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福建省古田县玉田中学2021-2022学年九年级上学期第一次阶段性诊断数学测试卷（含答案）
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这是一份福建省古田县玉田中学2021-2022学年九年级上学期第一次阶段性诊断数学测试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省宁德市古田县玉田中学2021-2022学年九年级上学期第一次诊断数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x＝2y﹣3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2+3x﹣1＝x2+1 D．x2＝9x
2．下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．有一个角是直角的菱形
3．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1、S2大小不能确定
4．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
5．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a＞
C．a≤且a≠0 D．a≥
8．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC，且AD：DB＝2：3，则＝ ．
12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是 ．
13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝ ．
14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 米．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝ ．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为 ．
三、解答题（共9小题，满分86分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+6x+1＝0
（2）（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0
18．（8分）如图，四边形ABCD为矩形．
（1）以AB为一边，在矩形ABCD中用直尺和圆规作正方形ABEF．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接CF，如果AB＝4，BC＝7，求CF的长．
19．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
20．（8分）在△ABC 中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证：AB•DE＝AD•AC．
21．（8分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
22．（11分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若﹣1是方程的一个根，求m的值；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
23．（11分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
24．（11分）【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连接AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝ ．
25．（13分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x＝2y﹣3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2+3x﹣1＝x2+1 D．x2＝9x
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x＝2y﹣3是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．由原方程得到3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．x2＝9x符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．有一个角是直角的菱形
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
3．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1、S2大小不能确定
【分析】根据黄金分割的概念知AP：AB＝PB：AP，变形后求解即可得出答案．
【解答】解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB•AB，
则S1：S2＝AP2：（PB•AB）＝1，即S1＝S2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
4．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【分析】先将x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0，求出m＝4，则方程即为x2﹣8x+12＝0，利用因式分解法求出方程的根x1＝2，x2＝6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
5．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
1
2
5
3
3
6
15
4
4
8
20
6
6
12
30
∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，
∴转得的两个数之积为偶数的概率为；
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF＝xcm，得到：
解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．
本题选B．
【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a＞
C．a≤且a≠0 D．a≥
【分析】由关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，
解得：a＜，
∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜且a≠0．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
8．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是分式方程的解，
答：袋中白球约有10个．
故选：B．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得△AGP∽△ABC，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
【分析】先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．
【解答】解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC，且AD：DB＝2：3，则＝ ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2，
∵AD：DB＝2：3，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用、解题．
12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是 k≤且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•k•3≥0，求出解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根
∴k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，
解得：k≤且k≠0，
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝ 1：2 ．
【分析】过点D作DM∥AC，根据中位线定理及△BDM∽△BCF可知，FC＝2DM，再根据△DEM∽△AEF即可解答．
【解答】解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，
由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，
则FC＝2DM
根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．
【点评】本题主要考查了相似性的性质，利用作平行线从而作出相似的三角形，把两个线段的比进行转化．
14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 3 米．
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝ 48° ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝AC＝AF，根据三角形的外角性质得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝AC＝AF，
∴∠FDA＝∠CAD＝28°，
∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∴∠EFC＝∠CAB＝28°，
∴∠EFD＝56°+28°＝84°，
∵AB＝AC，
∴FE＝FD，
∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为 或10 ．
【分析】①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，AN＝BM＝＝4，证出△BME∽△ENP，得出＝，求出NP＝，即可得出结果；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE＝＝4，证得△AHE∽△PAB，得出＝即可得出结果．
【解答】解：根据题意分两种情况：
①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图1所示：
则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝5，四边形ABMN是矩形，
在Rt△EBM中，AN＝BM＝＝＝4，
∵点A、E关于直线BP对称，
∴∠PEB＝∠PAB＝90°，
∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，
∴∠PEN＝∠EBM，
∴△BME∽△ENP
∴＝，即＝，
∴NP＝，
∴t＝AP＝AN﹣NP＝4﹣＝；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图2所示：
