、C三点表示的数即可；
（2）①设点D表示的数为x，然后表示出点D到点A、C的距离并列出方程求解即可；
②设点E表示的数为y，然后列出绝对值方程求解即可；
（3）设点F表示的数为z，然后列出绝对值方程，再求解即可．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a＝﹣1，
由题意得，b+4＝2，
解得b＝﹣4，c＝2，
所以，点A、B、﹣8、2；
（2）①设点D表示的数为x，
由题意得，x﹣（﹣1）＝2﹣x，
解得x＝，
所以，点D表示的数为；
②设点E表示的数为y，
由题意得，|y﹣（﹣1）|＝4，
所以，y+1＝2或y+2＝﹣2，
解得y＝1或y＝﹣3，
所以，点E表示的数为1或﹣3；
故答案为：；1或﹣4．
（3）设点F表示的数为z，
∵F到点A的距离为|z﹣（﹣1）|，到点B的距离为|z﹣（﹣4）|，
∴|z﹣（﹣5）|＝2|z﹣（﹣4）|，
所以，z+7＝2（z+4）或z+5＝﹣2（z+4），
解得z＝﹣4或z＝﹣3，
所以，点F表示的数为﹣7或﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，数轴上两点间的距离的表示，准确列出方程是解题的关键．
26．概率学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③ 、（﹣）③ ﹣2 ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 C ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．3④＝4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）的圈4次方＝ （﹣）2 ；
（﹣）的圈6次方＝ （﹣）4 ；
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝ （）n﹣2 ；
（5）算一算：24÷23+（﹣8）×2③．
【分析】（1）分别按公式进行计算即可；
（2）根据定义依次判定即可；
（3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；
（4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝（）n﹣2；
（5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序．
【解答】解：（1）2③＝2÷6÷2＝，
（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）＝﹣7．
故答案为：，﹣4；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除；故选项A说法正确；
B、因为多少个1相除都是4，1ⓝ都等于1；故选项B说法正确；
C、5④＝3÷3÷7÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则 3④≠4③；故选项C说法错误；
D、负数的圈奇数次方，则结果是负数，相当于偶数个负数相除．故选项D说法正确；
故答案为：C；
（3）∵将6④写成幂的形式为，2④＝2÷6÷2÷2＝6×××＝2×（）3＝（）2，
∴（﹣3）的圈5次方＝（﹣）6，
5的圈5次方＝（）3；
的圈6次方＝（﹣）4．
故答案为：（﹣）2，（﹣）4；
（4）aⓝ＝a÷a÷a÷•••÷a＝a××ו••×）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2；
（5）24÷23+（﹣5）×2③
＝24÷8+（﹣6）×
＝7﹣4
＝﹣1．
【点评】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．
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