2023南京、镇江高三上学期10月学情调查考试数学含解析

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1.已知集合，，则（ ）
答案C.
【详解】
由解得又因为，所以.
故选C.
2.已知点是角终边上一点，则（ ）
答案
【详解】
依题意点的坐标为，
故选
3.每年3月3日是国际爱耳日，2022年的主题是“关爱听力健康，聆听精彩未来”.声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位），定义，其中为声场中某点的声强度，其单位为m2（瓦/平方米）m2为基准值.如果飞机起飞时的声音是120，两人轻声交谈的声音是40，那么前者的声强度是后者的声强度的（）倍?
答案
【详解】
设声音是的声强度为，则，即
声音是的声强度为，则，即
前者的声强度是后者的声强度的倍.
故选
4.函数在上的大致图象是
A B C D
答案D．
5.从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
答案
【详解】
区间的整数共有7个，则质数有2,3,5,7共4个；非质数有3个；故至少有一个数是质数的概率为
故选
本题也可先求对立事件，再求解.（本题来源于2022年新高考1卷第5题）
6.的展开式中的系数为（ ）
答案
【详解】
的展开式中含的项为
故选
（本题来源于2022年新高考1卷第13题）
7.设函数，则满足的的取值范围是（ ）
答案
【详解】
,
所以为奇函数,由
令
求导得
则在R上单调递增.
因为得，即
所以，解得.
故选.
8.已知，则（ ）
A.B.
C.D.
答案D
【详解】
解法1：因为，所以，即，从而，
而，所以三者之中最大，另一方面，在上↗，故，在上↘，所以，从而，所以.
解法2：因为，所以，即，从而，
而，所以三者之中最大，
另一方面，，设，则，
所以在上↗，因为，所以，从而，显然，所以，故，从而.
故选D
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分， 共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集的自2016年至2020年共5年的借阅数据如下表：
根据上表，可得关于的回归直线方程为，下列结论正确的有（ ）
4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7
与的相关系数
2023年的借阅量一定为6.6万册
答案
【详解】
对于，因为，
，
所以，得，正确；
对于因为，所以的分位数为5.7，正确；
对于，由，可知正确；
对于，由可知回归直线方程为，所以2023年的借阅量约为6.6万册，错误.
故选
10.下列命题是真命题的（ ）
的否定是：
在上单调递增
是的必要不充分条件
，则是的充分不必要条件
答案
设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列说法正确的是（ ）
函数是以2为周期的周期函数
函数的图像关于直线对称 函数为奇函数
答案
【详解】
因为是奇函数，所以，则
所以关于点对称，故正确；且
是偶函数，所以
故，所以函数是以4为周期的周期函数.故错误；
函数的图像关于直线对称，正确；
令，则，由于
故，即
所以，即函数为奇函数，正确.
故选
12.已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值是4； B.恒成立；
C.恒成立； D.的最大值是
答案
【详解】
选项A.,当且仅当，即，即等号成立，而，故A错误；
选项B.令，因为，，且，所以，，则，所以在上递减，则，即，故B正确；
选项C.因为，，且，所以
当且仅当时，等号成立，则，故C正确；
选项D.因为，
令，则，
令，解得
当时，，当时，
所以当时，取得最大值，故D正确
故选
三、填空题：本题共4小题， 每小题5分，共20分．
13.求值_________.
答案
详解：
（本题来源于苏教版教材必修二例5）
14.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交,则________.
答案
（本题来源于人教版A版教材必修一P120.第9题）
详解：的图象过原点，又图像无限接近直线但又不与该直线相交，则
15.已知随机变量服从正态分布，，，则的最小值为____________．
答案
详解随机变量服从正态分布，，由，，且则
当且仅当，即时等号成立．
的最小值为.
故答案为：
函数的最小值为_________.
答案2
解法一：由图可知=2，所以函数的最小值为2
解法二：因为，所以
当且仅当时等号成立，因此的最小值为2.
（本题来源于2021新高考1卷第15题）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
17．【解】………………………………2分
（1）当，，
所以………………………………5分
（2）若，则，
①当时，则，即，，符合题意………………7分
②当时，则，
因为，
所以，解得，…………………………9分
综上所述，.…………………………10分
18.（10分）
已知
(1)化简；
(2)若角终边有一点 ，且 ，求的值；
(3)求函数的值域.
18．【解】
（1）由题意得………………2分
（2）………………………4分
（负值舍去）…………………………5分
(注：负值不舍扣1分）
因为，所以
…………………………7分
因为,
所以当时，；……………………………8分
当时，……………………………9分
所以的值域为. ……………………………10分
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．
(1)求证：平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；
答案：
(1)【证明】：侧棱底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，…………1分
则，，，，，
所以，，. ……………………3分
设平面SCD的一个法向量为，则，即,
令z＝1，则x＝2，y＝－1，此时. ……………………5分
因为，所以, ……………………6分
则平面SCD.
易知平面SAB的一个法向量为，……………………7分
由（1）知SCD的一个法向量为，……………………9分
则，……………………11分
所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为. ……………………12分
（第一问也可以通过构造平行四边形得到线线平行证得线面平行，酌情给4分；在第二问中建系1分，求两个法向量各2分，求余弦2分，结论1分）
20.（12分）
已知函数为奇函数
(1)求的值，判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若关于的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.
（1）【证明】：函数的定义域为R，
为奇函数
经检验
为奇函数………………………………2分
（用特殊值做不检验扣1分）
答：在定义域上单调递增，………………………………3分
（定义证明）函数的定义域为R，，R且，
，
因为，所以，而，
所以，
故在R上单调递增.………………………………5分
（求导证明）函数的定义域为R
故在R上单调递增.………………………………5分
（判断1分，证明2分）
,
为R上的奇函数………………………………6分
所以有
又因为在R上单调递增,………………………………7分
所以对任意恒成立,
即，令,………………………………9分
设,,
所以在上单调递增,
………………………………11分
所以：………………………………12分
21.（12分）
今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多。9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告。我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》。此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力。据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天。在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大。对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率。现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查。在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测。每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”。假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立。记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为。求当为何值时，最大?
附：
【解】（1）假设：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，………………1分
依题意有………………3分
故假设不成立，
∴没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关………………4分
（设1分，计算出结果1分，判断小于1分，下结论1分）
由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为……………5分
设随机抽取的4人中至多有1人感染病毒为事件A，则……………7分
记事件为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”；事件为：检测了3名成员确定为“感染高危家庭”；
则
………………………9分
则
令
则（舍去）。………………………10分
随着的变化，的变化如下表：
综上，当时，最大。………………………12分
（12分）
已知函数 .
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围.
【解】：
当时，，
………………………1分
所以曲线在点处的切线方程为：
即. ………………………2分
的定义域为，
………………………3分
（ⅰ）………………………4分
（ⅱ）
；
所以在单调递减，在单调递增. ………………………6分
（3）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.………………………7分
（ⅱ）
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为
①当时，由于，故只有一个零点；……………8分
②当时，由于,即，故没有零点；…………9分
③当时，，即.
又,故在有一个零点.
设正整数满足，则
.
由于，因此在有一个零点.………………12分
综上，的取值范围为.
（本题来源于人教版A版教材选择性必修二P104.第19题，亦是2017年全国1卷第21题）年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
年借阅量（万册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
接种天花疫苗与否/人数
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种天花疫苗
30
60
接种天花疫苗
20
90
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
0
递增
极大值
递减