则BH＝3，BE＝AB＝5，AH＝AB+BH＝8，
在Rt△BHE中，HE＝＝＝4，
∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，
∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，
∴∠HAE＝∠APB，
∴△AHE∽△PAB，
∴＝，即＝，
解得：t＝AP＝10，
综上所述，t＝或10．
故答案为：或10．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分86分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+6x+1＝0
（2）（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x+1＝0，
∴x2+6x＝﹣1，
∴x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2；
（2）∵（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0，
∴（2x+3）（2x﹣2）＝0，
则2x+3＝0或2x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（8分）如图，四边形ABCD为矩形．
（1）以AB为一边，在矩形ABCD中用直尺和圆规作正方形ABEF．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接CF，如果AB＝4，BC＝7，求CF的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于点E，F，连接EF，四边形ABEF即为所求；
（2）求出DF，利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，∠D＝90°，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝7﹣4＝3，
∴CF＝＝＝5．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【分析】（1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，
∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，
则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）在△ABC 中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证：AB•DE＝AD•AC．
【分析】根据CE∥AB可得△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例可得，根据角平分线的定义可得∠EAF＝∠CAE，根据两直线平行，内错角相等可得∠EAF＝∠AEC，然后求出∠AEC＝∠CAE，根据等角对等边可得AC＝EC，整理即可得证．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAF＝∠CAE，
∵CE∥AB，
∴∠EAF＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠CAE，
∴AC＝EC，
∴，
∴AB•DE＝AD•AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记三角形相似的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
【分析】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
22．（11分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若﹣1是方程的一个根，求m的值；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
【分析】（1）根据判别式公式得Δ＝m2≥0，即可得到答案，
（2）把x＝﹣1代入方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可，
（3）根据一元二次方程根与系数得关系，得到x1+x2和x1x2关于m的表达式，整理n＝x12+x22﹣4，得n＝（m+2）2，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根，
（2）解：把x＝﹣1代入方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0得：
1+（m+4）+2m+4＝0，
解得：m＝﹣3，
（3）解：根据题意得：
x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4，
n＝+﹣4
＝﹣2x1x2﹣4，
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
＝（m+2）2
即n＝（m+2）2，经过（﹣5，9）．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握代入法和解一元一次方程的方法，（3）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．
23．（11分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
【分析】（1）由月租金比全部租出多4800﹣4000＝800元，得出未租出车的数量，从而根据每辆车的租金减去500元，乘以租出的车的数量，减去100乘以未租出的车的数量，等于租金收益即可；
（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元，列方程并求解即可．
【解答】解：（1）100﹣＝92（辆），
（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），
394800元＝39.48万元．
答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．
（2）40.4万元＝404000元
设上涨x个100元，由题意得：
（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000
整理得：x2﹣64x+540＝0
解得：x1＝54，x2＝10
∵规定每辆车月租金不能超过7200元，
∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）
答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（11分）【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连接AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝ ．
【分析】【探究】过点A作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质得出BF＝CF＝BC＝2，由勾股定理求出AF＝＝2，则DF＝BD﹣BF＝1，由勾股定理求出AD＝＝，证得△ABD∽△ADE，得出＝，解得AE＝，即可得出结果；
【拓展】过点A作AF⊥BC于F，易证△ABF是等腰直角三角形，则AF＝BF＝AB＝2，DF＝DB﹣BF＝，由勾股定理求出AD＝＝，证得△ADE∽△ABD，得出＝，求出AE＝，BE＝AB﹣AE＝，则＝即可得出结果．
【解答】【探究】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，
过点A作AF⊥BC于F，如图①所示：
则BF＝CF＝BC＝2，AF＝＝＝2，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，
∴AD＝＝＝，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠BAD+∠AED＝120°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝；
【拓展】解：过点A作AF⊥BC于F，如图②所示：
∵∠ABD＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝AB＝2，
∴DF＝DB﹣BF＝3﹣2＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠ADE＝∠ABD＝45°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝，
∴＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
25．（13分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 （0，3） ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
【分析】（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，此时△PDE的周长最小，运用勾股定理可得CE＝5，BE＝3，作EG⊥OA，在Rt△DEG中，可得DE＝2，在Rt△D′EG中，可得D′E＝4，即可求出答案；
（3）运用待定系数法求得直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，进而求得P（，0），过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，利用待定系数法可得直线DE的解析式为y＝x+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
（2）存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，
在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝2，
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝4，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝6；
（3）由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，
设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝＝＝（2﹣t）＝QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（，），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）．
【点评】此题是四边形与一次函数综合题，考查了一次函数的解析式，两点之间线段最短．轴对称性质的应用，勾股定理等知识，灵活运用一次函数图象的点坐标的特征是解决此类问题的关键．
福建省宁德市古田县玉田中学2021-2022学年九年级上学期第一次诊断数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x＝2y﹣3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2+3x﹣1＝x2+1 D．x2＝9x
2．下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．有一个角是直角的菱形
3．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1、S2大小不能确定
4．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
5．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a＞
C．a≤且a≠0 D．a≥
8．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC，且AD：DB＝2：3，则＝ ．
12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是 ．
13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝ ．
14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 米．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝ ．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为 ．
三、解答题（共9小题，满分86分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+6x+1＝0
（2）（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0
18．（8分）如图，四边形ABCD为矩形．
（1）以AB为一边，在矩形ABCD中用直尺和圆规作正方形ABEF．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接CF，如果AB＝4，BC＝7，求CF的长．
19．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
20．（8分）在△ABC 中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证：AB•DE＝AD•AC．
21．（8分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
22．（11分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若﹣1是方程的一个根，求m的值；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
23．（11分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
24．（11分）【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连接AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝ ．
25．（13分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x＝2y﹣3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2+3x﹣1＝x2+1 D．x2＝9x
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x＝2y﹣3是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．由原方程得到3x﹣2＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．x2＝9x符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．下列条件中，能判定一个四边形为正方形的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形
D．有一个角是直角的菱形
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
3．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1、S2大小不能确定
【分析】根据黄金分割的概念知AP：AB＝PB：AP，变形后求解即可得出答案．
【解答】解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB•AB，
则S1：S2＝AP2：（PB•AB）＝1，即S1＝S2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
4．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【分析】先将x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0，求出m＝4，则方程即为x2﹣8x+12＝0，利用因式分解法求出方程的根x1＝2，x2＝6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
5．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
1
2
5
3
3
6
15
4
4
8
20
6
6
12
30
∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，
∴转得的两个数之积为偶数的概率为；
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【解答】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF＝xcm，得到：
解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．
本题选B．
【点评】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a＞
C．a≤且a≠0 D．a≥
【分析】由关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，
解得：a＜，
∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜且a≠0．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
8．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是分式方程的解，
答：袋中白球约有10个．
故选：B．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得△AGP∽△ABC，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ）
A．2﹣2 B．2 C．3﹣1 D．2
【分析】先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝2，即可求解．
【解答】解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，
在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，在△ABC中，若DE∥BC，且AD：DB＝2：3，则＝ ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2，
∵AD：DB＝2：3，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用、解题．
12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是 k≤且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•k•3≥0，求出解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根
∴k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，
解得：k≤且k≠0，
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝ 1：2 ．
【分析】过点D作DM∥AC，根据中位线定理及△BDM∽△BCF可知，FC＝2DM，再根据△DEM∽△AEF即可解答．
【解答】解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，
由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，
则FC＝2DM
根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．
【点评】本题主要考查了相似性的性质，利用作平行线从而作出相似的三角形，把两个线段的比进行转化．
14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 3 米．
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝ 48° ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝AC＝AF，根据三角形的外角性质得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝AC＝AF，
∴∠FDA＝∠CAD＝28°，
∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∴∠EFC＝∠CAB＝28°，
∴∠EFD＝56°+28°＝84°，
∵AB＝AC，
∴FE＝FD，
∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s），在动点P在射线AD上运动的过程中，则使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为 或10 ．
【分析】①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，AN＝BM＝＝4，证出△BME∽△ENP，得出＝，求出NP＝，即可得出结果；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE＝＝4，证得△AHE∽△PAB，得出＝即可得出结果．
【解答】解：根据题意分两种情况：
①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图1所示：
则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝5，四边形ABMN是矩形，
在Rt△EBM中，AN＝BM＝＝＝4，
∵点A、E关于直线BP对称，
∴∠PEB＝∠PAB＝90°，
∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，
∴∠PEN＝∠EBM，
∴△BME∽△ENP
∴＝，即＝，
∴NP＝，
∴t＝AP＝AN﹣NP＝4﹣＝；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图2所示：
则BH＝3，BE＝AB＝5，AH＝AB+BH＝8，
在Rt△BHE中，HE＝＝＝4，
∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，
∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，
∴∠HAE＝∠APB，
∴△AHE∽△PAB，
∴＝，即＝，
解得：t＝AP＝10，
综上所述，t＝或10．
故答案为：或10．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分86分。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+6x+1＝0
（2）（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x+1＝0，
∴x2+6x＝﹣1，
∴x2+6x+9＝﹣1+9，即（x+3）2＝8，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2；
（2）∵（2x+3）2﹣5（2x+3）＝0，
∴（2x+3）（2x﹣2）＝0，
则2x+3＝0或2x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（8分）如图，四边形ABCD为矩形．
（1）以AB为一边，在矩形ABCD中用直尺和圆规作正方形ABEF．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接CF，如果AB＝4，BC＝7，求CF的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于点E，F，连接EF，四边形ABEF即为所求；
（2）求出DF，利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，∠D＝90°，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝7﹣4＝3，
∴CF＝＝＝5．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【分析】（1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，
∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，
则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）在△ABC 中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证：AB•DE＝AD•AC．
【分析】根据CE∥AB可得△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例可得，根据角平分线的定义可得∠EAF＝∠CAE，根据两直线平行，内错角相等可得∠EAF＝∠AEC，然后求出∠AEC＝∠CAE，根据等角对等边可得AC＝EC，整理即可得证．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAF＝∠CAE，
∵CE∥AB，
∴∠EAF＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠CAE，
∴AC＝EC，
∴，
∴AB•DE＝AD•AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记三角形相似的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
【分析】根据等比性质得出＝k，再分两种情况进行讨论，当a+b+c+d≠0时和a+b+c+d＝0时，分别求出k的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
22．（11分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若﹣1是方程的一个根，求m的值；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
【分析】（1）根据判别式公式得Δ＝m2≥0，即可得到答案，
（2）把x＝﹣1代入方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可，
（3）根据一元二次方程根与系数得关系，得到x1+x2和x1x2关于m的表达式，整理n＝x12+x22﹣4，得n＝（m+2）2，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根，
（2）解：把x＝﹣1代入方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0得：
1+（m+4）+2m+4＝0，
解得：m＝﹣3，
（3）解：根据题意得：
x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4，
n＝+﹣4
＝﹣2x1x2﹣4，
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
＝（m+2）2
即n＝（m+2）2，经过（﹣5，9）．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式，（2）正确掌握代入法和解一元一次方程的方法，（3）正确掌握一元二次方程根与系数的关系，坐标与图形性质．
23．（11分）某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
【分析】（1）由月租金比全部租出多4800﹣4000＝800元，得出未租出车的数量，从而根据每辆车的租金减去500元，乘以租出的车的数量，减去100乘以未租出的车的数量，等于租金收益即可；
（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元，列方程并求解即可．
【解答】解：（1）100﹣＝92（辆），
（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），
394800元＝39.48万元．
答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．
（2）40.4万元＝404000元
设上涨x个100元，由题意得：
（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000
整理得：x2﹣64x+540＝0
解得：x1＝54，x2＝10
∵规定每辆车月租金不能超过7200元，
∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）
答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（11分）【探究】如图①，在等边△ABC中，AB＝4，点D、E分别为边BC、AB上的点，连接AD、DE，若∠ADE＝60°，BD＝3，求BE的长．
【拓展】如图②，在△ABD中，AB＝4，点E为边AB上的点，连接DE，若∠ADE＝∠ABD＝45°，若DB＝3，＝ ．
【分析】【探究】过点A作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质得出BF＝CF＝BC＝2，由勾股定理求出AF＝＝2，则DF＝BD﹣BF＝1，由勾股定理求出AD＝＝，证得△ABD∽△ADE，得出＝，解得AE＝，即可得出结果；
【拓展】过点A作AF⊥BC于F，易证△ABF是等腰直角三角形，则AF＝BF＝AB＝2，DF＝DB﹣BF＝，由勾股定理求出AD＝＝，证得△ADE∽△ABD，得出＝，求出AE＝，BE＝AB﹣AE＝，则＝即可得出结果．
【解答】【探究】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，
过点A作AF⊥BC于F，如图①所示：
则BF＝CF＝BC＝2，AF＝＝＝2，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣2＝1，
∴AD＝＝＝，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠BAD+∠AED＝120°，
∴∠ADB＝∠AED，
∵∠B＝∠ADE＝60°，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
即：＝，
解得：AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝；
【拓展】解：过点A作AF⊥BC于F，如图②所示：
∵∠ABD＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝AB＝2，
∴DF＝DB﹣BF＝3﹣2＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠ADE＝∠ABD＝45°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣＝，
∴＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
25．（13分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 （0，3） ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
【分析】（1）设D（0，m），且m＞0，运用矩形性质和折叠性质可得：OD＝m，OA＝8，CD＝8﹣m，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，此时△PDE的周长最小，运用勾股定理可得CE＝5，BE＝3，作EG⊥OA，在Rt△DEG中，可得DE＝2，在Rt△D′EG中，可得D′E＝4，即可求出答案；
（3）运用待定系数法求得直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，进而求得P（，0），过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，利用待定系数法可得直线DE的解析式为y＝x+3，设Q（t，t+3），则H（t，5），再运用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
（2）存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，
在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝2，
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝4，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝6；
（3）由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，
设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线DE的解析式为y＝x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝＝＝（2﹣t）＝QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（，），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，此时点Q的坐标（，）．
【点评】此题是四边形与一次函数综合题，考查了一次函数的解析式，两点之间线段最短．轴对称性质的应用，勾股定理等知识，灵活运用一次函数图象的点坐标的特征是解决此类问题的关键．
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